1.2集合间的基本关系第一课时学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025—2026学年上学期高一年级数学学科导学案 第一章 集合与常用逻辑用语 年级： 学科组： 姓名： 第一课时： 1.2 集合间的基本关系 【课标解读】 1.本节课是人教A版2019必修第一册第一章“集合与常用逻辑用语”中的1.2节“集合间的基本关系”.内容包括集合之间的包含与相等的含义、子集、真子集与空集的概念以及集合的Venn图表示. 2.本节类比实数，发现和提出“集合是否像实数一样具有相等关系、大小关系”的问题，抽象概括出包含关系，并从子集角度再认识相等关系.包含关系是集合的基本关系，包含关系和相等关系也都是从元素与集合之间的关系定义集合之间的关系.也就是说，当我们判断集合间关系时，其实是回归到了元素与集合的关系.明确了这一点，对于辨析属于关系、包含关系及理解其符号表示都是很有帮助的. 如就是“对于任意，都有”. 符号化是数学的重要特征。在集合的学习中，需要建立符号表示和数学意义之间的联系，Venn图则是梳理集合间的关系以及后面所学的运算的直观且有效的工具.通过各种问题，建立自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）之间的联系，有利于表示数学问题，也有助于提升学生数学抽象素养. 【核心素养】 ‌数学抽象‌：体现在从具体实例中提炼集合间的包含与相等关系，例如通过数字或几何对象抽象出子集和真子集的概念‌； ‌逻辑推理‌：表现为证明集合相等（如A=B需证明A⊆B且B⊆A）或判断给定集合的子集关系，强调严谨的论证过程‌； 直观想象‌：借助Venn图可视化集合关系（如交集、并集），帮助学生直观理解集合运算和包含逻辑‌.‌‌ 【学习目标】 (1)会通过类比实数间关系，发现和提出需要研究的问题；能从元素与集合间关系的角度，分析两个集合之间的包含与相等关系，并用符号语言、图形语言表示这些关系；体会研究数学新对象的基本方法. (2)对于具体的集合，能写出集合的子集；能判断一个集合是否是另一个集合的子集；知道空集也是一个集合，以及空集与其他集合的关系. (3)在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）的转换，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，并能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学. 教学重点：子集、真子集、集合相等的概念，判断集合之间关系的方法. 教学难点：准确判断集合之间的包含关系和相等关系，运用集合间的基本关系解决实际问题. 【学习过程】 【导】（5分钟） 问题1：如果你的好友圈A中的所有好友都在班级群B中，那么这两个“好友圈”之间有什么关系呢？ 问题2：假设你有一个特别的兴趣小组，“篮球爱好者群”，成员包括小明、小华、小强。同时，你还有一个更大的“体育爱好者群”，成员包括小明、小华、小强、小李、小王。这两个群之间的成员关系又是什么样的呢？ 【思—议—展】（10分钟） 问题1：我们知道，两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢? 观察下面的例子，类比实数间的大小或相等关系，试说说每组的两个集合间有何关系? (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)A为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合， B为立德中学高一(2)班全体学生组成的集合； (3)A={等边三角形}，B={等腰三角形}； (4)A={4，6，8}，B={8，4，6}； (5)A={x∈Z||x|<2}，B={-1，0，1} 子集的概念 ①自然语言： 一般地，对于两个集合中的A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 ，记作 (或 )，读作“A B”(或“B A”). 如：{1,2}⊆{1,2,3,5}. ②符号语言: 对任意的x∈A，总有x∈B，则 . ③图形语言： Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合. 问题2：类比实数间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗? . 相等集合的概念 一般的，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B ，记作 .也就是说：若A⊆B，且B⊆A，则 . 问题3：与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，你有什么体会？ 追问1：对比实数关系，想一想还有什么可能吗？ 真子集的概念 若,且,则.如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的 (propersubset),记作 (或 ). 读作：“A B”（或“B A”）. 追问2：我们知道,方程没有实数根,所以方程的实数根组成的集合中没有元素，那这可怎么办呢？ 空集的概念 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做 (emptyset),记为,并规定: . 追问3：你能举出几个空集的例子吗? 问题4：包含关系与属于关系有什么区别？试结合实例作出解释. 例：在以下写法中，正确的个数为( ). ① ② ③； ④ ⑤ ⑥； ⑦＝{0} ⑧ ⑨ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【课堂训练】 1. 观察与推理——元素个数与子集个数的关系. 2.回答下面几个例子， (1)写出 的所有子集； (2)写出集合{a}的所有子集； (3)写出集合{a,b}的所有子集; (4)写出集合{a,b,c}的所有子集. 你从中发现了什么规律？ 集合 元素个数 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 结论： (1)含有n个元素的集合A的子集个数是 ; (2)含有n个元素的集合A的非空子集个数是 ; (3)含有n个元素的集合A的真子集个数是 ; (4)含有n个元素的集合A的非空真子集个数是 . 例1.满足的集合有 个． 例2.,,则（ ） 【当堂检测】 习题1.2 【总结提升】 1.元素与集合的关系 关系 概念 记作 读作 属于 如果a 集合A中的元素，就说a 集合A. 不属于 如果a 集合A中的元素，就说a 集合A. 2.子集的概念： ①自然语言： 一般地，对于两个集合的A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 ，记作 (或 ). 读作“A B”(或“B A”). 如：{1,2}⊆{1,2,3,5}. ②符号语言: 对任意的x∈A，总有x∈B，则 . ③图形语言： 3.空集的概念 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做 (emptyset),记为 ,并规定: . 注意：空集只有它本身一个子集，即. 4.真子集的概念 若,且,则.如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的 (propersubset),记作 (或 ). 读作：“A B”（或“B A”）. 5.实数间的大小关系 关系 记作 小于等于 等于 小于 6.集合与集合的关系 关系 记作 读作 包含 相等 真包含 7.画出与集合间的基本关系相关的知识点的思维导图. 学科网（北京）股份有限公司 $