16.1.2 幂的乘方与积的乘方（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

该初中数学课件聚焦幂的乘方与积的乘方的意义、性质及运算，通过制作正方体木箱的体积计算情境导入，引导学生利用乘方意义和同底数幂乘法法则推导新规律，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“情境-探究-验证-应用”为主线，通过具体实例猜想、一般化验证培养推理意识和运算能力，如幂的乘方从(10²)³到(aᵐ)ⁿ的推导。课堂小结系统梳理法则，当堂反馈及时巩固，助力学生发展数学思维，也为教师提供清晰的教学路径。

16.1.2 幂的乘方与积的乘方 16.1 幂的运算 第 16 章 整式的乘法 人教版八年级(上) 1 1. 理解幂的乘方与积的乘方的意义，掌握幂的乘方与积的乘方的性质. (重点) 2. 会进行幂的乘方与积的乘方的计算，在应用幂的乘方与积的乘方的运算性质中，培养思维的灵活性. (难点) 3. 经历幂的乘方与积的乘方推导过程，发展合情推理的意识．培养用数学的思维发展推理能力和有条理的表达能力. 素养目标 用六个边长为 102 的正方形木板，制作一个正方体木箱，那么这个木箱的体积是多少？ 102 102 ＝边长×边长×边长 V正 ＝(边长)3 ＝(102)3 结果还能继续计算吗？ 情境导入 根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则，你会计算 (102)3 吗？ (102)3 = 102 ×102 ×102 = 10 2 + 2 + 2 = 10 2 × 3 = 10 6 . 情境导入 探究点一：幂的乘方运算 探究：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) (32)3 = 32×32 ×32 = 3（ ）； (2) (a2)3 = a2·a2 ·a2 = a（ ）； (3) (am)3 = am·am ·am = a（ ）. 6 6 3m 新知探究 幂的乘方，底数______，指数＿__＿. 猜想 观察计算结果，你能发现规律并提出猜想吗？ 幂的乘方 结果的底数 结果的 指数 指数的计算过程 (102)3 =106 10 6 (32)3 = 36 3 6 (a2)3 = a6 a 6 (am)3 = a3m a 3m 不变 相乘 6 = 2×3 3m = m×3 6 = 2×3 6 = 2×3 探究点一：幂的乘方运算 新知探究 一般地，对于任意底数 a 与任意正整数 m，n. (am)n = am·am·…·a m n 个 am = am+m+…+m n 个 m = amn. 【验证猜想】 探究点一：幂的乘方运算 新知探究 【幂的乘方法则】 运算法则： 文字说明： (am)n = amn (m，n 都是正整数). 幂的乘方，底数______，指数＿__＿. 不变 相乘 探究点一：幂的乘方运算 新知探究 (1) ( 103 )5 ； (2) ( a4 )4 ； (3) ( am )2； (4) -( x4 )3. 例1 计算： 解：(1) (103)5 = 103×5 = 1015 ； (2) (a4)4 = a4×4 = a16 ； (3) (am)2 = am·2 = a2m ； (4) -( x4 )3 = -x4×3 = -x12. 探究点一：幂的乘方运算 新知探究 (1) [( 22 )2 ]2 =_______=______； ( 24 )2 (2) [ ( 3x )y ]4 = _______=_______； (3xy)4 (3) {[(m - n)3]2}4 = ___________=________. [ (m - n)6 ]4 当幂进行三次或三次以上乘方运算时，是否也具有这一性质呢？ a8 34xy (m - n)24 看作整体 探究点一：幂的乘方运算 新知探究 (1) 公式 (am)n = amn 中的底数 a 不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他式子. (2) [(am)n] p= a m · n · p (m，n，p 都是正整数). 探究点一：幂的乘方运算 新知探究 例2 已知 5m＝3，5n＝2，求下列各式的值. (1) 53m； (2) 52n ； (3) 53m＋2n. 解：(1) 53m＝(5m)3＝33＝27. (2) 52n＝(5n)2＝22＝4. (3) 53m＋2n＝53m×52n＝27×4＝108. 根据幂的乘方法则逆运用，将所求式子变形为已知式子，然后整体代换计算求值. 总结 探究点一：幂的乘方运算 新知探究 问题：计算下列各式. (1)(2×3)2 =______； 22×32 =______ ； (2)(2×5)3 =______； 23×53 =______ ； (3)(3×5)2 =______； 32×52 =______ ； 36 36 1000 1000 225 225 观察两者有什么关系？ 探究点二：积的乘方运算 新知探究 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1)(2×3)2 = 22×32 (2)(2×5)3 = 23×53 (3)(3×5)2 = 32×52 思考：你发现了什么规律？ 你能证明这个猜测吗？ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别_______，再把所得的幂________. 乘方 相乘 猜想 探究点二：积的乘方运算 新知探究 一般地，对于任意底数 a，b 与任意正整数 n ， (ab)n = (ab)· (ab)· … · (ab) n 个 (ab) = (a· a· … · a) · (b· b· … · b) n 个 a = anbn. n 个 b 【验证猜想】 探究点二：积的乘方运算 新知探究 积的乘方，等于把积的每一个因式分别_______，再把所得的幂________. 【积的乘方法则】 运算法则： 文字说明： (ab)n = anbn (n 为正整数). 乘方 相乘 探究点二：积的乘方运算 新知探究 ( ) (1) ( ab )2 ＝ ( ab )·( ab ) ＝ ( a·a )·( b·b ) ＝ a2 b2 . ( ) ( ) 问题：填空，并想一想运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？ (2) ( ab )3 ＝ ( ) ＝ ( ) ＝ . ( ) 乘方的意义 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法的性质 乘方的意义 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法的性质 探究点二：积的乘方运算 (ab)·(ab)·(ab) (a·a·a)·(b·b·b) a3b3 新知探究 例3 计算： (1) ( 2a )3 ； (2) ( -5b )3 ； (3) ( xy2 )2 ； (4) ( -2x3y )4. 解：(1) 原式 = (2) 原式 = (3) 原式 = (4) 原式 = = 8a3. = -125b3. = x2y4. = 16x12y4. 23·a3 (-5)3·b3 x2·( y2)2 (-2)4·( x3 )4·y4 探究点二：积的乘方运算 新知探究 (4) (-xmy3m)2＝(-1)2x2my6m＝x2my6m. 解：(1) (-4ab)3＝(-4)3a3b3＝-64a3b3. (2) -(3x2y)2＝-32x4y2＝-9x4y2. (3) (3×102)3＝(3)3×(102)3＝2.7×107. 【练一练】1. 计算：(1) (-4ab)3； (2) -(3x2y)2； (3) (3×102)3； (4) (-xny3m)2. 探究点二：积的乘方运算 易错归纳：用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 新知探究 2.计算下列各式： (1) (2x2)3 + 2x ·x5 - (-3x)2·x4； (2) -xy2 · (xy2)2 + (-2x2)3； (3) (-a3b6)2 + (-a2b4)3. 解析：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减并合并同类项. 探究点二：积的乘方运算 新知探究 (3) 原式 = a6b12 + (-a6b12) = 0. (2) 原式 = -(xy2)3 + (-8x6) = -x3y6 - 8x6 . 解：(1) 原式 = 8x6 + 2x6 - 9x2·x4 = 10x6 - 9x6 = x6. 探究点二：积的乘方运算 (1) (2x2)3 + 2x ·x5 - (-3x)2·x4； (2) -xy2 · (xy2)2 + (-2x2)3； (3) (-a3b6)2 + (-a2b4)3. 新知探究 幂的运算 幂的乘方 (am)n = amn ( m，n 都是正整数) [(am)n] p = am·n·p (m，n，p 都是正整数) 幂的乘方，底数____，指数____ 不变 相加 (ab)n = anbn ( n 是正整数) 积的乘方，等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂______ 乘方 相乘 积的乘方 课堂小结 1. 计算： (1)(x4)2； 解：原式＝x ＝ ⁠. (2)(－a4)3； 解：(2)原式＝－a4×3＝－a12. (3)(－a3)4； 解：(3)原式＝a3×4＝a12. ( ) 4×2 x8　 解：(2)原式＝－a4×3＝－a12. 解：(3)原式＝a3×4＝a12. 当堂反馈 (4) [(x－y)4]2；x－y)4×2＝(x－y)8. 解：(4) 原式＝(x－y)4×2＝(x－y)8. (5) (x2)3·x7；. (6) [(－x)2]5.：原式＝(－x)10＝x10. (5) 原式＝x6·x7＝x13. (6) 原式＝(－x)10＝x10. 2. 计算： (1)(xy)3＝ ⁠； (2)(－m2n)3＝ ⁠； (3)(－a3b)2＝ ⁠. x3y3　 －m6n3　 a6b2　 当堂反馈 解：原式＝ · · ＝ ⁠. (2) (－ ab2)3；式＝a6b12＋(－a6b12)＝0. －32　 x4　 y2　 －9x4y2　 解：原式＝(－ )3·a3·(b2)3＝－ a3b6. 3. 计算：(1)－(3x2y)2； (4) ()100×()101.()100× ＝(× )100× ＝ . (3) (－a2b4)2＋(－ab2)4；式＝a6b12＋(－a6b12)＝0. 解：原式＝a4b8＋(－a4b8)＝0. 解：原式＝()100×()100× ＝(× )100× ＝ . 当堂反馈 4. 如果ax＝3，求a3x的值. 解：a3x＝(ax)3＝33＝27. 5. 若a2n＝8，bn＝ ，求(－ab)2n的值.)2＝2. 解：a3x＝(ax)3＝33＝27. 解：∵a2n＝8，bn＝ ， ∴(－ab)2n＝a2n·b2n＝a2n·(bn)2＝8×()2＝2. 当堂反馈 $