15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题，以“宿舍楼建食堂”实际问题导入，转化为“三角形内找一点到三顶点距离相等”的数学模型，通过测量、对折等操作探究性质，逆向思考引出判定，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以探究为主线，通过操作观察（如测量P点到A、B距离）和逻辑证明（SAS、HL全等）培养推理能力，结合生活情境（食堂位置问题）体现模型意识，小结明确互逆关系强化知识结构。助力学生发展几何直观与创新意识，教师可依托此资料高效落实核心素养教学。

15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线 的性质与判定 第15章 轴对称 人教版八年级(上) 1. 探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. (重点) 2. 能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题. (难点) 素养目标 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 情境导入 在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？ 数学建模 分析： 先探究某点到一边 证明该点特殊位置 解决实际问题 情境导入 操作探究：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2， P3，···是 l 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，···到点 A 与点 B 的距离. l A B P3 P1 P2 探究点一：线段的垂直平分线的性质 新知探究 问题1：观察量得的数据，你有什么发现？ 问题2：如果把问题 1 中的线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B、线段 P2 A 与 P2 B、线段 P3 A 与P3B ······都重合吗？它们都分别相等吗？ P1 A＝P1 B， P2 A＝P2 B， P3 A＝P3 B. 都重合，都分别相等. 探究点一：线段的垂直平分线的性质 新知探究 【知识要点】 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____. 相等 几何表达： 如果 l⊥AB，AC = CB， 那么对 l 上任意一点 P， 有 PA = PB. 探究点一：线段的垂直平分线的性质 新知探究 问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明．请你完成下面的证明. ∴ PA ＝PB. 证明： ∵ l ⊥ AB， ∴ ∠PCA ＝ ∠PCB. 又 AC ＝CB ，PC ＝PC ， ∴ △PCA≌△PCB(SAS). 如图，直线 l⊥AB ，垂足为 C ，AC ＝CB ，点 P 在 l 上．求证 PA ＝PB. 探究点一：线段的垂直平分线的性质 新知探究 例1 如图，在△ABC 中，边 BC 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，连接 DC ，若 AB = 3.7 ，AC = 2.3 ，则△ADC 的周长是______. 解 ∵ DE 是 BC 的垂直平分线， ∴ BD = CD. 而 C△ADC = AD + CD + AC， ∴C△ADC = AD + BD + AC = AB + AC = 3.7 + 2.3 = 6. 6 探究点一：线段的垂直平分线的性质 新知探究 思考：在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线 段的垂直平分线上呢？ 探究：如图，PA ＝PB. 点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ A B P 探究点二：线段的垂直平分线的判定 新知探究 问题1：过点 P 的直线有无数条，如果我们要说明 点 P 在 AB 的垂直平分线上，我们可以先选定一条 怎样的直线进行说明？怎样说明？ 可以先过点 P 作一条与 AB 垂直的直线，再说明这 条直线平分线段 AB. 如图，先过点 P 作 PC⊥AB，垂 足为 C ， 再说明 AC ＝BC. A B P C 探究点二：线段的垂直平分线的判定 新知探究 问题2：如图，已知点 P 是线段 AB 外一点连接 PA、PB，PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：过点 P 作 AB 的垂线 PC，垂足为点 C． ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 又 PC⊥AB， ∴ AC = BC． ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)． PA = PB，PC = PC， 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， 则∠PCA =∠PCB = 90°． A B P C 探究点二：线段的垂直平分线的判定 新知探究 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点的距离_____的点在这条线段的___________上. 相等 垂直平分线 直线 l 可看成与两点 A、B 的距离相等的所有点的集合. 几何表达： 如果点 P 满足 PA = PB， 那么过点 P ⊥ AB 并交 AB 于点 C ， 有 AC = CB. 探究点二：线段的垂直平分线的判定 新知探究 例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？证一证. 解：连接 AB、BC、CA，食堂应该建在线段 AB、BC、CA 的垂直平分线的交点上，理由如下： 探究点二：线段的垂直平分线的判定 新知探究 总结 ∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上， ∴ PA = PB. 同理，PB = PC. ∴ PA = PB = PC. 三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等. 探究点二：线段的垂直平分线的判定 新知探究 【针对训练】1.如图，已知 AB = AC，AD⊥BC，AB + BD = DE ，求证：点 C 在 AE 的垂直平分线上. 分析： AB = AC AD 垂直平分 BC AD⊥BC BD = DC AB + BD = DE CA = CE 点 C 在 AE 的垂直平分线上 探究点二：线段的垂直平分线的判定 新知探究 证明：∵ AB = AC，AD⊥BC， ∴点 C 在 AE 的垂直平分线上. ∴CA = CE. ∵AB + BD = DE ，AB = AC， ∴BD = DC. ∴AD 垂直平分 BC. 探究点二：线段的垂直平分线的判定 新知探究 讨论：关于探究点一和探究点二中的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识，能说出其他具有类似关系的命题吗？ 探究点三：原命题和逆命题 这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定. 探究一：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 探究二：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 新知探究 两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 思考：如果原命题成立，它的逆命题一定成立吗？ 互逆命题 不一定，原命题和逆命题是否成立没有直接关系. 探究点三：原命题和逆命题 新知探究 例2 判断下列命题及其逆命题是否成立. （1）对顶角相等. （2）内错角相等，两直线平行. （3）若 a > b ，则 | a | > | b |. 总结：一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理. 这两个定理叫作互逆定理. 其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 原命题成立，逆命题成立 原命题成立，逆命题不成立 原命题不成立，逆命题不成立 探究点三：原命题和逆命题 新知探究 线段的垂直平分线的性质 ___________________与这条线段_________的距离_____ 与__________________距离_____的点在这条线段的___________上. 互逆 线段垂直平分线的点 两个端点 相等 这条线段两个端点 相等 垂直平分线 课堂小结 1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点P. 已知PA＝5，则线段PB的长度为(　D　) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 第1题图 D 当堂反馈 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长为(　B　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第2题图 B 当堂反馈 3. 如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE. 小州把这个仪器放在直线l上，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，其中蕴含的道理 是__________________________________ ______________________________. 与线段两个端点距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上　 4. 命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 ， 它是 (填“真”或“假”)命题. 内错角相等，两直线平行　 真　 当堂反馈 请把下面的说理过程补充完整. 已知：如图，在△ABC中，分别 作边AB，BC的垂直平分线，两 线相交于点P，分别交边AB， BC于点E，F. 5.求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 当堂反馈 求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P， PA＝ ⁠. 证明：连接PA，PC，PB. ∵点P是AB边垂直平线上的一点， ∴PB＝ ⁠. 同理可得 .∴PA＝PC＝PB. ∴点P是 边垂直平线上的一点. ∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P. PC＝PB　 PA　 PB＝PC　 AC　 当堂反馈 $