14.3 第2课时 角平分线的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

第2课时 角平分线的判定 14.3 角的平分线的性质 第十四章 全等三角形 人教版八年级(上) 1 1. 探索并证明角平分线的判定定理及其运用. (重点) 2. 区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用. (难点) 3. 感受互逆的数学思想，发展推理能力和解题能力 素养目标 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？ S 垂线段的长 实际问题 几何问题 A O B 在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？ 情境导入 思考：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？ 探究点一： 角平分线的判定 新结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 思考 这个结论正确吗？ A O B P D E 新知探究 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP. ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠DOP =∠EOP (全等三角形的对应角相等). 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 位置关系 数量关系 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求. O 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 例1 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线. 证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°. 在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BFD = ∠CED， ∠BDF = ∠CDE， BD = CD， ∴△BDF≌△CDE (AAS). ∴ DF = DE. 又 DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD 是∠BAC 的平分线. 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C 分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上， 则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P. P 那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？ 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上. 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：(2) △ABC 的三条角平分线交于一点. D E F A B C P N M 总结：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. ∴△ABC 的三条角平分线交于一点. 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 变式2：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等， 这个风筝主题公园应建在 何处？(画出所有点) A B C P1 P2 P3 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 【归纳总结】 A B C P4 P2 P3 P1 到△ABC 三边所在的直线距离相等的点有____个. 4 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 练一练 如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是 ( ) A. 140° B. 130° C. 120° D. 110° A 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 1. 如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE＝3，当DF＝ 时，OD是∠AOB的平分线. 第1题图 3　 当堂反馈 2. 如图，△ABC的周长是12，BO，CO分别平分 ∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则 △ABC的面积是 ⁠. 第2题图 18　 当堂反馈 3. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4， BC＝6，若点D到边AB的距离为2.4， ＝7.2，则∠ABD＝ °. 45　 当堂反馈 4. 如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC. 证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N. ∵△DCE的面积与△DBF的面积相等， ∴ ＝ . ∵CE＝BF， ∴DN＝DM. ∴AD平分∠BAC. 当堂反馈 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 相关结论 三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____ 平分线 相等 课堂小结 $