16.1.1 同底数幂的乘法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

16.1 幂的运算 16.1.1 同底数幂的乘法 第 16 章 整式的乘法 人教版八年级(上) 1 1.理解同底数幂的乘法的性质，能正确地运用性质解决一些简单问题. (重点、难点) 2.会用数学的思维推导“同底数幂的乘法的性质”，初步理解从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律. 3.通过对公式的应用，进一步发展观察、归纳、类比等能力，发展有条理的思考能力和表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心. 素养目标 点击视频观看 情境导入 1016 ×103 次 怎样计算 1016 ×103 呢？ 问题：一种电子计算机每秒可进行 1 亿亿 (1016) 次运算，它工作 103 s 可进行多少次运算？ 它工作 103 s 可进行 运算的次数为: 情境导入 1016 ×103 = (10×···×10) ×(10 ×10×10) 16 个 10 相乘 = (10×10 ×···×10) 根据乘方的意义可知： 19 个 10 相乘 = 1019. 3个 10 相乘 情境导入 探究点：同底数幂的乘法运算 (1) 105×102 = 10( )； (2) a3 · a2 = a( )； (3) 5m×5n = 5( ) (m ，n 是正整数 ). 问题：根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现规律并提出猜想吗？ 思考：① 上述三个乘法运算式子的乘数有什么共同特征吗？ 乘数均为同底数的幂. 新知探究 (1) 105×102 = 10( )； 105×102 = 10×10×10×10×10×10×10 = 107 7 个 10 相乘 2 个 10 相乘 5 个 10 相乘 105×102 105 102 10×10×10×10×10 10×10 分析： 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 a3·a2 a3 a2 5m×5n 5m 5n 仿照 (1) 的分析步骤填写下列表格. a﹒a﹒a a﹒a 5×5×···×5×5 5×5×···×5×5 3 个 a 相乘 2 个 a 相乘 m 个 5 相乘 n 个 5 相乘 a3 · a2 = a · a · a · a · a = a5 5m · 5n = 5×5×···×5×5 = 5m+n 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 am·an 个 a ·( a·a·····a ) 个 a = a·a·····a 个 a = a( ). (乘法结合律) (乘方的意义) m n m + n m + n = ( a·a·····a ) am·an = am + n (m，n 都是正整数). ② 通过上述三个算式的计算规律，你能计算 am · an 吗？ 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 同底数幂的乘法： am · an = am+n (m，n 都是正整数). 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 . 运算法则： 文字说明： 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 例1 计算： (1) x2·x5 ； (2) a·a6 ； 解：(1) 原式 = x2+5 = x7. (2) 原式 = a1+6 = a7. (4) xm·x3m+1 . (3) (-3)×(-3)3； (3) 原式 = (-3)1+3 = (-3)4 = 81. (4) 原式 = xm＋3m＋1 = x4m＋1. 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 (1) (-2)×(-2)4×(-2)3 ； (2) (m - n)3 · (m - n)5 · (m - n)4 . 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ 解：(1) 原式 = (-2)1+4+3 = (-2)8 = 256. 看作整体 (2) 原式 = (m - n)3+5+4 = (m - n)12. 需计算最终结果 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 (1) 公式 am · an = am+n 中的底数 a 不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他式子. (2) am· an· a p = a m + n + p (m、n、p 都是正整数). 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 【练一练】1. 计算下列各式： (1) 32a×3b； (2) x2 · (-x)4 · x3； (3) (m - n)m+1 · (m - n)5-m. 解：(1) 32a×3b = 32a+b . (2) x2 · (-x)4 · x3 = x2 · x4 · x3 = x2+4+3 = x9. (3) (m - n)m+1 · (m - n)5-m = (m - n)m+1+(5-m)= (m - n)6. 负数的偶次幂是正数 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 2. 算式 23 +23 +23 +23 的结果是( ) A. 212 B. 26 C. 25 D. 24 C 解析： 23 +23 +23 +23 = 4×23 = 22×23= 25. 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 当幂的指数是和的形式时，根据同底数幂的乘法法则，可以把这个幂转化为同底数幂相乘的形式. 总结 例2 已知 am = 4 ，an = 7. 求 am+n 的值？ 解： am+n = am · an = 4 × 7 = 28. 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 (1) a3·a( ) = a5； (2) 5( )×5n = 5m+n； (3) 25×2( ) = 27. 3.根据同底数幂的乘法法则填空. am+n = ___ · an (m，n 都是正整数). am 2 m 2 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 4.已知 2a = 3 ，2b = 5，2c = 30. 求 a、b、c 满足的等量关系式 . 解：∵ 2a = 3 ，2b = 5，2c = 30， ∴ 2a · 2b = 3×5 = 15 . ∵ 2c = 30 = 15×2， ∴ 2c = 2a · 2b ×2 = 2a+b+1 . ∴ c = a + b + 1 . 探究点：同底数幂的乘法运算 新知探究 同底数幂的乘法 运算法则 注意 am·an =am+n (m，n 都是正整数) am·an·ap=am+n+p (m，n，p 都是正整数) 同底数幂相乘，底数____，指数____ 公式中的底数 a 不仅仅可以表示数还可以表示式子 不变 相加 课堂小结 1. 计算： (1)x2·x3＝ ⁠； (2)(－a)6·(－a)2＝ ⁠； (3)－10×(－10)4＝ ⁠. 2. 若10a×102＝10100，则a＝ ⁠. x5　 a8　 －105　 98　 当堂反馈 ( ) 3. 计算： (1)a3·a·a4； 易错：不要遗漏指数！ 解：原式＝a ＝ ⁠. (2) ()×()2； 3＋1＋4 a8　 解：原式＝()3＝ . (3)(－m)2·(－m)3；m5.解：原式＝y1＋m＋m＋1＝y2m＋2. 解：原式＝(－m)5＝－m5. 当堂反馈 解：原式＝y1＋m＋m＋1＝y2m＋2. (5) (x＋y)3 · (x＋y) · (x＋y)2.)6. 解：原式＝(x＋y)3＋1＋2＝(x＋y)6. 4. 已知am＝3，an＝21，求am＋n的值. 解：∵am＝3，an＝21， ∴am＋n＝am·an＝3×21＝63. (4) y·ym·ym＋1； 当堂反馈 Lavf58.46.101 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.3.42_sync_fix $今天下午，国际高性能计算机权威组织top 500刚刚宣布了新一期全球超级计算机500强榜单，由我国自主研制的神威太湖之光超级计算机以每秒超过10亿亿次的运算速度获得冠军，这是我国完全自主研制和生产的超级计算机首次获得世界冠军。我旁边这些黑色大柜子，就是目前世界上运行速度最快的神威太湖之光超级计算机。这台计算机是由我国自主研发的，它的自主率达到了百分之百。现在我们看一下这台计算机正处在一个高速运行的状态。它在运行的时候每秒的峰值速度能够超过10亿亿次。那这相当于一个什么概念呢？就相当于200万个普通笔记本同时工作。在此前，人类超级计算机的最快运算记录由我国天河二号超算保持为每秒5.49亿亿次。而此次神威太湖之光超级计算机不但超越这一水平，同时成为目前世界上第一台运算速度达到10亿亿次量级的超算，标志人类高性能计算领域的最高能力。更为重要的是，神威太湖之光超算上所使用的处理器完全由我国自主研制，实现了我国超算核心技术的自主可控。不仅如此，在功耗方面，这台超算也更加经济，目前它的功耗是曾经获得六连冠的天河二号超级计算机的3分之1. 它的功耗在全世界世界领先，就他单位一瓦能够达到的计算速度，这一点非常难得。我是觉得神威做的很出色，它比天河二号将近提高了三倍，天鹅二号是一瓦算20亿次，他差不多算57亿次。全国产超级计算机神威太湖之光的首次夺冠，是我国高性能计算技术发展的又一个里程碑。我国现代高性能计算技术从863计划时期正式起步，到今天经过三十多年的发展，已经拥有曙光系列、天河系列、神威系列多台世界一流水平的超级计算机。我们国家的这个计划已经制定了，就是我们争取要在大概2020年左右要实现到一级，一级就是从现在的10亿亿次再到百亿亿次，那又是一个十倍的这样的一个跨越。比如说我这个芯片，可能我的集成度要进一步的去提升，它的能耗效率也需要进一步的去提升。