1.2集合间的基本关系课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

坐姿要求：一拳、一尺、一寸 课前三准备： 1、思想准备：发现问题、积极参与、注重效率 2、知识准备：集合的基本概念 3、物质准备：教材、数学草稿本、三色笔、导学案 玉溪弘玉高中 课前三分钟 操作要求： 3分钟阅读第一章 1.2 集合的基本关系 2 第一章：集合与常用逻辑用语 第一节 1.2：集合的基本关系 玉溪弘玉高中 学习目标 玉溪弘玉高中 （1）会通过类比实数间关系，发现和提出需要研究的问题；能从元素与集合间关系的角度，分析两个集合之间的包含与相等关系，并用符号语言、图形语言表示这些关系；体会研究数学新对象的基本方法. （2）对于具体的集合，能写出集合的子集；能判断一个集合是否是另一个集合的子集；知道空集也是一个集合，以及空集与其他集合的关系。 （3）在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）的转换，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，并能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学 玉溪弘玉高中 导：（5分钟） 同学们，大家平时都喜欢在社交媒体上分享生活、交流互动，对吧？比如微信、QQ、微博等。今天，我们就从这些熟悉的社交媒体中的“好友圈”说起。假设我们有以下两个“好友圈”： 好友圈A：你的好友列表，包括小明、小华、小强、小李。 好友圈B：你所在的班级群成员列表，包括小明、小华、小强、小李、小王、小赵等。 问题1：如果你的好友圈A中的所有好友都在班级群B中，那么这两个“好友圈”之间有什么关系呢？ 玉溪弘玉高中 再来看一个例子，假设你有一个特别的兴趣小组，比如“篮球爱好者群”，成员包括小明、小华、小强。同时，你还有一个更大的“体育爱好者群”，成员包括小明、小华、小强、小李、小王。 问题2：这两个群之间的成员关系又是什么样的呢？ 我们知道，两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等。两个集合之间是否也有类似的关系呢? 问题1：观察下面的例子，类比实数间的大小或相等关系，试说说每组的两个集合间有何关系? 集合A小 集合B大 集合相等 (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)A为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合， B为立德中学高一(2)班全体学生组成的集合； (3)A={等边三角形}，B={等腰三角形}； (4)A={4，6，8}，B={8，4，6}； (5)A={x∈Z||x|<2}，B={-1，0，1} 集合间的包含关系：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素。 导：（5分钟） 1.1包含关系与子集的概念： 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 则说集合A包含于集合B(或集合B包含集合A). 并称集合A为集合B的子集. 记作A⊆B(或B⊇A). 读作A包含于B(或B包含A). 如：{1,2}⊆{1,2,3,5} 1.2符号语言： 1.3图形语言： 对任意的x∈A，总有x∈B，则A⊆B A B A(B) 1880年Venn首次采用 也称韦恩图或文氏图. Venn图： 用平面上封闭曲线的内部代表集合. {0,1,2}⊆{x∈N|x<3} = 【思—议—展】（25分钟） 概念生成：包含关系与子集 读作：“A真包含于B”（或“B真包含A”） 例如，在(1)中，A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5} 我们有4B，4 A；我们还有 . 所以集合A是集合B的真子集. 问题2：观察下面几个例子，类比实数间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗? 由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合E，F都是由等腰三角形组成的集合．即集合E中任何一个元素都是集合F中的元素，同时，集合F中任何一个元素都是集合E中的元素．这样，集合E的元素与集合F的元素是一样的． 一般的，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说： 若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，你有什么体会？ 概念生成：包含关系与子集 即 ⊆A . 是任何非空集合的真子集. ∈ ∉ 概念生成：包含关系与子集 课堂训练 0，{0}，三者之间有什么关系? 例：在以下写法中，正确的个数为( ). ①0＝{0} ②0∈{0} ③0⊆{0}； ④0＝ ⑤0∈ ⑥0⊆； ⑦＝{0} ⑧∈{0} ⑨⊆{0}． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 性质： ①任何一个集合是它本身的子集.即 ②规定：空集是任何集合的子集.即 ▲空集：不含任何元素的集合，记作 . ③传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C. B={1,2,4,8} 【练习】写出集合{a,b}的所有子集. 【判断】①A={1,2,3},B={x|x是8的约数},则A是B的子集.( ) ②A={x|x是长方形},B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}, 则A是B的子集.( ) 观察与推理——元素个数与子集个数的关系 (1)写出 的所有子集； (2)写出集合{a}的所有子集； (3)写出集合{a,b}的所有子集; (4)写出集合{a,b,c}的所有子集. 你从中发现了什么规律？ 集合 元素个数 子集个数 真子集 个数 非空子集 个数 空集 0 {a} 1 {a,b} 2 {a,b,c} 3 {a,b,c,…} n 1 2 4 8 0 1 3 7 集合A有n(n≥0)个元素,则A的子集有2n个, A的真子集或非空子集有2n-1个, A的非空真子集有2n-2个(n≥1). 探究已知集合的子集个数 1.假设集合A中含有n (n∈N*)个元素,则: (1)A的子集个数是2n; (2)A的非空子集个数是2n-1; (3)A的真子集个数是2n-1; (4)A的非空真子集个数是2n-2. 2.含有限制条件的子集问题,一般可根据条件列出所有适合题意的子集,采用列举 法解决.特别地,设有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,n∈N*,m≤n),且A⊆C⊆B,则符合条件的有限集C的个数为2n-m. 反思感悟：求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 8 总结 元素与集合的关系 集合与集合的关系 A B A(B) 实数间的大小关系 集合间的关系 a≤b a = b a≤a 若a≤b，b≤c，则a≤c 若a < b ，b < c ，则a < c (a=b或a<b) (a≤b且b≤a) 总结 空集 子集 C B A 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 任何一个集合是它本身的子集 【课堂小结】小朋友们自己画一个本节课的思维导图（下图仅供参考） 玉溪弘玉高中 玉溪弘玉高中 最后， 学习贵在创新 学数学趁年轻 【答案】 8 【解析】 由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2， 且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有两个元素：{1,2}，含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有8个． 变式1：满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个． 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊆A 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C $