4.2.1对数的概念学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

4.2.1　对数的概念

1. 理解指数式和对数式之间的关系.

2. 理解对数的概念，熟练掌握指数式和对数式的互化.

3. 了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.

4. 在对数概念的形成过程中，感受化归与转化的思想，感受数学抽象的魅力．

活动一  对数、常用对数与自然对数的概念

对数，延长了天文学家的生命. “给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是 16世纪意大利著名学者伽利略的一段话. 从这段话可以看出，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．那么，“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题．

思考1►►►

某种细胞分裂时，1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数y是多少？分裂多少次细胞个数为8，16呢？

 

 

 

思考2►►►

若知道了分裂后相应的细胞数y，能求出分裂的次数x吗？

 

 

 

思考3►►►

庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．

如果取4次还有多长？取多少次，还有0.125尺？

 

 

 

思考4►►►

像思考2和思考3中，已知底数和幂的值求指数，就是我们要学习的对数．那么你能给对数下一个定义吗？

 

活动二　指数式与对数式的互化　

思考5►►►

在指数式和对数式中都含有a，b，N这三个量，那么这三个量在两个式中各有什么异同点？

 

 

 

 

例1　将下列指数式改写成对数式：

(1) 24＝16；　　　　(2) 3-3＝；

 

 

 

(3) 5a＝20;    (4) ＝0.45.

 

 

 

 

例2　将下列对数式改写成指数式：

(1) log5125＝3;    (2) 3＝－2；

 

 

 

(3) log10a＝－1.699.

 

 

 

 

1. 掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N⇔b＝logaN.

2. 对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．

将下列指数式与对数式互化：

(1) 2-2＝；    (2) 102＝100；

 

(3) ea＝16;    (4) 64－＝；

 

 

 

(5) log381＝4;    (6) logxy＝z.

 

 

 

 

活动三　利用对数定义求值　

例3　求下列各式的值：

(1) log264；

 

 

 

(2) log927.

 

 

 

求下列各式的值：

(1) log101 000；

 

 

(2) log99；

 

 

(3) log4128；

 

 

 

(4) log41.