精品解析：2023年福建省泉州泉港区第四届颐丰杯八年级数学试卷

2023年福建省泉州泉港区第四届颐丰杯八年级数学试卷 一、填空题（共10题，每题6分，满分60分） 1. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，首先把看成，利用平方差公式分解因式可得：原式，再把看成，继续利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 2. 已知，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，掌握相关知识是解题关键． 将方程两边同时除以字母x即可求解． 【详解】解：将方程两边同时除以字母x得：， ． 故答案为：3． 3. 已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解此题的关键．可利用多项式乘法展开后的系数对应关系，展开得，与原式对比后找到所有整数对并计算对应的即可． 【详解】解：展开可得：， 与原式对比可得：常数项：，一次项系数：， ∴整数对需满足，且，可能得整数对及对应的a如下： ①，，则； ②，，则； ③，，则； ④，，则； ⑤，，则； ⑥，，则． 综上所述，符合条件的a的个数有6个． 故答案为：6． 4. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，整体代入法求整式的值，将化为，整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 5. 小明在一台计算器上看到有一个符号“”，他进行了输入运算实验，发现，，，随着的增大，的值增大，若、是两个相邻的整数，，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了数字规律探索，有理数乘方的逆运算，解决本题的关键是根据已知等式总结规律，再结合规律对所求式子进行化简．根据，，，可得，再根据、是两个相邻的整数，求出a，b的值即可解答． 【详解】解：，，， ， ， ， 、是两个相邻的整数，即， ， 故答案为：15． 6. 不论为何实数，直线恒过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征． 根据题意可知的系数为，可得，从而可得，即可得定点坐标． 【详解】解：， ∵不论为何实数，直线恒过定点， ∴， ∴， ∴， ∴直线恒过定点． 故答案为：． 7. 如图，中，，，，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，证明，对应边相等，对应角相等，结合已知可得，从而可得，由三角形外角的性质可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 8. 如图，四边形中，平分，若，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，由角平分线的定义，结合已知可证，对应边相等，对应角相等，由等角的补角相等可得，根据等角对等边，等量代换，即可得． 【详解】解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，等角的补角相等，等角对等边． 9. 用边数为的三种边长相等的正多边形地砖铺地，将其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据多边形内角和公式表示出各正多边形的内角，再根据三个内角相加等于解答即可求解，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为是解题的关键． 【详解】解：由题意知，这种多边形的3个内角之和为， 已知正多边形的边数为， 那么这三个多边形的内角和可表示为， 两边都除以得，， 两边都除以得，． 故答案为：． 10. 如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可以求出，根据矩形的性质可知，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 又 ， ， ． 故答案为：． 二、解答题（共6题，满分90分） 11. 已知a、b、c满足，．试求的值． 【答案】的值为 【解析】 【分析】本题考查因式分解． 由第一个方程可得，整体代入第二个方程，通过因式分解可得，从而可得和，代入第一个方程，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， 把，，代入， 可得， 解得， ∴的值为． 12. 如图，在中，，点是的中线上一点，连接并延长交于，，．试求出的长． 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等角对等边． 延长至，使，连接，证明，可得，，等量代换，等角对等边，结合已知即可得的长． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． ∴的长为． 【点睛】 13. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． （1）过点作轴的垂线分别与直线相交于点，求线段的长（用表示）； （2）在（）的条件下，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，；当时， （2）存在；或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式求解、点的坐标表示以及平行四边形的性质． ()首先求出，然后求出直线的解析式是，表示出，，然后分两种情况表示即可； ()首先求出，然后结合平行四边形的性质，分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与交于点，过点作轴于点， ∴点的横坐标为， ∵直线， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式是，将，坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式是， 由图知点在一条直线上，即， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 【小问2详解】 存在以为顶点的四边形是平行四边形； 理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵由（）得， ∴， 若四边形是平行四边形，则， 即：当时，，解得， 当时，，解得， ∴或． 14. 在四边形中，，，与的角平分相交于点P，，试求的长． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，熟练掌握角平分线遇到平行线会出现等腰三角形是解答本题的关键．根据条件，先证明点P在上，再根据条件证明四边形是平行四边形，继而根据角平分线与平行线得到，即可得到的长． 【详解】解：如图，分别作、的角平分线，交于点P， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴与重合，即点P在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为16． 15. 在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． （1）若点M是的中点，求证：； （2）若，试求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 点M是的中点， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，由勾股定理即可得证； （2）过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接，再根据判定，再根据判定，得出，结合角平分线的判定定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接， 由（1）知，和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 又，， ， ， ，， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理，角平分线的判定定理等；掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．过点作轴的平行线与函数的图象交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点作轴的平行线与直线交于点（点、不重合）． （1）当点绕着点顺时针旋转恰好落在点时，试求的面积． （2）当为何值时，的值为定值？并求出此时、应满足的条件． 【答案】（1）的面积为； （2）当时，的值为定值，此时、应满足的条件为． 【解析】 【分析】（1）连接，，可得为等腰直角三角形，从而可得点的坐标，进而可得点的坐标，即可得的长度，代入三角形的面积公式计算即可； （2）根据点和点的位置关系，进行分类讨论，用，，表示，化简整理，由的值为定值，可得满足题意的的值，以及对应的、满足的条件． 【小问1详解】 解：连接，， 由旋转的性质可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∵轴，且过点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【小问2详解】 解：根据题意可得，，，，， ∴， 由得， ∴， 当时，， ∵当时，（定值）， 当时，， 若为定值，则，此时，不符合题意， ∴当时，的值为定值，此时、应满足的条件为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与几何的综合，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年福建省泉州泉港区第四届颐丰杯八年级数学试卷 一、填空题（共10题，每题6分，满分60分） 1. 因式分解：______． 2. 已知，则的值为______． 3. 已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有______个． 4. 已知，则的值为______． 5. 小明在一台计算器上看到有一个符号“”，他进行了输入运算实验，发现，，，随着的增大，的值增大，若、是两个相邻的整数，，则______． 6. 不论为何实数，直线恒过定点______． 7. 如图，中，，，，则______度． 8. 如图，四边形中，平分，若，，．则______． 9. 用边数为的三种边长相等的正多边形地砖铺地，将其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，则______． 10. 如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则______． 二、解答题（共6题，满分90分） 11. 已知a、b、c满足，．试求的值． 12. 如图，在中，，点是的中线上一点，连接并延长交于，，．试求出的长． 13. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作轴于点，点的横坐标为． （1）过点作轴的垂线分别与直线相交于点，求线段的长（用表示）； （2）在（）的条件下，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由． 14. 在四边形中，，，与的角平分相交于点P，，试求的长． 15. 在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． （1）若点M是的中点，求证：； （2）若，试求的度数． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．过点作轴的平行线与函数的图象交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点作轴的平行线与直线交于点（点、不重合）． （1）当点绕着点顺时针旋转恰好落在点时，试求的面积． （2）当为何值时，的值为定值？并求出此时、应满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $