上学期期中测试卷01（测试范围：第1-4章）（上海专用）2025-2026学年高一数学

2025-2026学年高一数学上学期期中测试卷01 时间：90分钟； 满分100分 测试范围：第1-4章 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．集合用列举法可以表示为 . 【答案】 【解析】集合，故答案为： 2．化简 （其中）． 【答案】 【解析】原式.故答案为： 3．不等式的解集是 . 【答案】 【解析】原不等式可化为，．故答案为：． 4．若集合，，，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为集合，，，可知，所以a的取值范围是.故答案为：. 5．设，则方程的解集为 . 【答案】 【解析】当时，原方程化为，解得，又， 所以方程的解为；当时，原方程化为，解得，又， 所以方程无解；当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得，又，所以方程的解为； 综上所述，方程的解集为. 6．已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 【答案】m、n不都是奇数 【解析】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”，利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数. 故答案为：m、n不都是奇数. 7．已知，，则的最大值为 【答案】3 【解析】由，可得， 当时等号成立.故答案为：3. 8．比较下列两数的大小关系， 的大小（填、或符号） 【答案】 【提示】根据指数运算及幂函数单调性直接可判断. 【解析】由， ， 且， 又函数在上单调递增， 所以， 即， 故答案为：. 9．设常数，集合．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【提示】分和两种情况求出集合，再由可求出a的取值范围. 【解析】当时，由，得或，所以或， 因为，且，所以，解得， 当时，由，得或，所以或， 因为，且，所以，即恒成立，所以， 综上，.故答案为：. 10．对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【提示】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可. 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16；当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个.故答案为：17. 11．已知集合，集合，且，， 则 . 【答案】 【提示】依题意，，即可求出，从而求出集合，再分和两种情况讨论，分别求出、，再代入计算可得. 【详解】因为，， 所以，，即，解得， 所以， 又，即， 若，则，解得， 此时； 若，则，解得，此时无意义，故舍去； 综上可得. 故答案为： 12．对于一个正整数，如果将它的各位数码反向排列后与它本身相等，则称这样的数是“自恋数”，例如6，121，2992都是自恋数．设所有自恋数组成的集合为A，而，则中有 个元素． 【答案】4 【提示】先解出不等式求得集合，再结合自恋数及交集的定义求解即可. 【详解】由，即， 解得或， 则或， 在内的自恋数有：， 在内的自恋数有：， 所以，有4个元素. 故答案为：4. 二、选择题（每小题3分，共12分） 13．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】取，则，但是，A错误，，但是，C错误， 取，则，但是，D错误，由，可得，所以， 故，B正确，故选：B. 14．若，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 【答案】D 【提示】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】对于A,若时，则无意义，故A错误， 对于B,若时，无意义，故B错误， 对于C,若，则或，故C错误， 对于D,若，则，故正确， 故选：D 15．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当两负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为；∴，故只有B正确.故选：B. 16．对于区间内任意两个正整数，，定义某种运算“*”如下：当，都是正偶数时，；当，都为正奇数时，，则在此定义下，集合中元素个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【提示】分别讨论，都是正偶数时，，，都是正奇数时，，所以，再由即可求出集合，进而可得集合中的元素的个数. 【详解】因为当，都是正偶数时，； 当，都为正奇数时，， 所以当，都是正偶数时，，可得； 当，都是正奇数时，，所以， 因为， 所以，； ，； ，； ，； 所以， 所以集合中的元素有个， 故选：C. 三、解答题52分 17．（10分）已知全集为R，集合，集合. （1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或;(2) 【分析】（1）解不等式，求出集合、，再求. （2）由得到，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【解析】（1）由， 所以，即.由或，即或， 所以或.所以或. （2）因为或，所以.由得到. 若即，此时，成立； 若即，由. 综上可知：.所以的取值范围是：. 18．（12分）（1）已知，求证：. （2）证明：是无理数. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）指数式化为对数式，得到左式，右式，证毕； （2）反证法进行证明，假设是有理数，则，其中为既约分数，则，但为偶数，为奇数，相矛盾，故为无理数. 【解析】（1）证明：， 左式， 右式， 所以左式=右式. （2）证明：假设是有理数，则，其中为既约分数， 则 ，则，这与为偶数，为奇数相矛盾， 所以假设不成立，所以是无理数． 19．（14分）某种型号的特殊运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，根据规定（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格为每升6元，送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.（x精确到0.1千米/小时，总费用精确到0.01元，） 【答案】(1)，.(2)当时，总费用最低，为元. 【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式. （2）利用基本不等式求最值即得结果. 【解析】（1）卡车行驶的时间为：， 所以卡车这次行车的油费为：元，司机的工资为：元. 所以这次行车总费用为：， （2）因为（当且仅当即时取 “”）. 所以当时，总费用最低，为元. 20．（16分）已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，若存在，使得，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）将解析式代入不等式后可得关于a的绝对值不等式，解不等式后再结合解集为，可得a的值. （2）将代入函数解析式，将不等式变形后可构造新函数，将不等式能成立问题转化为函数的最值问题后求出t的取值范围. （3）对a进行分类讨论，分析当a取不同取值范围时不等式的解集是否为R，进而求出a最终的取值范围. 【解析】（1）不等式的解集为，所以的解集为， 由，可得，求得， 又因为解集为，故有，故． （2）当时，，若存在，使得， 即存在，使得，令， 故的最小值，又， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为18，故， 故使有解的实数的范围为. （3）若恒成立，则恒成立， 则或恒成立，即或恒成立. ①当时，解得或，不等式解集不为（舍）， ②当时，解得或，不等式解集不为（舍）， ③当时，解得或， 若不等式解集为，则， 所以，解得， ④当时，解得或，解集不为（舍）， ⑤当时，解得或，解集不为（舍）， 综上所述，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中测试卷01 时间：90分钟； 满分100分 测试范围：第1-4章 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．集合用列举法可以表示为 . 2．化简 （其中）． 3．不等式的解集是 . 4．若集合，，，则a的取值范围是 . 5．设，则方程的解集为 . 6．已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 7．已知，，则的最大值为 8．比较下列两数的大小关系， 的大小（填、或符号） 9．设常数，集合．若，则的取值范围为 ． 10．对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 11．已知集合，集合，且，， 则 . 12．对于一个正整数，如果将它的各位数码反向排列后与它本身相等，则称这样的数是“自恋数”，例如6，121，2992都是自恋数．设所有自恋数组成的集合为A，而，则中有 个元素． 二、选择题（每小题3分，共12分） 13．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．若，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 15．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 16．对于区间内任意两个正整数，，定义某种运算“*”如下：当，都是正偶数时，；当，都为正奇数时，，则在此定义下，集合中元素个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 三、解答题52分 17．（10分）已知全集为R，集合，集合. （1）求；（2）若集合，且，求实数的取值范围. 18．（12分）（1）已知，求证：. （2）证明：是无理数. 19．（14分）某种型号的特殊运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，根据规定（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格为每升6元，送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.（x精确到0.1千米/小时，总费用精确到0.01元，） 20．（16分）已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，若存在，使得，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $