4.1.2指数幂的拓展学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

4．1.2　指数幂的拓展

1. 通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程.

2. 理解分数指数幂的含义．

3. 能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.

活动一  分数指数幂

，，，…，它们的值分别为，，，…，那么，，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．

思考1►►►

整数指数幂的运算性质有哪些？

 

 

 

 

 

 

思考2►►►

零和负整数指数幂是如何规定的？

 

 

 

 

 

 

思考3►►►

观察下面的变形：(25)2＝210，得＝25.又由5＝，得＝2.

类似地，可以得到＝3，＝3……

从以上式子中，你能总结出怎样的规律？

 

 

 

一般地，我们规定a＝ (a＞0，m，n∈N*，n>1).这就是正数a的正分数指数幂的意义．由此可知，2的意义为2＝.

仿照负整数指数幂的意义，我们规定a－＝(a＞0，m，n∈N*，n>1)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．

思考4►►►

规定了分数指数幂的意义后，指数幂的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？

 

 

例1　求下列各式的值：

(1) 100；　　　　　　(2) 8；

 

 

 

 

(3) 9－；             (4) .

 

 

 

 

求下列各式的值：

(1) 27；    (2) 25－；

 

 

 

 

(3) ；    (4) .

 

 

 

 

在进行求解时，首先要将比较大的整数化成比较小的整数的指数幂的形式，还要熟练掌握分数指数幂的运算性质，化负指数为正指数，同时还要注意运算的顺序问题．

活动二　用分数指数幂表示根式　

例2　用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：

(1) a2；　　(2) ；　　(3) .

 

 

 

用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：a3·；a2·；.

 

 

 

 

 

 

思考5►►►

我们已将指数式ax中的指数x从整数推广到分数(有理数)，是否还可以将指数推广到无理数呢？例如，“2”有意义吗？