第一章：特殊的平行四边形： 矩形正方形的综合应用培优 教案 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一讲  特殊四边形的综合应用

一、教学目标

1．掌握菱形、矩形和正方形的概念，性质及判定方法．

2.灵活运用特殊四边形的性质定理进行有关的论证和计算．

二、教学重难点

重点：运用特殊四边形的知识点解决几何问题

难点：特殊四边形的性质定理进行有关的论证和计算（数形结合）．

三、知识考点

1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（长方形和正方形都是矩形）

     一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

     一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、性质：

 ①矩形：四个角都是直角，对角线相等。

②菱形：四条边都相等，对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角。

③正方形：四个角都是直角，四条边相等，对角线相等，互相垂直平分并

且每条对角线平分一组对角。

 

3、判定：

（1）矩形：   ①有三个角是直角的四边形。

      ②平行四边形+对角线相等

               ③平行四边形+90°

（2）正方形：  ①矩形+邻边相等；            ②矩形+对角线垂直

               ③菱形+90°                  ④菱形+对角线相等

               ⑤平行四边形+邻边相等+90°    ⑥平四边形+对角线垂直平分

 

 

 

 

 

 

 

 

四、典型例题

考点一：菱形的性质与判定的综合应用

1．（2025春•郫都区校级期中）下列命题中，正确的是（　　）

A．一组邻边相等的四边形是菱形                       B．对角线互相垂直的四边形是菱形 

C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2．（2025•成都校级三模）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　）

A． B． C．a2 D．

3．（2025春•遂宁期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得BD＝6cm，AB＝5cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则线段EF的长为（　　）

A． B． C．4cm D．5cm

3．（2024春•温江区校级期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB，点E在对角线BD上，连接EC，∠ECB＝45°，点P为直线BC上一动点．连接EP，以EP、EB为邻边构造平行四边形BEPQ，连接AQ．则AQ的最小值为 　                 　 ．

4．（2025春•凉山州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

考点二：矩形的性质判定的综合应用

1.下列关于矩形的说法中正确的是（     ）

A.对角线相等的四边形是矩形           B.矩形的对角线相等且互相平分

C.对角线互相平分的四边形是矩形       D.矩形的对角线互相垂直且平分

 

2．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为(     )

A．3              B．4                C．5                D．6

 

3.如图， EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O ，且分别交 AB 、 CD 于 E 、 F ，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的 _________.