2.3直线的交点及距离公式讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3 直线的交点及距离公式 【知识储备】 1．两条直线的交点坐标 (1) 两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 3．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 4．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 5．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 6．点关于点的对称 7．直线关于点的对称 8．两点关于某直线对称 9．直线关于直线的对称 【题型精讲】 【题型一 直线的综合运用】 例1．（1）“”是“直线与直线互相平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．或1 例2．当时，直线必经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 例4. 已知直线l过点. （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值. 【题型精练】 1．“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知直线：，直线：，若或，则的值可能为（    ） A．4 B． C． D．1 3．直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 4．已知直线，其中，则（　 ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 5．已知直线：，：，则（    ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．不经过第三象限，则 6．如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．若，，且，则直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 . 10．已知直线方程为，其中. (1)求直线恒过定点的坐标.当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程； (2)若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程. 11．已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 12．已知直线 (1)证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； (2)求点到直线l距离的最大值； (3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【题型二 直线的交点问题】 【例1】（1）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 （2）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（    ） A．1 B． C．﹣2 D．﹣1 【例2】若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型精练】 1．已知直线：x+y-4=0，：x-y+2=0和直线：ax-y+1-4a=0. (1)若存在一个三角形，它的三条边所在的直线分别是，，，求实数a的取值范围； (2)若直线l经过和的交点，且点到l的距离为2，试求直线l的方程. 2．若直线不能构成三角形，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【题型三 直线的三种距离】 【例3】（1）已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（       ） A． B． C． D． （2）（最值问题）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． （3）（两点间距离公式的几何意义）设直线，为直线上动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例4】（1）直线与直线交于点，则点到直线的距离为（       ） A． B． C． D． （2）已知点在直线上的运动，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【例5】已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【题型精练】 1．已知x，y∈R，，则S的最小值是（       ） A．0 B．2 C．4 D． 2．当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 3．已知点，点Q是直线上：的动点，则的最小值为 . 4．已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值. 5．在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为 ． 6．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ） A． B． C． D． 7．已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 【题型四 对称问题】 【例6】（点关于点对称）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为_________． 【例7】（点关于线对称）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_________. 【例8】（直线关于点对称）直线关于点对称的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【例9】（直线关于直线对称）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【例10】一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型精练】 1．已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是______. 2．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 4．直线关于点对称的直线方程是______． 5.（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型四 综合运用】 【例11】我们在初中都接触过用来表示直线的一次函数，我们称形如的方程称为直线的斜截式方程，其中，我们称k为直线的斜率；特别地，若两条直线的斜率，的乘积为，则称这两条直线互相垂直，进一步的，还可以将斜截式方程转化为直线的一般式方程（，不同时为0）或者点斜式方程，此时方程表示斜率为k的直线恒过定点，若已知直线上两点坐标、，则有两点间距离，设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则动直线所过定点B为 ，的最大值为 . 【例12】已知点是直线上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例13】（中线）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. （角平分线）已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； (2)求角的角平分线所在直线的一般式方程． （高线）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)点和点的坐标： (2)在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【题型精练】 1．已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（    ） A． B． C． D． 2．台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则 ． 3．已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________. (1)求直线的一般式方程； (2)已知点为直线上一动点，求最小值. 试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分. 4．已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（    ） A．B点的坐标为 B．为定值 C．最大值为 D．的最大值为 5．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 6．已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程： (2)求的面积. 7．（1）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程. 8．过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. （1）求点坐标； （2）求直线的方程. 2.3 直线的交点及距离公式 【知识储备】 1．两条直线的交点坐标 (1) 两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 3．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 4．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 5．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 6．点关于点的对称 7．直线关于点的对称 8．两点关于某直线对称 9．直线关于直线的对称 【题型精讲】 【题型一 直线的综合运用】 例1．（1）“”是“直线与直线互相平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与互相平行， 则，解得或， 当时，符合题意；当时，两直线重合，不符合题意； 故选：C. （2）直线：，：，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．或1 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的公式求解即可. 【详解】因为：，：垂直， 所以， 解得或， 将，代入方程，均满足题意， 所以当或时，. 故选：. 例2．当时，直线必经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】分别求得直线在y轴上的截距和在x轴上的截距，从而可判断. 【详解】令，得直线在y轴上的截距为；令，得直线在x轴上的截距为． 因为，所以， 所以该直线过第一、二、三象限，不过第四象限． 故选：ABC 例3．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 【答案】B 【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解. 【详解】由的顶点，，知， 重心为，即， 又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即， 所以可得的欧拉线方程，即， 因为与平行， 所以， 解得， 故选：B 例5. 已知直线l过点. （1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程； （2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值. 【题型精练】 1．“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 2．已知直线：，直线：，若或，则的值可能为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】BC 【分析】根据两直线平行、垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线：，直线：， 若，则，解得； 若，则，解得或， 当时直线：与直线：平行，符合题意； 当时直线：与直线：重合，不符合题意； 综上可得,或. 故选：BC. 3．直线和直线垂直，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．0或-1 D．-1 【答案】B 【分析】由两直线垂直直接计算. 【详解】由两直线垂直可知， 解得或， 故选：B. 4．已知直线，其中，则（　 ） A．当时，直线与直线垂直 B．若直线与直线平行，则 C．直线过定点 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】计算直线斜率判断A；由平行求出参数值判断B；求出直线过的定点判断C；求出直线的截距判断D. 【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为， 因此当时，直线与直线垂直，A正确； 对于B，若直线与直线平行，则，解得或，B错误； 对于C，当时，，与无关，则直线过定点，C正确； 对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是，1，不相等，D错误. 故选：AC 5．已知直线：，：，则（    ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．不经过第三象限，则 【答案】AD 【分析】应用求定点方法判断A选项,根据两直线平行求参判断B选项, 根据两直线垂直求参判断C选项,把直线不过第三象限转化为截距关系判断D选项. 【详解】因为：,所以, 可得，, 恒过点，A选项正确; 因为,所以，则或，故B选项错误; 因为，所以则故C选项错误; 因为不经过第三象限， 则直线与坐标轴不垂直时，在轴截距大于等于0, 在轴截距大于等于0, ：，令,则 令，则 , 当,：符合题意， 当,：符合题意， 所以不经过第三象限，则，故D选项正确. 故选：AD. 6．如果，，那么直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】确定直线在轴、轴上截距的正负，数形结合可知直线所经过的象限. 【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 如下图所示： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限. 故选：ABC. 7．若，，且，则直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】根据题意可得，，，进而转化为，从而求出的值，进而求出直线的方程，即可判断直线所经过的象限. 【详解】∵，，且， ∴，，， ∴，∴， 则直线，即，即， 故直线不经过第四象限． 故选：ABC． 8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然为直角三角形，且为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设的中点为，由， 所以，由 所以的方程为， 所以欧拉线的一般式方程为. 故选：C. 9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，，则其“欧拉线”的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程. 【详解】由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点， ∴“欧拉线”的方程为. 故答案为：. 10．已知直线方程为，其中. (1)求直线恒过定点的坐标.当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程； (2)若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程. 【答案】(1)直线恒过定点，， (2)4， 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时　一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值． 【详解】（1）直线方程为， 可化为对任意都成立， 所以，解得，所以直线恒过定点. 设定点为，当变化时， 时， 点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值， 即，此时直线过点且与垂直， ∴，解得故直线的方程为 （2）由于直线经过定点.直线的斜率存在且， 可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点∴，，解得. ∴ 当且仅当时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为：，即：. 11．已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可. （2）设出直线的方程，分别令、求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 所以设直线的方程为， 令，则；令，则， 所以 ， 当且仅当，即时，三角形面积最小， 此时的方程为． 12．已知直线 (1)证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； (2)求点到直线l距离的最大值； (3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）化简直线，得到的必过点，得证； （2）根据直线过点可得点到直线距离的最大值为即可； （3）设，由（1）得，列出三角形面积公式，利用基本不等式即可求得三角形面积最小值. 【详解】（1）对于，化简得， 令，得到， 对于点，直线与直线都是必过点， 所以，无论为何值，直线与直线总相交. （2）由（1）可得直线过点， 故点到直线l距离的最大值为， 当直线取到. （3）设 ，由（1）得， ，整理得， 因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立）， ，面积的最小值为. 【题型二 直线的交点问题】 【例1】（1）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 （2）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（    ） A．1 B． C．﹣2 D．﹣1 【例2】若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型精练】 1．已知直线：x+y-4=0，：x-y+2=0和直线：ax-y+1-4a=0. (1)若存在一个三角形，它的三条边所在的直线分别是，，，求实数a的取值范围； (2)若直线l经过和的交点，且点到l的距离为2，试求直线l的方程. 【答案】(1)且 (2)x=1或 【分析】（1）求得与的交点的坐标，然后由直线不过点，不与直线平行求得的范围； （2）考虑斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程． 【详解】（1）由可得：，∴和的交点A的坐标为. 当过点A时，， 此时不存在三角形满足题意，为满足题意，必有， 当或时，由于的斜率为-1，的斜率为1，的斜率为a，∴a=1或a=-1， 此时也不存在三角形满足题意，为满足题意，必有，综上可知：且. （2）直线l经过和的交点，当轴时，l的方程为：x=1， 点到l的距离为2，符合题意； 当l与x轴不垂直时，设l的方程为：，即， 由于点到l的距离为2，所以， 此时l的方程为：，综上可知，直线l的方程为：x=1或. 2．若直线不能构成三角形，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分，过与的交点三种情况讨论即可. 【详解】因为直线不能构成三角形， 所以存在，过与的交点三种情况， 当时，有，解得； 当时，有，解得； 当过与的交点，则联立，解得，代入，得，解得； 综上：或或. 故选：ABD. 【题型三 直线的三种距离】 【例3】（1）已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（       ） B． B． C． D． （2）（最值问题）过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. （3）（两点间距离公式的几何意义）设直线，为直线上动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的几何意义，通过数形结合即可得解. 【详解】表示点到点距离的平方， 该距离的最小值为点到直线的距离，即， 则的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题. 【例4】（1）直线与直线交于点，则点到直线的距离为（       ） B． B． C． D． （2）已知点在直线上的运动，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【例5】已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【题型精练】 1．已知x，y∈R，，则S的最小值是（       ） A．0 B．2 C．4 D． 2．当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 3．已知点，点Q是直线上：的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】的最小值即为点到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】的最小值即为点到直线的距离， 故的最小值为. 故答案为：. 4．已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值. 【答案】（1）或 ；（2）. 【解析】（1）先将函数解析式化为，分别讨论，，三种情况，即可得出结果； （2）先由（1）得到，得出3a−4b−5=0，根据的几何意义，即可求出结果. 【详解】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想. （1）. 由，可得，或，或， 解得或或. 所以不等式的解集为或 （2）由（1）易求得，即. 所以，即. 表示点与点的距离的平方. 又点在直线上. 因为点到直线的距离， 所以的最小值为. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想,属于中档题. 5．在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】由题意设，可知，，根据点到点，的“折线距离”相等，可得，即可求解. 【详解】    设，因为点在矩形内（含边界）， 则，， 因为点到点，的“折线距离”相等， 所以，即， 则， 当时，， 当时，， 设，，则点的轨迹为线段， 故点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出点，根据折线距离的计算公式列出相关的式子，由，的取值去掉绝对值符号求解即可. 6．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解. 【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则， 直线 ，整理为， 原点O到直线距离为， 故选：B 7．已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵直线与直线 平行，线段的中点为， ，化简可得 解得， 设 ， ，即 故选：A 【题型四 对称问题】 【例6】（点关于点对称）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为_________． 【例7】（点关于线对称）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_________. 【例8】（直线关于点对称）直线关于点对称的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【例9】（直线关于直线对称）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【例10】一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型精练】 1．已知点关于点的对称点为，则点到原点的距离是______. 2．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 3．已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 4．直线关于点对称的直线方程是______． 5.（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型四 综合运用】 【例11】我们在初中都接触过用来表示直线的一次函数，我们称形如的方程称为直线的斜截式方程，其中，我们称k为直线的斜率；特别地，若两条直线的斜率，的乘积为，则称这两条直线互相垂直，进一步的，还可以将斜截式方程转化为直线的一般式方程（，不同时为0）或者点斜式方程，此时方程表示斜率为k的直线恒过定点，若已知直线上两点坐标、，则有两点间距离，设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则动直线所过定点B为 ，的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出两条直线经过的定点，然后根据两条直线的斜率可判断它们垂直，从而，在利用勾股定理和基本不等式即可得解. 【详解】显然过定点， 直线可化成，则经过定点， 当时，的斜率为， 此时，则两直线垂直； 当时，为；为， 显然两直线垂直； 综上，直线和直线垂直， 又为两条直线的交点，则，    又， 由勾股定理和基本不等式，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是. 故答案为：；. 【例12】已知点是直线上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点关于直线的对称点，从而当三点共线时得到最小值. 【详解】解析：设关于直线的对称点为，所以， 解得:，所以：， 当三点共线时有最小值：， 所以：的最小值等于.故D项正确. 故选：D. 【例13】（中线）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值. 【详解】（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. （2）由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. （角平分线）已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； (2)求角的角平分线所在直线的一般式方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可； （2）根据题意，分点位于直线上方和点位于直线下方两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当所求直线过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，故方程为， 当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等， 所以，设所求直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以所求直线方程为 综上，满足条件的直线方程为或. （2）解：因为的顶点，，直线的斜率为， 所以，直线方程为，直线的倾斜角为， 根据题意，作出其图形，如图， 当点位于直线下方时，，此时其角平分线为， 角平分线的倾斜角为， 所以，角平分线方程为，即； 当点位于直线上方时，，此时其角平分线为， 角平分线的倾斜角为， 所以，角平分线方程为，即. 所以，角的角平分线所在直线的一般式方程为或 （高线）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)点和点的坐标： (2)在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据在直线上以及与边上高所在直线斜率的关系，列出方程组求解出点坐标；根据的中点在中线上以及边上的高经过求解出点坐标； （2）假设存在，根据的大小确定出所在直线的倾斜角，从而可知，分别求解出所在直线的方程，联立可得结果. 【详解】（1）设，因为，所以， 又因为上的高所在直线方程为，所以， 所以， 所以，解得，所以； 设，因为边上中线所在直线方程为， 所以，即， 又因为边上的高经过点，所以， 所以，解得，所以. （2）设存在满足条件，如图所示， 因为，所以， 因为平分，所以， 因为且，所以， 所以，所以，即， 又因为，，所以，即， 所以，所以， 综上所述，存在满足条件. 【题型精练】 1．已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ． 故选：C 2．台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则 ． 【答案】 【分析】以C为原点，边分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出的坐标，求出关于轴的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，则直线方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果. 【详解】以C为原点，边分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图， 则， N关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为， 直线方向为本球射出方向， 故,. 故答案为：. 3．已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________. (1)求直线的一般式方程； (2)已知点为直线上一动点，求最小值. 试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三种不同的条件，求出直线的斜率，得出直线的点斜式方程，在转化为一般式即可. （2）设点关于直线的对称点为，利用中点坐标在直线上和两直线垂直斜率之积为，列出方程组求出对称点的坐标，利用对称即可求得最短距离. 【详解】（1）解：若选①，由直线的方向向量为得，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. 若选②，直线经过与的交点， 联立，解得， 所以交点坐标为， 直线的斜率为， 所以直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. 若选③，由题意设直线的方程为，则 所以直线的一般式方程为. （2）解：设点关于直线的对称点为， 由题意得，，解得， 所以， 4．已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（    ） A．B点的坐标为 B．为定值 C．最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，基本不等式，以及三角函数辅助角求最值即可判断各选项. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点， 又因为，即， 恒过定点，故A选项正确； 由 和， 满足，所以，可得， 所以，故B选项正确； 而， 当且仅当时等号成立， 所以最大值为，故C错误； 因为，设，为锐角, 则， ， 所以，， 所以当时，取最大值，故选项D正确. 故选：ABD. 5．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2). 【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标. （2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积. 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 6．已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程： (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程. （2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积. 【详解】（1）边上的高所在直线方程为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. （2）边上的中线所在的直线方程为， 由解得，即. 设，则， 所以，解得，即. ，到的距离为， 所以三角形的面积为. 7．（1）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程； （2）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设，将中点坐标代入方程可求得点坐标；由垂直关系可求得直线方程，与直线方程联立可求得点坐标；根据直线方程的两点式可整理得到直线的方程； （2）当直线过原点时，结合直线斜率可得方程；当直线不过原点时，结合直线方程截距式可求得结果. 【详解】（1）由题意知：点在直线上，则可设， 中点为，，解得：， ，，直线方程为：，即， 由得：，即； 直线的方程为：，即； （2）设直线在轴上的截距分别为， 当时，直线经过原点，则直线斜率， 直线方程为，即； 当时，可设直线方程为，则， 直线方程为； 综上所述：直线方程为或. 8．过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 9．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. （1）求点坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由AC边上的高BE所在的直线方程可得kAC．利用点斜式可得AC方程,与CM方程联立解得C坐标．（2）设B点坐标，可得中点M坐标代入CM方程，与BE方程联立，可得点B坐标，利用点斜式即可得出所求直线方程． 【详解】（1）边上的高为，故的斜率为， 所以的方程为， 即， 因为的方程为     解得 所以. （2）设，为中点，则的坐标为， 解得， 所以， 又因为， 所以的方程为 即的方程为. 【点睛】本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $