1.1空间向量及其运算讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算 【知识必备】 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 2.几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (4)空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb． 4．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b． (2)空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b． (3)数量积的几何意义 ①向量的投影 如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义： a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量数量积的性质： ①a⊥b⇔a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交换律)； 5．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？ 【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立． 【题型精讲】 【题型一 空间向量概念的理解】 方法技巧 空间向量的概念 在空间中，向量、向量的模、特殊向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反，注意零向量和共线向量是易错点，共面向量这个新概念的理解． 例1 下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 1．给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（     ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 【题型二 空间向量的线性运算】 方法技巧 空间向量的线性运算 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题． 例2（2023·济南高二期中）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：(1)；(2)；(3). 例3（2023·山东聊城·高二期末）如图，在空间平移到，连接对应顶点.是的中点，点在线段上，且，若，则（       ） A． B． C．1 D． 【跟踪精练】 1．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，，，，则与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·青岛高二期中）如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【题型三 向量共线的判定及应用】 方法技巧 向量共线的判定 ①判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． ②判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ； 例4（2023·江苏高二期中）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 例5 （2023·江苏高一期中）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______． 【题型精练】 1.（2023·河西区校级月考）设，是空间两个不共线的向量，已知k，54，2，且A，B，D三点共线，则实数k＝　 　． 2.（2023·南昌期末）已知非零向量、，且2，56，72，则一定共线的三点是（　　） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 3．（2023·湖南高二期中）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线． 【题型四 向量共面的判定及应用】 方法技巧 向量共面的判定及应用 ①若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． ②证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 例6（1）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ） A． B． C． D． （2）已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（       ） A． B． C． D．以上都不对 （3）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 . （4）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型精练】 1.（2023·渭滨区期末）已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·泰安高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ） A．2 B． C．1 D． 3．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 4．已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 5.（2023·烟台高二期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1． （1）证明：A，E，C1，F四点共面； （2）试用，，表示． 【题型五 数量积及应用】 方法技巧 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 例8（数量积求解）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 （2）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9 （长度、距离问题）（1）在平行六面体中，一以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． （2）如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .    （3）（角度问题）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则向量与所成角的大小是 ． （4）（投影）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【题型精练】 1．（1）如图，的二面角的棱上有、两点，射线、分别在两个半平面内，且都垂直于棱．若，，．则的长度为 ．    （2）如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则 . （3）如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于 ． （4）如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长 ． （5）如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN= .    （6）如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使.已知，则 .    2．（1）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为 . （2）如图，在平行六面体中，，，，则的长为 . （3）在平行六面体中，，，则的长（    ） A．10 B． C． D． 3．如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，若异面直线和所成角的大小，则 . 4．（1）柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体，分别为的中点，则（    ）    A． B． C． D． （2）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． （3）正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（    ） A． B． C．1 D． （4）正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设． (1)试用表示向量； (2)若，求点到直线的距离． 1.1 空间向量及其运算 【知识必备】 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 2.几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (4)空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb． 4．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b． (2)空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b． (3)数量积的几何意义 ①向量的投影 如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义： a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量数量积的性质： ①a⊥b⇔a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交换律)； 5．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？ 【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立． 【题型精讲】 【题型一 空间向量概念的理解】 方法技巧 空间向量的概念 在空间中，向量、向量的模、特殊向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反，注意零向量和共线向量是易错点，共面向量这个新概念的理解． 例1 下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确. 故选：D. 1．给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（     ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 【答案】B 【分析】根据向量相等的条件否定①；根据相反向量的定义否定②；根据向量不能比较大小否定③；根据零向量的定义和规定否定④；根据向量的加法的几何意义结合向量的模的概念判定⑤正确. 【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误； 对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误； 对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误； 对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误； 对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确． 综上，正确的命题只有⑤， 故选：. 【题型二 空间向量的线性运算】 方法技巧 空间向量的线性运算 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题． 例2（2023·济南高二期中）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：(1)；(2)；(3). 例3（2023·山东聊城·高二期末）如图，在空间平移到，连接对应顶点.是的中点，点在线段上，且，若，则（       ） A． B． C．1 D． 【跟踪精练】 1．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，，，，则与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算的几何表示对选项一一验证即可. 【详解】连接与交于点，连接，，， ，，， 对于选项A： ，故A正确； 对于选项B： ，故B错误； 对于选项C： ，故C错误； 对于选项D： ，故D错误； 故选：A. 2．（2023·青岛高二期中）如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加减法以及数乘运算求解即可. 【详解】 故选：A 4．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：D      5．已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 【题型三 向量共线的判定及应用】 方法技巧 向量共线的判定 ①判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． ②判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ； 例4（2023·江苏高二期中）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 例5 （2023·江苏高一期中）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______． 【题型精练】 1.（2023·河西区校级月考）设，是空间两个不共线的向量，已知k，54，2，且A，B，D三点共线，则实数k＝　 　． 2.（2023·南昌期末）已知非零向量、，且2，56，72，则一定共线的三点是（　　） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 3．（2023·湖南高二期中）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线． 【题型四 向量共面的判定及应用】 方法技巧 向量共面的判定及应用 ①若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． ②证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 例6（1）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ） A． B． C． D． （2）已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（       ） A． B． C． D．以上都不对 （3）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 . 【答案】4 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】以为空间一组基底， 由于三个向量共面，所以存在， 使得， 即， 整理得， 所以，解得. 故答案为： （4）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断各个选项. 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 【题型精练】 1.（2023·渭滨区期末）已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·泰安高二课时练习）已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（       ） A．2 B． C．1 D． 3．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 4．已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底向量的定义以及向量共面的判定定理逐项分析判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量， 对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误； 对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误； 对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误； 对于D：假设，，共面， 则， 可得，方程组无解， 可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确； 故选：D. 5.（2023·烟台高二期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1． （1）证明：A，E，C1，F四点共面； （2）试用，，表示． 【题型五 数量积及应用】 方法技巧 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 例8（数量积求解）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正八面体的性质得到，然后利用线性运算和数量积的运算律计算即可. 【详解】 由正八面体的性质可得，，则， . 故选：A. （2）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为， 则，可得，所以，， ， 当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 所以，，所以，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解. 例9 （长度、距离问题）（1）在平行六面体中，一以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量将线段的长度转化成求解向量的模，结合空间向量的数量积运算即可得解.. 【详解】由题意可知，，，如图， 则， 因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. （2）如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .    【答案】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故答案为： （3）（角度问题）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则向量与所成角的大小是 ． 【答案】 【解析】不妨设棱长为2，可得，再利用向量的夹角余弦公式、结合数量积的运算法则即可得出结果． 【详解】不妨设棱长为2，因为ABC-A1B1C1是正棱柱， 则，，， 所以 又，， 所以 ， 故向量与所成角的大小是． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：向量数量积公式主要应用以下几个方面:(1)直接求数量积；（2）利用求向量的夹角；（3）利用证明向量垂直. （4）（投影）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 【题型精练】 1．（1）如图，的二面角的棱上有、两点，射线、分别在两个半平面内，且都垂直于棱．若，，．则的长度为 ．    【答案】2 【分析】 由，两边平方即可计算． 【详解】，， ， 由二面角可知，所以， ， ， ． 故答案为：2 （2）如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量，将二面角的大小用表示，将条件和目标都用表示，再运用向量数量积求模长即可． 【详解】因为二面角的大小为，所以， 又且， 所以 ， 所以. 故答案为： （3）如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于 ． 【答案】2 【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】∵、是棱上两点，、分别在半平面、内， ，， 又∵二面角的平面角等于120°，且， ∴，，，∴， ． 故答案为：2． （4）如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长 ． 【答案】 【分析】推导出，从而，结合，，，能求出的长． 【详解】二面角为，是棱上的两点，分别在半平面、内， 且 所以, 所以， ， ， 的长 ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则以及数量积的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是中档题 （5）如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN= .    【答案】 【分析】用表示,平方求模即可. 【详解】根据题意， 所以即为二面角的平面角，即 ， 因为 为为对角线DF的中点， 所以, 又M为对角线AC靠近点A的三等分点， 则 所以, 所以 , 所以 . 所以所以线段 故答案为： （6）如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使.已知，则 .    【答案】或 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意已知可得结果. 【详解】由题意知，，所以， 展开得， 因为异面直线所成角为，所以向量的夹角为或， 因为，所以，即， 且， 代入可得：， 得方程：或，所以或， 故答案为：或. 2．（1）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为 . 【答案】 【分析】由，借助模长公式得出的长. 【详解】因为 所以 即 故答案为： （2）如图，在平行六面体中，，，，则的长为 . 【答案】2 【分析】可以看成空间的一个基底，由空间向量基本定理可以表达出，则，利用向量的相关知识即可求解. 【详解】， 又：，，， ∴ . 故答案为：2. （3）在平行六面体中，，，则的长（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用向量数量积的运算律及已知求的长. 【详解】如下图，，则， 所以， 又，， 所以.    故选：B 3．如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，若异面直线和所成角的大小，则 . 【答案】. 【分析】由图形结合向量夹角公式找到关系式，从而求解. 【详解】根据已知，， 由于，，， 则 ， 则与所成角的大小， 所以， 得，则. 故答案为： 4．（1）柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体，分别为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量运算得，，再求即可. 【详解】由柏拉图多面体的性质可知，侧面均为等边三角形，四边形为边长为1的菱形，又≌，所以，故四边形为正方形，同理四边形也为正方形．    取的中点，连接，则， 同理， ． 故选：A． （2）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有     故选：C （3）正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】用表示出，再求数量积． 【详解】因为E，F，G分别是的中点，四面体是正四面体，且棱长， 所以 . 故选：D． （4）正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出，即可由范围求得的最大值. 【详解】连接，如下图所示： 设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径， 由向量线性运算可知 正方体的棱长为2，则球的半径为1，， 所以 ， 而 所以， 即， 的最大值为2 故选：B 5．如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设． (1)试用表示向量； (2)若，求点到直线的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由向量的加减运算法则，即可求解向量； （2）先根据空间向量夹角公式求解，进而可得，再根据点到直线的距离等于求解即可. 【详解】（1）（1）由向量的加减运算法则知：在平行四边形中，， 又由. （2）由题意，， 又，，， 故， 则，故. 则点到直线的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $