2.2 第4课时 估算（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第2章 实数 2.2 平方根与立方根 第4课时 估算 【素养目标】 1. 会估算一个无理数的大致范围, 掌握估算的方法, 形成估算的意识, 发展数感. (重点) 2. 能通过估算比较两个数的大小,体会估算在实际生活中的意义和应用. (难点) 【情境导入】 已知: 游乐园门票82元/人. 周末我们小组的7名同学约好一起去游乐园玩, 总费用550元够吗? 你还能想到更快速地判断方法吗? 【合作探究】 探究点一:用估算确定无理数的大小探究 某地开辟了一块长方形荒地,新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍, 它的面积为 。 (1) 公园的宽度大约有多少？有 吗？ (2) 如果要求结果精确到 ,它的宽大约是多少？与同伴进行交流。 这个宽大约是多少呢? (3) 该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是 , 你能估计它的半径吗(结果精确到 )？ 思考 (1) 下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ (2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到1) 例1 怎样估算无理数 (误差小于 0.1)? 变式训练 按要求估算下列无理数: (1) (误差小于0.1) (2) (误差小于1). 【要点归纳】 1. 估算无理数大小的方法: 通过利用乘方与开方互为逆运算,采用“逐步逼近法”,确定真值所在范围； 2.“逐步逼近法” 的基本步骤: ① 先估计出是几位数； ② 确定最高数位上的数字(比如十位)； ③ 再确定下一位上的数字(比如个位)； ④ 依此类推,按要求精确到小数点后的某一位。 探究点二: 用估算比较数的大小 例2 生活经验表明, 靠墙摆放梯子时, 若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ,则梯子比较稳定. 现有一长为 的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到 高的墙头吗? 思考: 宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较比较 与 的大小吗? 你是怎样比较的? 你是怎样想的? 小明是这样想的: 与 的分母相同,只要比较它们的分子就可以了，因为 ,所以 ,因此 .你认为小明的想法正确吗？ 要点归纳: 1. 用估算法比较两个数的大小(其中至少有一个是无理数)时,一般先用分析的方法估算出无理数的大致范围,再比较。 2. 比较大小的两个数中如果有含根号的数,常常有如下比较方法: ① 先找个中间值,再比较； ② 先把两数平方或立方,再比较。 例3 通过估算比较下列各组数的大小. （1）与1.5 （2）与2.1 探究点三:利用计算器进行开方运算 试着在自己的计算器里输入同样的算式: 想一想开方运算要用到哪些键？ 对于开平方运算,按键顺序为: 、被开方数、 对于开立方运算,按键顺序为: SHIFT、 、被开方数、 对于小数与分数可以按: 不同计算器可能会存在不同的用法.同 SHIFT 键,指第二功能. 如果想转换小数与分数可以按:同S D 键 练一练1. 利用计算器,求下列各式的值(结果保留4个有效数字): (1) ； (2) ； (3)； (4) . 讨论:(1) 任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加,你发现了什么? (2) 用另一个小于 1 的正数试一试,看看是否仍有类似规律。 (3) 任意找一个非零数,利用计算器对它不断进行开立方运算,你发现了什么? 当堂反馈 1. 估计 的值( ) A. 在 3 到 4 之间 B. 在 4 到 5 之间 C. 在 5 到 6 之间 D. 在 6 到 7 之间 2. 在 这四个数中,最小的数是( ) A. 0 B. -1 C. D. -2 3. 若一个正方形的面积是 8 , 则估计它的边长大小在( ) A. 2与2.5之间 B. 2.5 与 3 之间 C. 3与3.5之间 D. 3.5 与 4 之间 4. 如图, 是数轴上的四个点,这四个点中最适合表示的是点____. 5. 已知 为两个连续的整数,且 ,则 _____. 6. 通过估算,比较 的大小. 7. 利用计算器比较下列各数的大小. (1) ； (2) . 参考答案 情境导入 元, ,不够. 周末我们小组的 7 名同学约好一起去游乐园玩, 带 550 元,够吗? 你还能想到更快速地判断方法吗? . 估算法 探究点一:用估算确定无理数的大小探究 (1)解: 因为 ,所以公园的宽没有 。 (2) 解: 设公园的宽为 米. . 大约是多少呢?由( 1 )知 , 当 时, . 当 时, . 当 时, . 当 时, . 所以 .答: 它的宽大约是 450 米. (3)解: 设圆形花圃的半径为 , 由题意,得 . 当 取 3.14, 时, . 当 取 3.14, 时, . 当 取 3.14, 时, . 当 取 3.14, 时, . 答: 它的半径约为 . 思考 (1) 方法一: 两数同时乘方 方法二:有理数化作带根号的形式 ( 2 )你能估算 的大小吗？(结果精确到 1) 解: 因为 ,所以 . 且 900 更接近 1000, 所以 . 例1 解: (1) . . 的整数部分是 3 . , . 的值约是 3.5 或 3.6. (2) 因为 ,所以 . 所以 . 所以 的估算值是10 或 11 . 探究点二: 用估算比较数的大小 例2 解: 设梯子稳定摆放时的高度为 ,此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ,根据勾股定理 ,所以梯子稳定摆放时,它的顶端能够达到 高的墙头. 例3 解: (1) 因为 ,所以 ,所以 。 所以 ,即 。 (2)因为 ,所以 ,即 ,但接近于 3 ,所以 . 探究点三:利用计算器进行开方运算 练一练1. 解: (1) ; (2) ； (3) ; (4) 。 讨论:(1) 随着开方次数的增加,运算的结果越来越接近1. (2) 运算的结果越来越接近 1 . ( 3 )选取任意非零数反复开立方,对正数反复开立方,结果趋近于 1 ；对负数反复开立方, 结果趋近于 -1 . 当堂反馈 1. C 2. D 3. B 4. 点 . 5. . 6. 解: , . , . . 7. (1) ；解: . (2) .解: . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $