15.3.1 第2课时 等腰三角形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

15.3.1 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形的判定 第15章 轴对称 人教版八年级(上) 1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理. (重点) 2. 运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算.(难点) 3. 通过对等腰三角形的判定定理的证明，加强推理能力，以及分析、解决问题的能力. 素养目标 小马虎在设计一个等腰△ABC (AB = AC) 的房梁时，一不小心，它的一部分被墨水涂没了，只留下底边 BC 和一个底角∠C，同学们想一想，有没有办法把原来的等腰△ABC 重新画出来? 大家试试看. 情境导入 探究点： 等腰三角形的判定 思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 探究：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. AB 与 AC 的数量关系如何呢？ 分析：如图，从点 A 作一条辅助线： 角平分线 AD(或高 AD，或中线 AD) A B C D 1 2 两个三角形全等 证明 新知探究 【证一证】已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB = AC . ∴△BAD≌△CAD (AAS). ∴AB＝AC. 证明：如图，作△ABC 的角平分线 AD. ∠1 = ∠2， 在△BAD 和△CAD 中， ∠B = ∠C， AD = AD， A B C D 1 2 你还有其他的证明方法吗？ 探究点： 等腰三角形的判定 新知探究 等腰三角形的判定： 如果有一个三角形的两个角_____，那么这两个角所对的边也相等. (简写成“等角对等边”). 相等 几何语言： ∵ 在△ABC 中，∠B =∠C， ∴ ____=____(等角对等边). AB AC 探究点： 等腰三角形的判定 新知探究 讨论：“等边对等角 ”与“等角对等边 ”的区别是什么？ 等腰三角形的性质：两边相等，这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定：两角相等，这两角所对的边相等. 探究点： 等腰三角形的判定 新知探究 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC. 求证：AB = AC. 分析： 证明 AB = AC 先证明 ∠B = ∠C 利用∠1 =∠2，AD∥BC 探究点： 等腰三角形的判定 新知探究 ∴ AB = AC(__________)． ∴∠1 =∠B (_______________________)， ∠2 =∠C (_______________________)． 证明： ∵ AD∥BC， 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 等角对等边 总结 证明两条线段相等，除了证明线段所在两个三角形全等外，还可以判定两条线段所在三角形是等腰三角形. ∴∠B =∠C， 又∵∠1 =∠2， 探究点： 等腰三角形的判定 新知探究 例2 如图，∠A = 36°，∠ DBC =36°， ∠C = 72°. 分别计算∠1，∠2 的度数，并说明图中有哪些等腰三角形. 解： ∵∠ DBC = 36°，∠C = 72°， ∴ AD = BD，BC = BD ，AB = AC. 图中共有三个等腰三角形，即 △ABD，△BDC，△ABC. ∴ ∠ABC =∠C = 72°， 又 ∠2 = ∠A = 36°，∠1 = ∠C = 72°， ∴ ∠1 = ∠A +∠2. ∴ ∠2=∠1－∠A = 36°. 又 ∠1 是△ABD 的一个外角， ∴ ∠1 = 180° -∠DBC -∠C = 72°. 探究点： 等腰三角形的判定 新知探究 例3 尺规作图：已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形. (1) 作线段 AB = a； (4) 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求. (3) 在 MN 上取一点 C，使 DC = h； (2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN， 交 AB 于点 D； 作法： 探究点： 等腰三角形的判定 新知探究 【算一算】1. 已知如图，四边形 ABCD 是一个等腰梯形，BD平分∠ABC，BC = 9 cm，若 AD = 5 cm，则四边形ABCD的周长为________. 24 cm 探究点： 等腰三角形的判定 新知探究 2. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E .过点 E 作 DE∥BC 交 AB 于点 D. (1) 求证：DB = DE； (2) 若 ∠A = 80°，∠C = 40°，求∠DEB 的度数. 探究点： 等腰三角形的判定 解：(1)证明：在 △ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E， ∴∠DEB =∠DBE. ∴DB = DE. ∴∠DEB =∠CBE. ∵ DE∥BC， ∴∠ABE =∠CBE. 新知探究 ∴∠ABE =∠CBE = ∠ABC = 30°. 由(1)知∠DEB =∠DBE = 30°. ∴∠ABC 的平分线交 AC 于点 E. ∴∠ABC = 60°. (2) ∵∠A = 80°，∠C = 40°， 探究点一： 等腰三角形的判定 (2) 若 ∠A = 80°，∠C = 40°，求∠DEB 的度数. 新知探究 等腰三角形 1.两个底角____ 2.两条边____ 性质 判定 相等 等腰三角形 相等 课堂小结 1. 在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长 为(　D　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 三角形一边上的高和这条边上的中线重合，则这 个三角形一定是(　C　) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 D C 当堂反馈 3. 如图，在△ABC中，若∠BAC＝50°，∠B＝65°，AD⊥BC于D，BC＝8cm，则△ABC是 三角形，BD的长为 cm. 第3题图 等腰　 4　 当堂反馈 4. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线 交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于 M，N两点，BM＝3，CN＝4，则MN＝ ⁠. 第4题图 7　 当堂反馈 5. 如图，AB＝AC，DE∥AC. 求证：△DBE是等腰三角形. 书写通关 证明：∵DE∥AC， ∴∠C＝ ⁠. ∵AB＝AC， ∴ ⁠. ∴ ＝∠DEB. ∴ ⁠. ∴△DBE是 ⁠. ∠DEB　 ∠B＝∠C　 ∠B　 DB＝DE　 等腰三角形　 当堂反馈 6. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB 的垂直平分线交AC于点D，交AB于点M，求证： △BCD是等腰三角形. 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD. ∴∠ABD＝∠A＝36°. ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°. ∴∠C＝∠BDC. ∴BC＝BD. ∴△BCD是等腰三角形. 当堂反馈 $