13.3.1 第2课时 直角三角形的两锐角互余（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

第 2 课时 直角三角形的两锐角互余 13.3.1 三角形的内角 第十三章 三角形 人教版八年级(上) 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理.（重点） 2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.（难点） 3.发展推理能力，感受从特殊到一般的思想. 素养目标 如图所示是我们常用的一副直角三角板，量一量自己手上的这两个三角板，它们两锐角的度数之和分别是多少？对于任意直角三角形，这个结论还成立吗？ 当堂反馈 探究点一： 直角三角形的性质 猜想结论：将测量的每个直角三角形两锐角的度数相加，你发现了什么？ 动手操作：在纸上任意画几个直角三角形，用量角器分别测量各个直角三角形两锐角的度数. 两锐角的度数之和为 90°. 65° 25° 36° 54° ∠B + ∠C = 90° ∠E + ∠F = 90° 新知探究 拼合验证：把直角三角形的两个锐角剪下，拼合在一起，再用量角器测量，你发现了什么？ 演绎推理： 如图，在直角三角形ABC 中， ∠C = 90°， 由 ， 得∠A +∠B + ∠C= ， 即∠A +∠B +90° = ， 所以∠A + ∠B = . 三角形内角和定理 180° 180° 90° A B C 探究点一： 直角三角形的性质 新知探究 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角_____. 互余 几何语言： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C＝90°， ∴∠A +∠B＝90°． “Rt△” 探究点一： 直角三角形的性质 知识要点： 新知探究 例1 如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ 解：在Rt△ACE 中， ∠CAE = 90°－∠AEC. 在Rt△BDE 中， ∠DBE = 90°－∠BED. ∵∠AEC =∠BED， ∴∠CAE =∠DBE. 探究点一： 直角三角形的性质 新知探究 解法一 (利用平行线的判定和性质)： ∵∠B＝∠C＝90°， ∴ AB∥CD. ∴∠A＝∠D. 解法二 (利用直角三角形和对顶角的性质)： ∵∠B＝∠C＝90°， ∴∠A + ∠AOB＝90°，∠D + ∠COD＝ 90°. ∵∠AOB＝∠COD，∴∠A＝∠D. 变式 如图，∠B＝∠C＝90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系？ 探究点一： 直角三角形的性质 新知探究 通过前面的例题 ，你能画出这些题型的基本图形吗？ ∠A + ∠B＝∠C + ∠D 8 字形 ∠A＝∠D ∠A + ∠B＝∠C + ∠D ∠A＝∠C 探究点一： 直角三角形的性质 新知探究 解：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E， ∴∠BEA＝∠BDF＝90°. ∴∠ABE +∠A＝90°， ∠ABE +∠DFB＝90°. ∴∠A＝∠DFB. ∵∠DFB +∠BFC＝180°，∴∠A +∠BFC＝180°. 练一练 1. 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F，∠A 与∠BFC 又有什么关系？为什么？ 探究点一： 直角三角形的性质 新知探究 是直角三角形. 理由如下： 如图，在△ABC 中，∠A +∠B = 90°， 根据三角形内角和定理，可知 ∠A +∠B +∠C = 180°， 于是得∠C = 180°－90°=90°， ∴△ABC 是直角三角形. 探究点二： 直角三角形的判定 思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由. A B C 新知探究 直角三角形的判定： 有两个角_____的三角形是直角三角形. 互余 几何语言： 尝试翻译成几何语言. 在△ABC 中， ∵∠A +∠B＝90°， ∴△ABC 是直角三角形． 探究点二： 直角三角形的判定 知识要点： 新知探究 例2 如图，∠C = 90°，∠1 =∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？ 证明：在△ABC 中，∵∠C = 90°， ∴∠A +∠2 = 90°， ∵∠1 =∠2，∠A+∠2 = 90°. ∴∠A +∠1 = 90°. ∴△ADE 是直角三角形. 探究点二： 直角三角形的判定 新知探究 例3 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 62°，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，AD⊥BC 于点 D，∠ADF = 74°. (1) 求∠DAE 的度数； (1) 解：由三角形内角和定理，得 ∠BAC = 180°－∠B－∠C = 88°. ∵AE 平分∠BAC，∴∠CAE = ∠BAC = 44°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC = 90°， ∴∠CAD = 90°－∠C = 28°. ∴∠DAE =∠CAE－∠CAD = 44°－28°=16°. 探究点二： 直角三角形的判定 新知探究 (2)求证：△ADF 是直角三角形. (2) 证明：由 (1) 知∠DAE = 16°， 又∠ADF = 74°， ∴∠DAE +∠ADF = 90°， ∴△ADF 是直角三角形. 探究点二： 直角三角形的判定 新知探究 判定 直角三角形的性质和判定 有两个角_____的三角形是直角三角形 性质 直角三角形的两个锐角_____ 互余 互余 新知探究 1. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝36°，则 ∠ A 的度数为 . 54° 2. 在下列条件中：①∠ A ＝50°，∠ B ＝40°； ②∠ B ＋∠ C ＝90°；③∠ A ＝∠ B ＝∠ C ； ④∠ A ＋∠ B ＝∠ C . 能判定△ ABC 是直角三角形的条件有 .（填序号） ①②④　 当堂反馈 3.[典图通关]如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是△ABC 的高，∠1，∠2 如图中所示. (1) 已知 ∠ 1＝30°，则∠B＝ °； 30 当堂反馈 (2) [作图通关] 过点 B 作 BE∥AC，过点 C 作 CF∥AB，BE 与 CF 相交于点 G，补全图形并证明∠CGB 与∠1 互余. 解：补图如图所示. 证明如下：∵ CD 是△ ABC 的 高， ∴∠ADC = 90°，∴∠A＋∠1 = 90°. ∵ BE∥AC， ∴ ∠ACG＋∠CGB = 180°. ∵ CF∥AB， ∴ ∠ACG＋∠A = 180°. ∴∠CGB =∠A. ∴∠CGB＋∠1 = 90°, 即∠CGB 与∠1 互余. 当堂反馈 $