第14章 全等三角形（24个高频易错考点训练 共48题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册章节复习培优专项训练

第14章 全等三角形（易错题考点集训） 【24个高频易错考点 共48题】 易错考点01：全等三角形的性质 2 易错考点02：用SSS证明三角形全等 4 易错考点03：用SSS间接证明三角形全等 6 易错考点04：全等的性质和SSS综合 8 易错考点05：用SAS证明三角形全等 11 易错考点06：用SAS间接证明三角形全等 13 易错考点07：全等的性质和SAS综合 17 易错考点08：用ASA(AAS）证明三角形全等 19 易错考点09：全等的性质和ASA（AAS)综合 21 易错考点10：用HL证全等（(HL） 24 易错考点11：全等的性质和HL综合 27 易错考点12：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 29 易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 31 易错考点14：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 34 易错考点15：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 38 易错考点16：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 42 易错考点17：全等三角形综合问题 45 易错考点18：尺规作一个角等于已知角 49 易错考点19：过直线外一点作已知直线的平行线 51 易错考点20：尺规作图—作三角形 54 易错考点21：作角平分线（尺规作图） 56 易错考点22：角平分线的性质定理 58 易错考点23：角平分线的判定定理 62 易错考点24：角平分线性质的实际应用 64 易错考点01：全等三角形的性质 1．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【规范解答】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故选B． 2．（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 【答案】(1)见解析 (2)为直角 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，再结合，即可得证； （2）由平行线的性质结合全等三角形的性质可得，再结合平角的定义求出，即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即当满足为直角时，． 易错考点02：用SSS证明三角形全等 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知：．求作：，使．利用尺规作图方法用到的三角形全等的判定方法是（　　）    作法：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交、于点C、D； ②画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点； ④过点画射线，则． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查基本作图作一角等于已知角，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，利用全等三角形的判定定理解决问题． 根据作图痕迹可知，，，根据证明三角形全等可得结论． 【规范解答】解：由作图方法可得：，，， 在和中， ， ∴， ． 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． ③画射线，射线即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题： (1)这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ④________． ⑤________． 为的角平分线． 【答案】(1)① (2)① ② ③ ④ ⑤ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线尺规作图，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法得出基本依据； （2）证明为的角平分线，即证明，可以通过证明． 【规范解答】（1）解：这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS． 故答案为：①； （2）解：由作图可知：，， 在和中， ， ， 为的角平分线， 故答案为：①；②；③；④；⑤． 易错考点03：用SSS间接证明三角形全等 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点C． 求作：过点C作直线的平行线． 作法：①过点C作一条直线，与直线相交于点E； ②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ， （____________）， ， （____________）． 【答案】；；；；同位角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定填空即可． 【规范解答】证明：由作图可知，在和中， ， ∴， ∴， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；同位角相等，两直线平行． 6．如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析. 【思路引导】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行. 【规范解答】（1）∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （2）成立.理由如下： ∵AF=CE， ∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. （3）AD与CB不一定平行，理由如下： ∵只给了两组对应相等的边， ∴不能判定△ADE≌△CBF， ∴不能判定∠A与∠C的大小关系， ∴AD与CB不一定平行， 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 易错考点04：全等的性质和SSS综合 7．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，推导出，因为，且，所以，而，即可根据证明，得，则． 【规范解答】（1）证明：，， ． 在与中 ． （2）由（1）得，， ，． ，， ． 在和中 ， ． ， ， ． 8．（21-22八年级上·四川德阳·期中）填空：如图，点在上，．求证：． 证明： ____________． 即_____________． 在和中， （      ） （     ）． 【答案】，，，，，，，，全等三角形的对应角相等． 【思路引导】通过推导出，再结合已知的，，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得到．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（如、、、等）以及全等三角形对应角相等的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ∴ 即 在和中， ， ∴ ∴全等三角形的对应角相等． 故答案为：，，，，，，，，全等三角形的对应角相等． 易错考点05：用SAS证明三角形全等 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，． (1)试说明：； (2)试说明与的关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)且，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据得出，根据得出，即可推出，最后即可根据得出； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据垂直的定义得出，则，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：且，理由如下： 由（1）知， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴． 10.如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 易错考点06：用SAS间接证明三角形全等 11．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 12．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)性质探究：如图1，已知：四边形中，E、F、G、H分别是、的中点，交于点O，，且，求证：四边形是“中方四边形”； (2)问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； (3)拓展应用：如图3；已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【思路引导】（1）由中点条件及三角形中位线的性质易得四边形是平行四边形；再由，且，可得四边形是正方形，从而结论得证； （2）连接，证明，则得，由（1）即可得四边形是“中方四边形”； （3）分别取的中点E、F、H，连接；由四边形是“中方四边形”得四边形是正方形，则有；由三角形中位线定理得，则，当点H在线段上时，取得最小值，从而取得最小值，进而求得最小值． 【规范解答】（1）证明：∵E、F、G、H分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵， ∴； ∵是的中位线， ∴， ∴； ∴四边形是矩形； ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形是“中方四边形”； （2）证明：如图，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，， ∴， 即； ∴， ∴； ∵ ， ∴； ∵，， ∴由（1）知，四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别取的中点E、F、H，连接； ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴； ∵的中点分别是E、F、H， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， 故当点H在线段上时，取得最小值， 从而取得最小值，且最小值为． 【考点剖析】本题是四边形的综合，考查了平行四边形的判定，矩形的判定及正方形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，有一定的综合性，三角形中位线定理的应用是解题的关键． 易错考点07：全等的性质和SAS综合 13．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，进而得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 在上截取，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得． 【规范解答】解：如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 易错考点08：用ASA(AAS）证明三角形全等 15．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【思路引导】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 16．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明三角形全等即可． （2）根据证明即可证明结论． （3）根据证明，得出，即可求出结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：的面积为20，， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错考点09：全等的性质和ASA（AAS)综合 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【思路引导】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． （1）根据图②，求出，根据证两三角形全等即可； （2）根据图③，运用三角形外角性质求出，根据证两三角形全等即可； （3）根据图④，由的面积为15，可求出的面积为5 ，根据，得出与的面积之和等于的面积，据此即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：如图②，∵， ， ， ， 在和中，， ． （2）证明：如图③， ， ， ， ，   在和中， ， ． （3）如图④，∵的面积为， ∴的面积， 由（2）可得， 即：， ， 即与的面积之和等于的面积5 ， 故答案为：5． 18．（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 【规范解答】（1）证明：直线直线m， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：成立．证明如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． 易错考点10：用HL证全等（(HL） 19．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，点在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点，且，线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，且为的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，证明，得出，证明，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【规范解答】（1）解：， ， ，， ， ，， ； 故答案为： ． （2）证明：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ，，， ， ， 又， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 20．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)， 【思路引导】本题主要考查直角三角形全等的判定与同角的余角相等等知识，正确识别图形是解答本题的关键． （1）根据可证明与全等； （2）根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【规范解答】（1）解：与全等，理由如下： ∵，， ∴ ∵，， ∴即 ∴； （2）解：∵，， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴又， ∴． 故答案为：，． 易错考点11：全等的性质和HL综合 21．（21-22八年级上·全国·期中）如图，在三角形中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③ ．其中结论正确的是（    ）． A．①②③ B．①② C．① D．①③ 【答案】B 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定（内错角相等，两直线平行），熟练掌握其性质是解题的关键．根据，易证，从而结论①成立，根据等腰三角形的性质和三角形的外角可得，结论②成立，和只有一条直角边和一个直角相等，条件不足无法证明全等． 【规范解答】解：在和中，， ∴， ∴，故①结论正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②结论正确； 和仅有一边一角相等，别的条件无法证明，不能判断两三角形全等，故③结论错误． 故选：B． 22．（22-23八年级上·四川广安·阶段练习）如图1，点在y轴正半轴上，点分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为上一点，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）由题意，可知，平分与y轴交于D点，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得； （2）过D作于N点，可证明，因此，，所以，，即可得的长． 【规范解答】（1）证明：在直角坐标系中， 轴轴， ， ． 在和中 ， ． ； （2）由（1）知， ,， ， 过D作于N点，如图所示： ，， ， 在和中 ， ， ． 在和中， ， ； ． 易错考点12：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 23．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，点，在的边上，，要推理得出，则可以补充的条件是 (至少写出4组条件)． 【答案】或或或或 【思路引导】本题要判定，已知，可得，再添加一组角相等或添加可判定其全等． 【规范解答】解：补充． ， ， ， 在和中， ， ， 补充． 在和中， ， ， 补充． 在和中， ， ， 补充． ，即，同理可得 补充． ，即，同理可得 故答案为：或或或或． 24．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A、若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本选项的说法错误； B、若第3轮甲添加，满足边边角，不能判定与全等，则甲获胜，故本选项的说法正确； C、若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本选项的说法正确； D、若第2轮乙添加条件修改为，第3轮甲只能添加或其中之一，此时已有边边角，无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多4轮必分胜负，故本选项的说法正确． 故选：A． 易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 25．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【思路引导】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【规范解答】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 26．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【规范解答】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 易错考点14：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 27．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【规范解答】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析 【思路引导】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据平行线的性质可得，，根据中点的定义可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 易错考点15：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 29．（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 【答案】B 【思路引导】作交的延长线于点，证、即可求解． 【规范解答】解：作交的延长线于点，如图：    设，则 ∵ 解得： ∴ 故选：B 【考点剖析】本题考查了“半角模型”，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键． 30．（20-21八年级下·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里 【思路引导】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可证得△AEF≌△AGF， 从而得到EF=FG，即可求解； （2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解； （3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解． 【规范解答】解：（1）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵， ∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=50°， ∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADH， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵ ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH， ∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF， ∴EF=DH+DF=BE+DF； （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB， ∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45， ∴CD=40+45=85海里． 即此时两舰艇之间的距离85海里． 【考点剖析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用． 易错考点16：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 31．（20-21八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，． (1)求证：且； (2)以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形，过点E作轴于点F，求点F的坐标； (3)若点P为y轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，，轴于点R，当点P运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值不变，，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，重点考查了常见的垂线模型，以及矩形的判定与性质，掌握相关几何结论，作出辅助线证全等是解题关键． （1）延长交于点，证即可求解； （2）证得，即可求解； （3）作轴，可证得，，再证四边形为矩形得，即可求解． 【规范解答】（1）解：延长交于点，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵三角形是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：，理由如下： 作轴，如图所示： 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴四边形为矩形 ∴ ∴ 32．（20-21八年级上·福建福州·期末）如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S△BDE+ S△BDC+ S△ADE，可得出m+n=5． 【规范解答】 解：作EF⊥AC，垂足为F ∴∠EFD= ∴∠BDC+∠DBC=90° ∵三角形是等腰直角三角形， ∴∠EDB=90°， ∴∠EDF+∠BDC=90°， ∴∠EDF=∠DBC 在△DBC和△EDF中 ∴△DBC≌△EDF（AAS） ∴CD=EF=m, ∵AC=3, ∴AD=AC-CD=3-m ∵S△BDE+ S△BDC+ S△ADE ∴ = 化简得： ， ∵n是的斜边，m是直角边 ∴n-m＞0 ∴ 故答案选：B 【考点剖析】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积． 易错考点17：全等三角形综合问题 33．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得，证明，进而可依据判定和全等，则，再证明和全等，得，据此即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： 在中，，， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 34．（2023八年级上·广东·竞赛）如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，或，． 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （2）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 当时，， 则， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ； （2）当，或，时，与全等，理由如下： 若 ， 则，， ， 解得，， 则． 若 ， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 易错考点18：尺规作一个角等于已知角 35．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，已知平面上有A、、三点，请按要求作图： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） (3)在直线上方作．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．写出结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题主要考查直线、射线、线段的定义，两点间距离、作相等的角、作相等的线段等知识点，理解直线、射线、线段的定义是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义画出图形； （2）根据线段和差定义作出图形即可； （3）利用尺规在直线上方作即可． 【规范解答】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求． （2）解：如图，点D即为所求作的点． （3）解：如图：即为所求作的角． 36．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知，线段、、． (1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①求作：，使． ②延长线段到，使，再反向延长线段到，使． (2)在（1）②问的条件下，如果，，，且点为的中点，求线段的长度． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【思路引导】本题考查了角和线段的尺规作图，线段中点的运算，熟悉掌握线段的运算方式是解题的关键． （1）根据角和线段的作法直接作图即可； （2）根据线段的长度求出线段的长，再根据线段中点的定义求出的长，即可由得到答案． 【规范解答】（1）解：①如图即为所求 ②如图所示，线段AD即为所求； （2）∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 易错考点19：过直线外一点作已知直线的平行线 37．（2025·江苏扬州·二模）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究： (1)如图1，梯形中，，点是边的中点，连接，并延长交的延长线于点．求证：点E是的中点； (2)如图2，内部有一定点，若过点的直线与角的两边分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线，使得点P是线段的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，探索当在什么位置时，的面积最小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)当为的中点时，的面积最小，理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图—作平行线，作线段： （1）证明，得到即可； （2）作射线，截取，作，交于点，连接并延长，交于点即可； （3）过点的另一条直线，分别交于点，过点作，交于点，当为的中点时，可得，进而推出，根据，推出，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴点E是的中点； （2）如图，即为所求； 由作图可知：，， 同（1）法可得：， ∴， ∴点P是线段的中点； （3）当为的中点时，的面积最小，理由如下： 过点的另一条直线，分别交于点，不妨设，如图， 过点作，交于点， 当为的中点时，同（1）法可知：， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， 故当为的中点时，的面积最小． 38．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，证明见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，平行线的尺规作图： （1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据题意作图，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明． 【规范解答】（1）解：如图所示，点E即为所求； （2）解：如图所示，点F即为所求， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴， ∴， ∴． 易错考点20：尺规作图—作三角形 39．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)理由见解析 【思路引导】本题考查了基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【规范解答】（1）解：如图所示即为所求． ； （2）证明：根据作图得：，，， ∴． 40．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)能，见解析 (3)4，见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图，尺规作图主要是五种基本作图，本题主要考查了作已知线段和作已知角等知识的综合作图．解决此类题目的关键是熟悉五中基本作图及基本作图的原理，然后把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，同时也考查了全等三角形的判定．特别注意，本题未告知直尺是否有刻度，因此利用无刻度直尺进行作图的方式解答． （1）利用“”画图； （2）画出所对的边长为即可； （3）以和所夹的角为画三角形或以的角所对的边为画三角形或以的角所对的边为画三角形． 【规范解答】（1）解：如图1，为所作； （2）能．如图2，为所求； （3）所求图形如图3所述， 故答案为：4． 易错考点21：作角平分线（尺规作图） 41．（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）如图，在四边形中，，于点D，． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点E，的延长线于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）所作的的平分线中，求的度数． 解：∵， ∴①___________， ∵， ∴②_______， ∵， ∴③_______， ∵平分， ∴④_______ ∴⑤_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由垂线的定义，得到，由平行线的性质，得到，再结合角平分线的性质，得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：∵， ∴①垂线的定义， ∵， ∴②两直线平行，同旁内角互补， ∵， ∴③， ∵平分， ∴④， ∴⑤． 42．（23-24八年级上·四川资阳·期末）如图，，以点A为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线交于点H． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作已知角的角平分线．也考查了平行线的性质，三角形外角的性质．利用基本作图得平分，再利用平行线的性质得，所以，然后根据三角形外角性质可计算出的度数． 【规范解答】解：由作法得平分，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 易错考点22：角平分线的性质定理 43．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④． 【规范解答】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 44．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握分类讨论思想，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据角平分线的性质可得，在由三角形面积公式计算即可； （2）根据三角形面积公式得到，再根据点E和点G的运动速度可表示，，由此可证明； （3）先证明，在分类讨论点M在线段上，点M在线段延长线上两种情况由此求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵在与中， ， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时，与全等， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时，与全等， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． 易错考点23：角平分线的判定定理 45．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且． (1)求点E的坐标； (2)延长交于 D． ①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3 ， 求证：． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明，得到，即可求解； （） ．由得到，又由，进而得到，即可求证； 过点分别作，的垂线，由得到，进而得到，又由，，根据角平分线的判定即可求证； 【规范解答】（1）解：∵、， ∴， ，， ， ， ； （2） ，理由如下： 由（）可知， ， ， ∴， ， ； 证明：如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为，， ， ， 即， ， ， 又，， 点在的平分线上， 即平分， ∴． 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（）证明，得到，进而由得到，即得，即可求证； （）过点作于点，于点，由全等三角形的性质得，进而可得，即得到平分，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：， ． ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点，于点， ， ∴， ． ， ， ∴平分， ． 易错考点24：角平分线性质的实际应用 47．【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 【答案】（1）122；（2）证明见详解；（3）①，理由见解析；②理由见解析. 【思路引导】（1）根据三角形内角和为和角平分线的定义，可得，再利用三角形内角和，即可求得的大小； （2）根据根据三角形内角和为和角平分线的定义，可表达出，再用同样的方法表达出，即可证明； （3）①根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到结论； ②根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和,根据等腰三角形的要相等，即可得到结论. 【规范解答】（1）在中，平分平分 . （2） 平分、平分， ，，          在中， ， 平分， ， ，， ， . （3）①与相平行， 平分， ， 又， ， . ② ， . 【考点剖析】本题考查三角形内角和、角平分线性质、三角形的外角性质的问题，主要用等量代换的思想，属中档题. 48．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形（易错题考点集训） 【24个高频易错考点 共48题】 易错考点01：全等三角形的性质 2 易错考点02：用SSS证明三角形全等 2 易错考点03：用SSS间接证明三角形全等 4 易错考点04：全等的性质和SSS综合 5 易错考点05：用SAS证明三角形全等 7 易错考点06：用SAS间接证明三角形全等 7 易错考点07：全等的性质和SAS综合 9 易错考点08：用ASA(AAS）证明三角形全等 9 易错考点09：全等的性质和ASA（AAS)综合 10 易错考点10：用HL证全等（(HL） 12 易错考点11：全等的性质和HL综合 13 易错考点12：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 14 易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 14 易错考点14：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 16 易错考点15：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 18 易错考点16：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 19 易错考点17：全等三角形综合问题 20 易错考点18：尺规作一个角等于已知角 21 易错考点19：过直线外一点作已知直线的平行线 22 易错考点20：尺规作图—作三角形 23 易错考点21：作角平分线（尺规作图） 24 易错考点22：角平分线的性质定理 25 易错考点23：角平分线的判定定理 26 易错考点24：角平分线性质的实际应用 27 易错考点01：全等三角形的性质 1．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 2．（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 易错考点02：用SSS证明三角形全等 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知：．求作：，使．利用尺规作图方法用到的三角形全等的判定方法是（　　）    作法：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交、于点C、D； ②画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点； ④过点画射线，则． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． ③画射线，射线即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题： (1)这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ④________． ⑤________． 为的角平分线． 易错考点03：用SSS间接证明三角形全等 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点C． 求作：过点C作直线的平行线． 作法：①过点C作一条直线，与直线相交于点E； ②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ， （____________）， ， （____________）． 6．如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 易错考点04：全等的性质和SSS综合 7．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 8．（21-22八年级上·四川德阳·期中）填空：如图，点在上，．求证：． 证明： ____________． 即_____________． 在和中， （      ） （     ）． 易错考点05：用SAS证明三角形全等 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，． (1)试说明：； (2)试说明与的关系？并说明理由． 10.如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 易错考点06：用SAS间接证明三角形全等 11．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)性质探究：如图1，已知：四边形中，E、F、G、H分别是、的中点，交于点O，，且，求证：四边形是“中方四边形”； (2)问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； (3)拓展应用：如图3；已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，若，求的最小值． 易错考点07：全等的性质和SAS综合 13．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 易错考点08：用ASA(AAS）证明三角形全等 15．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边上，且，于点F，于点D．求证：； （2）如图②，点B、C分别在的边上，点E、F都在内部的射线上．已知，且．求证：； （3）如图③，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为20，求与的面积之和． 易错考点09：全等的性质和ASA（AAS)综合 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 18．（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 易错考点10：用HL证全等（(HL） 19．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，点在的内部，，． (1)如图1，线段的延长线交于点，且，线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，且为的中点，求证：． 20．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 易错考点11：全等的性质和HL综合 21．（21-22八年级上·全国·期中）如图，在三角形中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③ ．其中结论正确的是（    ）． A．①②③ B．①② C．① D．①③ 22．（22-23八年级上·四川广安·阶段练习）如图1，点在y轴正半轴上，点分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为上一点，且，求的长． 易错考点12：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 23．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，点，在的边上，，要推理得出，则可以补充的条件是 (至少写出4组条件)． 24．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 25．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 26．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 易错考点14：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 27．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 28．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 易错考点15：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 29．（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 30．（20-21八年级下·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 易错考点16：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 31．（20-21八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，． (1)求证：且； (2)以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形，过点E作轴于点F，求点F的坐标； (3)若点P为y轴正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，，轴于点R，当点P运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 32．（20-21八年级上·福建福州·期末）如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 易错考点17：全等三角形综合问题 33．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在中，，，点、分别是边、上一点， 连接、交于点． (1)如图1，点是上一点，连接， 若，求证：； (2)如图2，若，于点，交延长线于点，若，求证：． 34．（2023八年级上·广东·竞赛）如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 易错考点18：尺规作一个角等于已知角 35．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，已知平面上有A、、三点，请按要求作图： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） (3)在直线上方作．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．写出结论） 36．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知，线段、、． (1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①求作：，使． ②延长线段到，使，再反向延长线段到，使． (2)在（1）②问的条件下，如果，，，且点为的中点，求线段的长度． 易错考点19：过直线外一点作已知直线的平行线 37．（2025·江苏扬州·二模）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究： (1)如图1，梯形中，，点是边的中点，连接，并延长交的延长线于点．求证：点E是的中点； (2)如图2，内部有一定点，若过点的直线与角的两边分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线，使得点P是线段的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，探索当在什么位置时，的面积最小，并说明理由． 38．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 易错考点20：尺规作图—作三角形 39．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 40．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 易错考点21：作角平分线（尺规作图） 41．（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）如图，在四边形中，，于点D，． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点E，的延长线于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）所作的的平分线中，求的度数． 解：∵， ∴①___________， ∵， ∴②_______， ∵， ∴③_______， ∵平分， ∴④_______ ∴⑤_______． 42．（23-24八年级上·四川资阳·期末）如图，，以点A为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线交于点H． 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 易错考点22：角平分线的性质定理 43．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 44．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 易错考点23：角平分线的判定定理 45．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、、，E是线段上一点，且． (1)求点E的坐标； (2)延长交于 D． ①如图2，判断和的位置关系并说明理由； ②连接，如图3 ， 求证：． 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 易错考点24：角平分线性质的实际应用 47．【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 48．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 学科网（北京）股份有限公司 $