13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

该初中数学课件聚焦三角形中线、角平分线、高的概念、画法及三线共点性质，通过复习线段中点、角平分线等旧知，结合蛋糕分配视频情境提问，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于注重动手实践与几何直观，如让学生画不同三角形的三线观察交点规律，用硬纸板吊重心体验平衡，培养数学眼光。通过例题（如面积法求高）和表格归纳三线特性，提升推理能力与应用意识。学生能增强直观感知和实践能力，教师可直接使用丰富的活动设计与习题，提高教学效率。

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 第十三章 三角形 人教版八年级(上) 1. 理解三角形的中线、角平分线、高线等概念和区别. (重点) 2.了解三角形重心的概念，会画出任意三角形的中线、角平分线、高线. (难点) 3. 探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程. (难点) 4. 进一步提升学生的几何直观感知能力. 素养目标 定义 图示 线段中点 角平分线 垂线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 复习导入 点击视频开始播放 → 观看视频，回答它所提出的问题： 如何用数学语言描述关于蛋糕的平均分配问题的解决办法“从蛋糕一边中间的地方切到对边的尖”？ 情境导入 概念：如图，连接△ABC 的顶点 A 和它对边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC上的中线. 三角形的中线 探究点一： 三角形的中线 A B C D 几何语言： ∴ BD = CD = BC. ∵AD 是△ABC 的中线， 反之∵BD＝CD (或 BD＝ BC，CD＝ BC )， ∴ AD 是△ABC 的中线. 新知探究 三角形的三条中线相交于一点. 总结 三角形的重心：三角形三条中线的交点. 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 探究点一： 三角形的中线 新知探究 延伸思考：用硬纸板裁出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，从三角形硬纸板所处的状态来看，有什么现象?这种现象说明了什么? 动手做一做. 硬纸板保持平衡. 重心就是保持物体平衡的点. 探究点一： 三角形的中线 新知探究 练一练 1.如图，AD 是 △ABC 的中线，AB = 4，AC = 3. 若 △ACD 的周长为 8，则 △ABD 的周长为_____. 9 C△ABD = AB+AD+BD = 4 + 5 = 9 AD + CD = 5 C△ACD =AD+AC+CD = 8 AD 是 △ABC 的中线 CD = BD 分析： 探究点一： 三角形的中线 新知探究 探究点二： 三角形的角平分线 做一做 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合. ∠1＝∠2，AD 平分∠BAC . 问题1：如图，AD 是折痕，则∠1 和∠2 之间有什么数量关系？AD 平分∠BAC 吗? A B C 1 2 D 问题2：类比三角形中线，三角形的角平分线是什么？ 新知探究 概念：如图，画∠ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫作△ABC的角平分线. 三角形的角平分线 A B C 1 2 D 探究点二： 三角形的角平分线 几何语言： ∴∠1 = ∠2 = ∠BAC. ∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴AD 是△ABC 的角平分线. 反之∵∠1 = ∠2 = ∠BAC 新知探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 三角形的三条角平分线相交于一点(三角形的内心 ). 探究点二： 三角形的角平分线 新知探究 练一练 2.如图，CD 平分∠ACB，DE∥BC， ∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵ CD 平分∠ACB， 又 DE∥BC， ∴∠ACB =∠AED = 80°. ∴∠ECD = 40°. A B C E D ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. 探究点二： 三角形的角平分线 新知探究 探究点三： 三角形的高 请在下图中过点 A 画线段 BC 所在直线 l 的垂线. 这条垂线段是什么？ A B C D 垂足 l 问题1：你还记得如何“过一点画已知直线的垂线”吗？ 新知探究 概念：如图，从△ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫作△ABC 的边BC 上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 三角形的高 探究点三： 三角形的高 A B C D ∵AD 是△ABC 的高， 反之， ∴AD⊥BC(∠BDA=90°). ∵AD⊥BC(∠BDA=90°)， ∴AD 是△ABC 的高. 几何语言： 新知探究 问题2：(1) 用同样方法，你能画出△ABC 的另两条边上的高吗？ (2) 这三条高之间有怎样的位置关系? (3) 锐角三角形的三条高是在三角形 的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示. O A B C D E F 探究点三： 三角形的高 新知探究 直角边 BC 上的高是 ； 直角边 AB 上的高是 . (2) 斜边 AC 上的高是 ； 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高； AB BC 它们有怎样的位置关系? D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 探究点三： 三角形的高 新知探究 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条 高吗？ A B C D E F (2) AC 边上的高是哪条线段？ AB 边上的高是哪条线段？ BC 边上的高是哪条线段？ BF CE AD 探究点三： 三角形的高 新知探究 A B C D F (3) 钝角三角形的三条高相交 吗？ (4) 它们所在的直线交于一点 吗？这点位于何处？ O E 钝角三角形的三条高不相交. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部. 探究点三： 三角形的高 新知探究 例1 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值． 此时由△ABC 的面积公式可知 AD · BC＝ BP · AC. P 代入数值，可解得 BP＝ . 探究点三： 三角形的高 新知探究 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积公式(可不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 探究点三： 三角形的高 新知探究 思考1 如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？ B C P D A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 思考2 通过思考 1 你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 探究点三： 三角形的高 新知探究 1.学校有一块三角形的实验地，请思考如何用不同的方法将三角形面积四等分(方法不唯一). 探究点三： 三角形的高 新知探究 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点位置 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的三条高线相交于一点(三角形的垂心 ). 归纳总结：三角形的三条高的特性： 探究点三： 三角形的高 新知探究 三角形的重要线段 高 三条高或其所在直线相交于一点 中线 等分边，等分三角形的面积 三条中线相交于三角形内部一点，这个交点是三角形的重心 角平分线 三角形的内角被分成两个相等的角 三条角平分线相交于三角形内部一点 垂线，90°角 课堂小结 第1题图 1. 如图，在△ ABC 中， BD 是角平分线， 若∠ ABC ＝72°，则∠ ABD ＝ ⁠°. 36　 2. [作图易错]如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段 CD （　C　） A. 是 AC 边上的高 B. 是 BC 边上的高 C. 是 AB 边上的高 D. 不是△ ABC 的高 第2题图 C 当堂反馈 3. 在△ABC 中，AB = 18，BC = 16，BD 是 AC 边上的中线，若△ABD 的周长为 41，那么△BCD 的周长 是（ ） A. 39 B. 41 C. 43 D. 无法确定 A 当堂反馈 4.[规范作答]如图，已知△ABC. (1) CD 是△ABC 的高， 则∠ADC＝ ＝90°， ∠BDC S△ABC＝ ； (2) CE 是△ABC 的中线，则AE＝ ＝ ， S△BCE＝S△BCE＝ S△ABC； BE AB 当堂反馈 （3）CF 是△ABC 的角平分线， 则∠ACF＝∠ ＝ ∠ . BCF ACB 当堂反馈 5. 如图，已知 AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线. （1）[作图通关] 作出△ ABD 的边 BD 上的高； 解：（1）如图， AE 即为所求. （2）若△ ABC 的面积为10， 则△ ADC 的面积为 ⁠；1）如图， AE 即为 5　 当堂反馈 （3）若△ ABD 的面积为6，且 BD 边上的高为3，求 BC 的长. 解：（3）∵ AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线， △ ABD 的面积为6， ∴△ ABC 的面积为12. ∴ BC · AE ＝12. 由题可知 AE ＝3，∴ BC ＝8. 当堂反馈 $过生日吃蛋糕的时候总会碰到这种情况，三角蛋糕还剩一块，等着吃的却有两人，这时候需要平均分配，多了少了九人不高兴。对一块薄厚均匀的蛋糕切成大小相等、体积相同的两块，其实就是把三角蛋糕按面积来等分一下。问题是怎么把这三角蛋糕一刀切的上面的面积相等呢？乱切可不行，需要有数学依据。告你个窍门，找到蛋糕一边中间的位置，差不多就是这儿，从这里到另外一边的尖儿切下去，这切出来的就是上边面积相等体积相同的两块蛋糕了，没人敢不服。知道为什么吗？别着急，都说了有数学依据的，把蛋糕当做任意形状的一个三角形。我们刚刚是从蛋糕一边中间的地方切到对边的尖儿，那请问一下这一刀如果用数学语言怎么精确描述？