1.3 全等三角形的判定 巩固练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 1.3全等三角形的判定 （巩固练习） 【典型例题】 【例1】如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【例2】如图，在△ABC和△ABD中，∠CAB＝∠DAB，点A，B，E在同一条直线上，则添加以下条件，仍然不能判定△ABC≌△ABD是（　　） A. BC＝BD B. ∠C＝∠D C. ∠CBE＝∠DBE D. AC＝AD 【例3】如图，、相交于O点，，则图中全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【例4】如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据______判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空） 【例5】如图，ABCD，BNMD，点M、N在AC上，且AM=CN，求证：BN=DM． 【例6】如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点G， （1）求证； （2）若，求的度数． 【举一反三】 【变式1】如图，，现添加以下哪个条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【变式2】如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）． A. 40° B. 50° C. 60° D. 75° 【变式3】如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的图是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【变式4】如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且若，则的长为______． 【变式5】如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接、、．请判断与关系并证明． 【变式6】已知：如图，是等边三角形，，于，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【巩固练习】 1.如图，给出下列四个条件，，，，，从中任选三个条件能使的共有　　 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2.如图，已知AB=AC，AD=AE，，若要得到△ABD≌△ACE，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ）． A. BD=CE B. ∠ABD=∠ACE C. ∠BAD=∠CAE D. ∠BAC=∠DAE 3.如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A. B. C. D. 4.如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 5.如图，已知，要使，还要添加的一个条件可以是______．（只需填上一个正确的条件） 6.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 7.如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 8.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________． 9.如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE． 10.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF． 求证：（1）AE=CF； （2）AB∥CD． 11.如图，在和中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接交于点F． （1）求证：； （2）猜想，有何特殊位置关系，并说明理由． 12.如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【例2】如图，在△ABC和△ABD中，∠CAB＝∠DAB，点A，B，E在同一条直线上，则添加以下条件，仍然不能判定△ABC≌△ABD是（　　） A. BC＝BD B. ∠C＝∠D C. ∠CBE＝∠DBE D. AC＝AD 【答案】A 【例3】如图，、相交于O点，，则图中全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【例4】如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据______判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空） 【答案】 【例5】如图，ABCD，BNMD，点M、N在AC上，且AM=CN，求证：BN=DM． 【答案】∵ABCD，BNMD ∴∠A=∠C，∠CMD=∠ANB ∵AM=CN ∴AM+MN=MN+CN，即AN=MC 在△ANB和△CMD中 ∠A=∠C，AN=MC，∠ANB=∠CMF ∴△ANB≌△CMD（ASA） ∴BN=MD． 【例6】如图，已知，，，在同一条直线上，，，．与交于点G， （1）求证； （2）若，求的度数． 【答案】（1）∵， ∴，即， ∵，，， ∴ （2） 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三】 【变式1】如图，，现添加以下哪个条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式2】如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）． A. 40° B. 50° C. 60° D. 75° 【答案】B 【变式3】如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形和全等的图是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【变式4】如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且若，则的长为______． 【答案】 【变式5】如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上，且，连接、、．请判断与关系并证明． 【答案】，，证明如下： 延长交于点，如下图： ∵，为延长线上一点 ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴，即． 【变式6】已知：如图，是等边三角形，，于，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2）解：， ． ，， ． ，垂足为， ， ． ． ， ， ， ． 【巩固练习】 1.如图，给出下列四个条件，，，，，从中任选三个条件能使的共有　　 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 2.如图，已知AB=AC，AD=AE，，若要得到△ABD≌△ACE，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（ ）． A. BD=CE B. ∠ABD=∠ACE C. ∠BAD=∠CAE D. ∠BAC=∠DAE 【答案】B 3.如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 4.如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5.如图，已知，要使，还要添加的一个条件可以是______．（只需填上一个正确的条件） 【答案】（或） 6.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 【答案】180° 7.如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 【答案】47 8.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________． 【答案】2 9.如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE． 【答案】∵∠1=∠2， ， 即， 在和中， ． 10.已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF． 求证：（1）AE=CF； （2）AB∥CD． 【答案】（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠BFA=90°， ∴在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（HL）； ∴AF=CE， 即AF-EF=CE-EF ∴AE=CF； （2）∵△ABF≌△CDE， ∴∠A=∠C， ∴CD∥AB． 11.如图，在和中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接交于点F． （1）求证：； （2）猜想，有何特殊位置关系，并说明理由． 【答案】（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （２）证：猜想：，理由如下： 由（1）知， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12.如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值． 【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ． 理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵AP＝BQ＝2， ∴BP＝5， ∴BP＝AC， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C＋∠APC＝90°， ∴∠APC＋∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt 解得：x＝2，t＝1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t 解得：x＝，t＝． 综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $