14.3 第1课时 角平分线的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

第1课时 角平分线的性质 14.3 角的平分线 第十四章 全等三角形 人教版八年级(上) 1 1. 能用尺规作图：作一个角的平分线，强化分析及作图能力.(重点) 2. 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理.(重、难点) 3. 培养观察、归纳及动手能力，发展推理能力. 素养目标 （1）判定两个三角形全等的方法有哪些？ SSS、ASA、ASA、AAS、HL （2）三角形中有哪些重要的线段？ 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线 （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做 _________________. 点到直线的距离 素养目标 情境探究 ：拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠. 问题1：折痕 BD 平分∠ABC 吗？为什么呢？ B D A C M ② B A M ① 问题2：在如图所示的折叠过程中，按照先后顺序保证了哪些条件相等，使得折痕平分∠ABC ？ 先 AB = BC，后 AD = DC. 探究点一： 角平分线的作法 新知探究 情境探究：如图是一个平分角的仪器，其中 AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线. 你能说明它的道理吗？ A B D C E 分析：在△ACD 和△ACB 中， AC = AC， AD = AB， CD = CB， ∴△ACD≌△ACB(SSS). ∴∠DAC =∠BAC. ∴AE 平分∠DAB. 探究点一： 角平分线的作法 新知探究 思考：你能想到如何作一个角的平分线吗? A B O M C (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N． (3) 画射线 OC. 射线 OC 即为所求. (2) 分别以点 M，N 为圆心． 大于　MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C. 作法： 探究点一： 角平分线的作法 N 新知探究 问题1 为什么以大于 MN 的长为半径作弧？ 答：如果以小于 MN 的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线. A B O M N 探究点一： 角平分线的作法 新知探究 问题2 两弧的交点一定在∠AOB 的内部吗？ 答：两弧的交点可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了. A B O M N C 探究点一： 角平分线的作法 新知探究 在刚才折叠的基础上(在折叠状态，未展开)将BC 自身重合对折(点 B 与点 C 重合)观察折叠后的展开图，你发现了什么? B D A C M ② B D A C M P ③ 探究点二：角的平分线的性质 新知探究 纸上又多了两条折痕，设为 PE 和 PF (如图)，两条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上； 观察折痕与边的关系得到： B D A C M P E F PE⊥BC，PF⊥AB，PE = PF. 对于任意角的平分线是否都有这样的结论？ 探究点二：角的平分线的性质 新知探究 PD PE 第一次 第二次 第三次 在刚作出的∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，过点画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在 OC 上多取几点试试. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？ 探究点二：角的平分线的性质 新知探究 怎样验证猜想呢？ 1. 问题：写出上述命题的题设(已知)和结论(求证). 题设：角的平分线上有一点 结论：这一点到角的两边的距离相等 已知： 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2. 画出图形，几何语言描述 P A O B C D E OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB 求证： PD = PE 探究点二：角的平分线的性质 新知探究 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △OPD 和 △OPE 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴△OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD = PE. ∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC = ∠BOC. 探究点二：角的平分线的性质 新知探究 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少 点在角的平分线上 垂线段的长 探究点二：角的平分线的性质 新知探究 证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 探究点二：角的平分线的性质 新知探究 例 如图，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F，∠B = 90°，DE = DC，试说明：BE = FC. 解：∵∠B = 90°，∴ BD⊥AB. ∵ AD 为∠BAC 的平分线，且 DF⊥AC， ∴ DB = DF. 在Rt△BDE 和 Rt△FDC 中， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC (HL). ∴BE = FC. DE = DC， DB = DF， 探究点二：角的平分线的性质 新知探究 1. 如图，已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E， PD＝10，则PE的长为 ⁠. 第1题图 10　 当堂反馈 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平 分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距 离是 ⁠. 第2题图 2　 当堂反馈 3. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂 足为E，S△ABC＝16，DE＝2，AB＝8，则AC的长 是 ⁠. 第3题图 8　 当堂反馈 4. [作图通关]用直尺和圆规按下列要求作图(不写作 法，保留作图痕迹)： (1)作∠ABC的平分线BD； 解：如图所示. 解：如图所示. 当堂反馈 (2)过点O作直线l的垂线m(提示：即作一个平角的 平分线). 解：如图所示. 解：如图所示. 当堂反馈 角平分线 性质定理 一个点：________________； 二距离：________________； 两相等：____________________ 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段(距离)相等 课堂小结 $