1.3 勾股定理的应用（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第1章 勾股定理 1.3勾股定理的应用 【素养目标】 1. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系,发展抽象能力,培养用数学眼光观察世界的习惯. 2. 灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题,培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力.(重点) 3. 能熟练运用勾股定理解决最短路径问题.(难点) 【复习导入】 回顾前面学过的内容,回答问题: 1. 勾股定理的内容是什么? 2. 勾股定理的逆定理是什么? 【合作探究】 探究点一:勾股定理与其他几何知识的综合运用 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边 和边 是否分别垂直于底边 . (1)如果李叔叔随身只带了卷尺,那么你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔测得边 长 ,边 长 , 点 之间的距离是 . 边 垂直于边 吗？ (3)如果李叔叔随身只带了一个长 度为 的刻度尺,那么他能检验边 是否垂直于边 吗? 【活动1】:动手折一折 用一张直角三角形纸片折叠,你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗 ? 说明理由.如图,一张直角三角形纸片,两直角边 , ,将 折叠,使得 与 重合,折痕为 ,你能求出 的长吗 ? 分析:(1) 本题已知什么?求的是什么? (2)本题将 折叠,使得与 重合, 折痕为 ,可得到什么? 依据是什么? (3)观察 在哪一个三角形中？ 你能表示出这个三角形的每一条边吗?你能求出 的长吗? 如图,正方形纸片 的边长为 ,点 是边 的中点,将这个正方形纸片翻折,使点 落到点 处,折痕交边 于点 ,交边 于点 .你能求出 的长吗? 问题2: 试一试, 你能利用以下折叠图形, 借助勾股定理,设计一个有关折叠的计算问题么? 【练一练】1. 如图是一张直角三角形的纸片,两直角边 ,将 折叠,使点 与点 重合,折痕为 ,则 的长为( ) A. B. C. D. 要点归纳: 利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤: ①标已知,设未知；②利用折叠,找相等；③利用勾股定理,列方程;④解方程, 得解. 【活动2】:小组合作,设计方案,测量学校旗杆的高度. 借助勾股定理,请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方 图2 图3 请根据表格所给信息, 完成下列问题. 问题: (1)直接写出线段 与 之间的数量关系. (2)根据小丽的测量方案和数据,求出学校旗杆 的高. 例1 今有池方一丈, 葭生其中央, 出水一尺.引葭赴岸, 适与岸齐. 问水深、葭长各几何? (选自《九章算术》) 题目大意:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇, 它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 例2 如图,在一次夏令营活动中,小明从营地 出发, 沿北偏东 方向走了 到达点 ,然后再沿北偏西 37° 方向走了 到达目的地 . 求 两点之间的距离. 当堂反馈 1. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆12m处,旗杆折断之前的高度是( ) A. B. C. D. 第1题图 第2题图 第3题图 2. 如图,某同学在做物理实验时,将一支细玻璃棒斜放入一只盛满水的烧杯中,已知烧杯高8cm,玻璃棒被水淹没部分长 ,则这只烧杯的底面直径是( ) A. 9cm B. 8cm C. D. 3. 如图,阴影部分是一个正方形,它的面积是 ______ cm2 . 4. 如图,要在两幢楼房的房顶 , 间拉一根光缆线(按线段计算), 则至少需要光缆线_____m. 第4题图 第5题图 5. 如图,这是可近似看作一个等腰三角形 的衣架,其中腰长为 ,底边上的高为 ,则底边 的长为_____ . 6. [方程思想]图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②所示,其中 , 于点 , 尺, 尺. 求 的长. . 参考答案 情境导入 问题: 1. 直角三角形 2. 直角三角形 探究点一:勾股定理与其他几何知识的综合运用 (1)用卷尺分别测量 , 的长,若 ,则 , 即 . (2) , , , 即 .所以边 垂直于边 (3)能检验. 在 上从 点量取 得点 ,在 上从 点量取 得点 .因为 ,用刻度尺测 长度,若 , 根据勾股定理逆定理, ;若 ,则 不垂直 . 【活动1】(2)依据: 折叠的性质. (3)解: 设 ,则 ,由题意, 根据折叠的性质, 可得 ,且 . 在Rt 中, 由勾股定理得, , 解得 . 则 . 2.解: 点 是边 的中点, . 设 , 则 ,在Rt 中, , 则 ,解得 . 的长为 . 问题2: 合理即可，答案不唯一 【练一练】1. B 探究点二:勾股定理在实际生活中的应用 问题: (1) (2)解: 过 作 于 ,则 , 根据题意得, . , , , 解得 ,答: 学校旗杆 的高 12.75 米. 例1 解: 设水池的水深 为 尺,则芦苇的长度 为 尺. 由于芦苇位于水池中央,所以 为 5 尺. 在Rt 中,由勾股定理,可得 即 . 解得 . (尺) 因此,水池的深度是 12 尺,芦苇的长度是 13 尺. 例2 解: 过点 作 . . , . . , 即 、 两点间的距离为 . 当堂反馈 1. D 2. D 3. 64 4. 10 5. 6. 解: 设 的长为 尺,则 尺. 在 Rt 中,由勾股定理得 , 即 ,解得 . 故 的长为3.75尺. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $