第十三章 三角形（21个高频易错考点训练 共42题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册章节复习培优专项训练

第13章 三角形（易错题考点集训） 【21个高频易错考点 共42题】 易错考点01：三角形的识别与有关概念 1 易错考点02：三角形的个数问题 6 易错考点03：三角形的分类 7 易错考点04：构成三角形的条件 9 易错考点05：确定第三边的取值范围 11 易错考点06：三角形三边关系的应用 13 易错考点07：三角形的稳定性及应用 14 易错考点08：根据三角形中线求长度 15 易错考点09：根据三角形中线求面积 18 易错考点10：重心的概念 20 易错考点11：三角形角平分线的定义 22 易错考点12：画三角形的高 25 易错考点13：与三角形的高有关的计算问题 27 易错考点14：三角形内角和定理的证明 29 易错考点15：与平行线有关的三角形内角和问题 32 易错考点16：与角平分线有关的三角形内角和问题 38 易错考点17：三角形折叠中的角度问题 40 易错考点18：三角形内角和定理的应用 44 易错考点19：直角三角形的两个锐角互余 47 易错考点20：锐角互余的三角形是直角三角形 49 易错考点21：三角形的外角的定义及性质 50 易错考点01：三角形的识别与有关概念 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使； (3)在图2中，画的高； (4)在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路引导】本题考查作图应用与设计作图，三角形的中线，高，线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）作线段的垂直平分线交于点即可； （3）取格点，连接，线段即为所求； （3）取格点，，连接交于点，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图1中，线段即为所求； （2）如图1中，线段即为所求； （3）如图2中，线段即为所求； （4）如图2中，线段即为所求． 2．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图1，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)当___________时，的周长被线段平分为相等的两部分； (2)如图1，当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)6 (2)或 (3)点的运动速度为或 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据的周长，结合点P的运动路线即可求出； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴的周长， ∴的周长被平分为相等的两部分时，点P运动的路程为， 又∵速度为， ∴运动时间． 故答案为∶6． （2）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 易错考点02：三角形的个数问题 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 【答案】 6 【思路引导】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【规范解答】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 4．观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【思路引导】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【规范解答】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 易错考点03：三角形的分类 5．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，和中，，，，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若求的度数； (2)当时，设请用含x的式子表示=_ ；并写出PD的最大值为 ；若三角形的三条高的交点在三角形内部，则x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)，3； 【思路引导】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （1）证明，进而解答即可． （2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可；根据题意得出交点在三角形内部，三角形为锐角三角形，结合图形即可求解． 【规范解答】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ，， ． （2）解， ， ，，， ， 当时，x最小，最大，， ，， ， ， 时，有最大值，即； ∵三角形的三条高的交点在三角形内部， ∴三角形为锐角三角形， ∵当时，，当点P与点B重合时为直角三角形， ∴． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【思路引导】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【规范解答】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 易错考点04：构成三角形的条件 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【思路引导】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【规范解答】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个根． (1)求证：该方程始终有两个实数根； (2)等腰三角形一边长为6，另外两边是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【思路引导】（1）求出该方程根的判别式，即可求证； （2）先用因式分解法求出该方程的解，再根据等腰三角形的定义和三角形三边之间的关系，即可解答． 【规范解答】（1）证明：根据题意可得： ， ∴， ∵， ∴， ∴该方程始终有两个实数根； （2）解：， ， 解得：， 当等腰三角形腰长为6时，，符合题意， ，解得：， 当等腰三角形腰长为2时，，不符合题意； ∴该等腰三角形周长为：． 【考点剖析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及解一元二次方程的方法和步骤． 易错考点05：确定第三边的取值范围 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【规范解答】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）已知三角形的两边长为6和8，第三边长为（取整数），当的值是多少时，三角形的周长最小，最小值是多少？ 【答案】，三角形的周长最小值为 【思路引导】本题考查了求三角形第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再根据周长取最小即为能取到的最小整数，由此解出本题． 【规范解答】解：根据题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴值可为3，且此时三角形周长最小, ∴三角形的最小周长为． 易错考点06：三角形三边关系的应用 11．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）已知是的三条边长，化简： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键． 先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【规范解答】解：∵是的三条边长， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【思路引导】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【规范解答】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 易错考点07：三角形的稳定性及应用 13．（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案． 【规范解答】∵三角形具有稳定性， ∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线， ∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条）， ∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条， 故选：B． 【考点剖析】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 14．小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释． 【规范解答】如图： A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边． 故选：A． 【考点剖析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 易错考点08：根据三角形中线求长度 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)， 【思路引导】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，用到的知识点是三角形的中线、角平分线、高的定义和面积公式， （1）根据三角形中线的性质即可得出答案； （2）根据三角形角平分线的性质即可得出答案； （3）根据三角形高的定义与性质即可得出答案； （4）根据三角形的面积公式及三角形中线的性质即可得出答案． 【规范解答】（1）解： 是的中线， ， 故答案为：，； （2）解： 是中的角平分线， ， 故答案为：，； （3）解： 是中边的高， ， ， 故答案为：； （4）解： ，， ， 是的中线， ， 故答案为：，． 16．（24-25八年级上·广东茂名·期中）【阅读理解】 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，则的边的“中偏度值”为． 【尝试应用】 如图2，在中，，，， （1）______，边上的高______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】 如图3，点A为直线上方一点，点A到直线的距离，点B在直线上，且，若点C在直线上，且， （3）求的边的“中偏度值”． 【答案】（1），   （2）   （3）或 【思路引导】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理及应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的思想方法． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出， 中BC边上的高和该边上的中点到BC的距离， （2）根据“中偏度值”的定义即可求解； （3）分两种情况：当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）∵AE为斜边上的中线， ∴ ， ， 则的边的“中偏度值”为； （3）①当在外部时，作的中线， 如图， ， ， ， ∵为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则'的边的“中偏度值”为； ②当在内部时，作的中线，如图， ， ，， ， ∵为的中线， ， ， 即点到的距离为， 则的边的“中偏度值”为 综上所述，的边的“中偏度值”为或． 易错考点09：根据三角形中线求面积 17．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期末）已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)的面积为 (2) 【思路引导】本题考查的是三角形中线的性质及直角三角形性质， （1）先求出三角形面积，再根据三角形中线性质求出结论； （2）借助三角形面积求出斜边上的高即可． 【规范解答】（1）解：在直角三角形中，，， ， ∵点E是的中点， ∴的面积； （2）解：在直角三角形中，于D， ， ∴， ∴ 18．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 【规范解答】解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 易错考点10：重心的概念 19．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（    ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【答案】A 【思路引导】连接，根据等边三角形的性质得到是的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可． 【规范解答】解：连接，   是等边三角形，是的中点， 是的垂直平分线， ， 的周长， 当、、在同一直线上时， 的周长最小， 为中线， 点为的重心， 故选：A． 【考点剖析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【规范解答】解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 易错考点11：三角形角平分线的定义 21．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相关知识． 由平行线的性质，结合角平分线的定义，可以判断选项，，根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，可以判断选项，即可得符合题意的选项． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴选项不符合题意， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项不符合题意， 由已知无法得出， ∴选项符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项不符合题意， 故选：． 22．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且. (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）证，即可得出结论； （2）设，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后证，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：设， ， ，， 则， 在上截取，连接，如图所示： 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ，在中，， ， ， ， ； 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明和是解题的关键． 易错考点12：画三角形的高 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为△的中线，为的中线． (1)作图：在△中作出边上的高；边上的高； (2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)中边上的高为4 【思路引导】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键． （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，EF、DG即为所求作； （2）解：为的中线，为的中线， ， ， 的面积为40，， ， ， 即中边上的高为4． 24．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【思路引导】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【规范解答】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 易错考点13：与三角形的高有关的计算问题 25．（25-26八年级上·山西·阶段练习）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 【答案】（1），（2），（3） 【思路引导】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【规范解答】解：如图，过点A作AE⊥BC， 则 ∵， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 26．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，已知，，，，，则下列说法：点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是其中正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【思路引导】根据面积法可得，然后再根据点到直线的距离的意义，逐一判断即可解答． 本题考查了三角形的面积，点到直线的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【规范解答】解：，， 的面积， ， ， 解得：， 点到直线的距离是， 故正确； 点到直线的距离是，故正确； 点到直线的距离是，故正确； 点到直线的距离是的长度，不是6，故不正确； 所以，上列说法，其中正确的序号有， 故答案为：． 易错考点14：三角形内角和定理的证明 27．（24-25七年级下·上海·阶段练习）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【规范解答】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 28．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】 （1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【思路引导】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 易错考点15：与平行线有关的三角形内角和问题 29．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1) ； ，理由见解析 (2)或． 【思路引导】（1）根据“两直线平行，同位角相等”，即可得答案；过O点作平行于格线，同理可得； （2）分两种情况讨论：射线在的内部射线在的外部． 【规范解答】（1）解：如图： 如图1：格线都互相平行，， ， ， ， ， 故答案为：； ， 证明：如图2：过O点作平行于格线， 格线都互相平行, ， ， ; （2）或， 理由： 当射线在的内部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ， ； 当射线在的外部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ． 综上所述：或． 【考点剖析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，对顶角相等等知识点，灵活运用这些知识是解决本题的关键． 30．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则_____，_____． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线MN旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的边或边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)110，80 (2) (3)或或或 【思路引导】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）延长交于点G，设、交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （3）分四种情况，分别画出图形，表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：110，80； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点G，设、交于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，则 ∴，， 由题意可知，， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时， ， ∴， 如图，当时，，     ， ∴； 综上所述，或或或． 【考点剖析】本题考查平行线的判定与判定、三角形内角和定理及其推论、一元一次方程的几何应用，解题的关键是正确分类，找出相等关系列方程． 易错考点16：与角平分线有关的三角形内角和问题 31．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 32．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【规范解答】解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 易错考点17：三角形折叠中的角度问题 33．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【规范解答】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 34．（20-21八年级上·广东东莞·期末）如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'，若∠A＝30°，∠BDA'＝80°，则∠CEA'的度数为（    ） A．20° B．40° C．60° D．90° 【答案】A 【思路引导】根据平角的定义可得∠ADA′=100°，根据折叠的性质知∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和可得∠AED=100°，可得∠DEC=80°，根据折叠的性质知∠AED=∠A′ED=100°，进而根据角的和差关系即可得答案． 【规范解答】∵∠BDA'＝80°， ∴∠ADA′=180°-∠BDA'＝100°， ∵沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'， ∴∠ADE=∠A′DE=∠ADA′=50°， ∵∠A＝30°， ∴∠AED=180°-∠ADE-∠A=100°， ∴∠DEC=180°-∠AED=80°， ∵沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'， ∴∠AED=∠A′ED=100°， ∴∠CEA'=∠A′ED-∠DEC=20°， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了翻折变换（折叠问题）、三角形内角和及角的和差，熟悉折叠的性质是解决问题的关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 易错考点18：三角形内角和定理的应用 35．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】 有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． (1)如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证． (2)如图3，光线与相交于点P，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． （1）根据平面镜反射光线的规律得，，再利用，可得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可； （2）根据三角形内角和定理求得，根据平面镜反射光线的规律得，，再结合平角的定义得出，然后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 36．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知：直线分别与直线，相交于G、H两点，并且． (1)如图1，求证：； (2)如图1，点M在直线，之间，连接，，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，则______°．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用对顶角相等结合平行线的判定定理即可证明； （2）作，利用平行线的判定和性质即可证明； （3）设，，求得，，，在中，利用三角形内角和定理求得，再在中，利用三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， 即， 整理得， ∴， 在中， ， 故答案为：． 易错考点19：直角三角形的两个锐角互余 37．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）（1）如图，平分，平分，，求证：； （2）如图2，，，在线段上找一点，使，当直角顶点移动时，问与是否存在确定的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【思路引导】（1）通过角平分线定义得到角的倍数关系，结合直角三角形两锐角互余，推出同旁内角互补，进而证明两直线平行． （2）作平行线，利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合角平分线定义和直角三角形的性质，推导出角的数量关系． 本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：平分平分， ． ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 过作，如图． ， ， ， ， ，， ∴， ． 38．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，是的高，是的平分线，求的度数． 【答案】的度数为 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 答：的度数为． 易错考点20：锐角互余的三角形是直角三角形 39．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【规范解答】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 40．（2025·福建宁德·二模）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了等角的作图，涉及了直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键． 根据直角三角形的性质与判定推出，作图即可． 【规范解答】解：∵， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， 若， ∴（等量代换）， ∴，（两个锐角互余的三角形是直角三角形）， ∴， 故选：D． 易错考点21：三角形的外角的定义及性质 41．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． (1)按小英的思路完成这一结论． (2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)与的关系：；证明见解析 【思路引导】本题考查了三角形外角性质的运用，三角形内角和定理应用，角平分线性质，解题时注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （1）依据三角形外角性质，即可得到，，进而得出； （2）依据、分别是与的角平分线，即可得出，，再根据三角形内角和定理，即可得到． 【规范解答】（1）证明：如图（3），延长交于， 是的外角， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：与的关系：， 证明：、分别是与的角平分线， ，， ∴ ． 42．（2024七年级下·广东东莞·竞赛）如图1，已知，点在上，连接．过点作，连接． (1)若，则 ； (2)如图2，平分，射线的反向延长线交的平分线于点，试探究与之间的数量关系并说明理由． (3)在（1）的条件下，点为直线上的一动点，连接，直接写出与之间的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或 【思路引导】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理及外角性质等知识，熟记平行线的性质、三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理及外角性质求解即可； （3）根据平行线的性质分情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分三种情况讨论， ①如图， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∴， ③如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形（易错题考点集训） 【21个高频易错考点 共42题】 易错考点01：三角形的识别与有关概念 1 易错考点02：三角形的个数问题 3 易错考点03：三角形的分类 3 易错考点04：构成三角形的条件 5 易错考点05：确定第三边的取值范围 5 易错考点06：三角形三边关系的应用 6 易错考点07：三角形的稳定性及应用 6 易错考点08：根据三角形中线求长度 7 易错考点09：根据三角形中线求面积 8 易错考点10：重心的概念 9 易错考点11：三角形角平分线的定义 9 易错考点12：画三角形的高 10 易错考点13：与三角形的高有关的计算问题 11 易错考点14：三角形内角和定理的证明 12 易错考点15：与平行线有关的三角形内角和问题 14 易错考点16：与角平分线有关的三角形内角和问题 16 易错考点17：三角形折叠中的角度问题 17 易错考点18：三角形内角和定理的应用 17 易错考点19：直角三角形的两个锐角互余 19 易错考点20：锐角互余的三角形是直角三角形 20 易错考点21：三角形的外角的定义及性质 21 易错考点01：三角形的识别与有关概念 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使； (3)在图2中，画的高； (4)在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使． 2．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图1，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)当___________时，的周长被线段平分为相等的两部分； (2)如图1，当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 易错考点02：三角形的个数问题 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是 ； （2）的三个内角是 ，其中的对边是 ； （3）以为一个内角的三角形是 ； （4）图中共有 个三角形． 4．观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 易错考点03：三角形的分类 5．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，和中，，，，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若求的度数； (2)当时，设请用含x的式子表示=_ ；并写出PD的最大值为 ；若三角形的三条高的交点在三角形内部，则x的取值范围是 ． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 易错考点04：构成三角形的条件 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个根． (1)求证：该方程始终有两个实数根； (2)等腰三角形一边长为6，另外两边是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 易错考点05：确定第三边的取值范围 9．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）已知三角形的两边长为6和8，第三边长为（取整数），当的值是多少时，三角形的周长最小，最小值是多少？ 易错考点06：三角形三边关系的应用 11．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）已知是的三条边长，化简： ． 12．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 易错考点07：三角形的稳定性及应用 13．（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错考点08：根据三角形中线求长度 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： (1)； (2)； (3)； (4)若，则______，______． 16．（24-25八年级上·广东茂名·期中）【阅读理解】 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，则的边的“中偏度值”为． 【尝试应用】 如图2，在中，，，， （1）______，边上的高______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】 如图3，点A为直线上方一点，点A到直线的距离，点B在直线上，且，若点C在直线上，且， （3）求的边的“中偏度值”． 易错考点09：根据三角形中线求面积 17．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期末）已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，． (1)求的面积； (2)求的长． 18．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 易错考点10：重心的概念 19．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（    ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 易错考点11：三角形角平分线的定义 21．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且. (1)求证：； (2)求证：； 易错考点12：画三角形的高 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为△的中线，为的中线． (1)作图：在△中作出边上的高；边上的高； (2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 24．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 易错考点13：与三角形的高有关的计算问题 25．（25-26八年级上·山西·阶段练习）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则，， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 26．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，已知，，，，，则下列说法：点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是其中正确的序号有 ． 易错考点14：三角形内角和定理的证明 27．（24-25七年级下·上海·阶段练习）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 28．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 易错考点15：与平行线有关的三角形内角和问题 29．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 30．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则_____，_____． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线MN旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的边或边，请直接写出所有满足条件的t的值． 易错考点16：与角平分线有关的三角形内角和问题 31．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 32．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错考点17：三角形折叠中的角度问题 33．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 34．（20-21八年级上·广东东莞·期末）如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A'，若∠A＝30°，∠BDA'＝80°，则∠CEA'的度数为（    ） A．20° B．40° C．60° D．90° 易错考点18：三角形内角和定理的应用 35．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】 有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． (1)如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证． (2)如图3，光线与相交于点P，若，求的度数． 36．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知：直线分别与直线，相交于G、H两点，并且． (1)如图1，求证：； (2)如图1，点M在直线，之间，连接，，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，则______°．（直接写出答案） 易错考点19：直角三角形的两个锐角互余 37．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）（1）如图，平分，平分，，求证：； （2）如图2，，，在线段上找一点，使，当直角顶点移动时，问与是否存在确定的数量关系？并说明理由． 38．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，是的高，是的平分线，求的度数． 易错考点20：锐角互余的三角形是直角三角形 39．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 40．（2025·福建宁德·二模）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 易错考点21：三角形的外角的定义及性质 41．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． (1)按小英的思路完成这一结论． (2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 42．（2024七年级下·广东东莞·竞赛）如图1，已知，点在上，连接．过点作，连接． (1)若，则 ； (2)如图2，平分，射线的反向延长线交的平分线于点，试探究与之间的数量关系并说明理由． (3)在（1）的条件下，点为直线上的一动点，连接，直接写出与之间的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角） 学科网（北京）股份有限公司 $