16.3.1 平方差公式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

null 16.3 乘法公式 16.3.1 平方差公式 第 16 章 整式的乘法 人教版八年级(上) 1 1. 理解平方差公式 ( a + b )( a - b ) = a2 - b2. (重点) 2. 经历探索平方差公式的过程，了解平方差公式的几何背景.(重点) 3.能利用平方差公式进行简单的计算和推理.进一步培养观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.(难点) 素养目标 1. 多项式乘多项式的乘法法则是什么？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2.多项式乘多项式有哪些注意事项？ ① 运算中不遗漏和不重复乘任何一项； ② 多项式与多项式相乘，结果仍得多项式，但必须是最简形式，即不再含有同类项. ③ 多项式中每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号至关重要. 复习导入 (a + 4)(a − 4) 绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸.几天后还了一张宽为 (a - 4) cm， 长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？ (a + 4) (a - 4) 还的彩纸面积： = a2 − 4a + 4a − 42 = a2 − 42 答：不相等. 4 解：原正方形彩纸面积 a2 有什么特点？ ＜a2 复习导入 ① ( x＋1) ( x－1)； ② (m＋2) (m－2)； ③ (2x＋1)(2x－1)； 探究1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ x2－12 m2－22 (2x)2－12 两数的___ 两数的___ 和 差 两数____的差 平方 探究点一：平方差公式 新知探究 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 猜想 (a + b)(a − b) = = a2 − b2. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ a2 − ab + ab − b2 对于任意数字 a，b 根据多项式乘多项式法则有： 探究点一：平方差公式 新知探究 两个数的___与这两个数的___的积，等于 这两个数的平方差. 平方差公式 运算法则： 文字说明： 和 差 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 探究点一：平方差公式 新知探究 (a - b) b b (a + b) 如何利用几何的形式解释平方差公式？ (a + b)(a − b) = a2 − b2 探究点一：平方差公式 新知探究 探究 2：如图所示，阴影部分是一个边长为 a 的大正方形的右下角截去了一个边长为 b 的小正方形.截完后阴影部分的面积是多少？ a b a b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 成立吗？ 几何论证： 探究点一：平方差公式 新知探究 问题 1：你能用含 a，b 的式子表示变形前后阴影部分的面积吗？你发现了什么规律？ 变形前阴影部分面积为： a2 - b2 变形后阴影部分面积为： (a + b)(a − b) a b a b a (a-b) b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 规律 还有几何其他的方法吗？ 探究点一：平方差公式 新知探究 a b a b a a-b b a a-b b a a b b a-b 其他方法： 算一算！ 探究点一：平方差公式 新知探究 探究点一：平方差公式 点击视频观看 新知探究 例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2)；(2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(1) (3x＋2)(3x－2) ＝ (3x)2－ (a ＋ b) (a － b) ＝ a2 － b2 ＝ 9x2－4. 22 探究点二： 运用平方差公式进行计算 注意：实际使用平方差公式时，a，b可以是数、字母、式子等形式. 新知探究 (2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(2) (－x＋2y)(－x－2y) ＝ (－x)2－ ＝ x2－4y2. (2y)2 相同看作 a 相反看作 b 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 a + b 1 (a + b)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (a + b - 1)(a + b + 1) (1 + a)(-1 + a) 探究点二： 运用平方差公式进行计算 【填一填】 新知探究 【练一练】1.利用平方差公式计算： (1) (3x－5)(3x＋5)； (2) (－2a－b)(b－2a)； (3) (－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1) 原式＝(3x)2－52＝9x2－25. (2) 原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3) 原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 例2 计算： (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ； (3) 102×98. (1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 )； 解：(1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 ) = ( x2－1)( x2 + 1 ) = x4－1； 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 (3) 102×98 = 1002－22 = 10000－4 = (100＋2)(100－2) = 9996. (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) = y2 – 22 – (y2 + 4y – 5) = y2 – 4 – y2 – 4y + 5 = – 4y + 1. 不符合公式条件的乘法，仍按乘法法则进行运算. 探究点二： 运用平方差公式进行计算 i 新知探究 例3 利用平方差公式计算： (3x＋y－2)(3x＋2＋y)－12＝0，求 3x＋y. 解：(3x＋y)2－22＝12， (3x＋y)2＝16， (3x＋y)＝±4. 分析： (3x＋y－2)(3x＋y＋2)－12＝0 相同 相反 探究点二： 运用平方差公式进行计算 新知探究 平方差公式 内容 注意 两数的___与这两数的___的积，等于这两个数的平方差 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 (1) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 (2)符号相同为 a，符号相反为 b 和 差 课堂小结 1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　C　) A. (x＋y)(x＋y) B. (－x＋y)(x－y) C. (－x－y)(y－x) D. (x＋y)(－x－y) C 当堂反馈 2. 计算： (1)(x－2y)(x＋2y)； 解：(1)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2. (2)(2－3a)(2＋3a)； 解：(2)原式＝22－(3a)2＝4－9a2. (3)(－3m＋6n)(－6n－3m)； 解：原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 解：(1)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2. 解：(2)原式＝22－(3a)2＝4－9a2. 解：原式＝(－3m)2－(6n)2＝9m2－36n2. (4)(2a－1)(2a＋1)－a(4a－3). 解：原式＝(2a)2－12－4a2＋3a＝4a2－1－4a2＋3a ＝3a－1. 解：原式＝(2a)2－12－4a2＋3a＝4a2－1－4a2＋3a ＝3a－1. 当堂反馈 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $