2.4.1圆的标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.4圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程. （重点） 2.会根据不同的已知条件求圆的标准方程. （难点） 3.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程. 4.能准确判断点与圆的位置关系.（重点） 学习目标 新课导入 多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题。类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程. 新课导入 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写。 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月 呼作白玉盘 又疑瑶台镜 飞在青云端 如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示? 新课探究 思考：研究圆我们可以类比直线，直线的方程是如何研究的? 直线的几何要素 （两点或者点+方向） 几何关系 代数关系 直线方程 应用 形 数 形 　 通过之前的学习，我们在坐标系内从“方程”的角度研究了直线．那么，在直角坐标系中，我们如何刻画圆呢？ 新课探究 问题1 为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素。在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹) 圆心 半径 圆上的动点M(x,y) 因此，确定一个圆的几何要素是圆心和半径。 位置 大小 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。 由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程。 新课探究 追问 根据圆的定义，在平面直角坐标系中，圆的方程是什么？ 定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹) 圆心 半径 圆上的动点M(x,y) 圆A的方程就是圆上动点的坐标满足的条件:集合 P＝{ M | |MA|＝r }. 新知讲解——圆的标准方程 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是. 注：圆的标准方程的特征： 1.是关于x、y的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 新课探究 追问 方程(x−a)2+(y−b)2=m2一定是圆的方程吗？若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？ 当时，方程表示点． 当时，方程表示圆，此时圆的圆心为，半径为. 注：若点上，点的坐标就满足方程； 反过来，若点的坐标满足方程，就说明点与圆心间的距离为，点就在上. 巩固练习 P85 巩固练习 1.判断正误. (1)方程一定表示圆.( ) (2)圆的圆心坐标是，半径是.( ) (3)若圆的标准方程为，则圆的半径一定是a.( ) 2.以为圆心，为半径的圆的方程为( ). . . . . × × × 巩固练习 3.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0). 若点M(6,9)在圆N上，求半径a？ 解：∵点M(6,9)在圆N上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. 典例分析 例1： 解：圆心为，半径为的圆的标准方程是 把点的坐标代入方程的左边， 得，左右两边相等， 点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上. 把点的坐标代入方程的左边， 得，左右两边不相等， 点的坐标满足圆的方程，所以点不在这个圆上. 新课探究 问题2 点与圆有哪几种位置关系？如何确定点与圆的位置关系？ 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 新知讲解—点与圆的位置关系 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 巩固练习 P85 巩固练习 1：点和圆的位置关系是( 　　) ．在圆上 ．在圆外 ．在圆内 ．以上都不对 2：已知点在圆的内部，则的取值范围是( ) B A 典例分析 例 2： ABC的三个顶点分别是A，B，C，求ABC外接圆标准方程. 解：设所求的方程是① 因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组解此方程组，得 代入，得. 所以，的外接圆的标准方程是. 待定系数法 典例分析 (1)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的 标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常 用的方法，一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于，的方程组； ③解——解方程组，求出，； ④代——将代入所设方程，得所求圆的方程． 圆的标准方程的两种求法： 典例分析 例 3：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,−2)两点，且圆心C在直线l:x−y+1=0上，求此圆的标准方程. 先用待定系数法解答该题 法一： 思考：是否还有其他角度建立方程呢？ 几何角度:如何确定圆心呢？ 圆心 在l上 在AB中垂线上 AB中点 AB斜率 x O A(1,1) B(2,-2) y 典例分析 例 3：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,−2)两点，且圆心C在直线l:x−y+1=0上，求此圆的标准方程. 法二： 典例分析 圆的标准方程的两种求法： (2)几何法： 典例分析 例 3：已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,−2)两点，且圆心C在直线l:x−y+1=0上，求此圆的标准方程. 法三： 典例分析 例 2： ABC的三个顶点分别是A，B，C，求ABC外接圆标准方程. 几何法 AB与BC中垂线的交点即为圆心 因为A(5,1)，B(7,-3) 所以AB的中点坐标为(6,-1)，且kAB=-2 所以AB中垂线的斜率为， 则AB中垂线方程为y+1=(x-6)，即x-2y-8=0, 同理可得，BC的中垂线方程为x+y+1=0 联立两个中垂线方程，得圆心坐标为M(2,-3) 所以半径r=|AM|= 故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25 A B C 巩固练习 P85 课堂总结 1.圆的标准方程： 2.点与圆的位置关系： 3.求圆的标准方程的方法： (x - a)2+(y - b)2= r2 待定系数法 几何法 又a>0.∴a＝. $