5.1变量与函数同步练习2025-2026学年苏科版数学八年级上册

5.1变量与函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．用一根长的铁丝围成一个矩形，阿颖发现矩形的邻边，及面积是三个变量，下面有三个说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数．其中所有正确的结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．甲、乙两名同学沿同一直线跑道从地出发前往地，甲到达地后停止计时．已知乙先出发2分钟后甲才出发，若两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）的关系如图所示，则的值为（   ） A．100 B．200 C．250 D．300 4．如图，图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中（单位：米）和（单位：秒）分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法： ①甲让乙先跑了12米； ②射线表示甲的路程与时间的函数关系； ③甲的速度比乙快1.5米/秒； ④8秒钟后，甲超过了乙 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示的曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 6．如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（　　） A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱 B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C．每月上网时间为50h时，选择A方式最省钱 D．每月上网费用为120元时，选择C方式上网的时间最长 8．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 9．在圆的周长计算公式中，常量是（    ） A．2 B． C． D．无法确定 10．下列各图中，变量y是变量x的函数是（　　） A． B． C． D． 11．五一假期，小丁一家自驾车到离我市的濮阳海洋馆旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据，下列说法不正确的是（    ） 行驶路程 0 50 100 150 200 … 油箱余油量 45 41 37 33 29 … A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶，耗油 C．油箱余油量与行驶路程之间的关系式为 D．当小丁一家到达景点时，油箱中剩油 12．树的高度随时间的变化而变化，下列说法正确的是（    ） A．都是常量 B．是自变量，是因变量 C．都是自变量 D．是自变量，是因变量 二、填空题 13．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 14．小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是 分． 15．一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 16．物理课上老师讲到镜面成像时提到老花镜镜片的度数与焦距呈反比例函数的关系，引起了大家探究的兴趣．小明找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小．此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数 度 镜片与光斑的距离 根据以上数据，当老花镜的镜片与光斑的距离为时，老花镜的度数是 度． 17．按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ． 三、解答题 18．芷阳村组织辆汽车装运完，，三种不同品质的石榴共吨到外地销售，按计划辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种石榴，根据下表提供的信息，解答以下问题： 石榴品种 每辆汽车运载量（吨） (1)设装运种石榴的车辆数为，装运种石榴的车辆数为，求与之间的函数关系式； (2)如果装运每种石榴的车辆数都不少于辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案． 19．宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)西宁与西安相距 千米，两车出发后 小时相遇； (2)普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时； (3)求动车的速度； (4)动车行驶多长时间与普通列车相距140千米？ 20．“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系： 距离地面高度千米 温度 (1)上表反映的变化关系中，_________是自变量，_________是因变量； (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么用表示的关系式是_________． 21．某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为a元，即快递物品质量不超过b千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：    (1)观察图象填空：______，______，______； (2)若顾客快递物品的质量为x千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式； (3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费元，求他快递物品的质量为多少千克？ 22．如图中的折线表示某汽车的耗油量y（单位：）与速度x（单位：）之间的函数关系，已知线段表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加． (1)求段的函数关系式（不要求写自变量取值范围）； (2)求当速度为时，该汽车的耗油量是多少？ (3)速度为多少时，该汽车耗油量最低？最低耗油量为多少？ 23．按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子，其中餐桌的数量用x（张）表示，椅子的数量用y（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． (1)题中自变量是____，因变量是____． (2)请写出y和x之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人（一把椅子只坐一个人）？请说明理由． 24．如图，在中，，，平分，，过点作，点为边上一动点（可与端点重合），连接， (1)当F点为中点时，求的面积． (2)若为直角三角形时，求的值． (3)记，，求关于的函数表达式． 《5.1变量与函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C C B C B C A 题号 11 12 答案 C B 1．D 【分析】本题主要考查了求自变量的取值．把代入，即可求解． 【详解】解：当函数值时，， 解得：或． 故选：D 2．A 【分析】本题考查了函数的概念，常量与变量，熟练掌握函数的定义是解题的关键．根据题意可得，从而可得，即可判断①；再利用矩形的面积可得，从而可得，即可判断②；根据，然后利用配方法可得，从而可得，即可判断③． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 是的函数，故①正确； ， ， 是的函数，故②正确； ， ， ， ， ， ， 不是S的函数，故③不正确； 所以，所有正确的结论的序号是：①②， 故选：A． 3．B 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，从函数图象获取信息，根据题意，设甲的速度为每分钟米，乙的速度为每分钟米，结合函数图象的性质进行列出方程组，再得出的值，即可作答． 【详解】解：根据题意，设甲的速度为每分钟米，乙的速度为每分钟米， ∵甲乙两名同学沿同一直线跑道从地出发前往地，甲到达地后停止计时．已知乙先出发2分钟后甲才出发， 则当时，甲追上乙了，此时他们所走的路程相同，当时，甲所走的路程比乙多米， 即， 解得， 解得， 即乙的速度为每分钟米． ， 故选：B 4．C 【分析】本题考查一次函数的应用．结合函数图象逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得，甲让乙先跑了12米，故①正确； 甲的速度比乙快， 射线表示乙的路程与时间的函数关系，故②错误； （米秒），（米秒）， 甲的速度比乙快（米秒），故③正确； 由图象可知，8秒后甲超过了乙，故④正确； 正确的有①③④，故3个； 故选：C． 5．C 【分析】根据函数的定义判断，对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应，判断解答即可． 本题考查了函数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】A. 对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应， 正确，不符合题意； B. 对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应， 正确，不符合题意； C. 对于x的每一个值，y都有两个值与之对应， 错误，符合题意； D. 对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应， 正确，不符合题意； 故选C． 6．B 【分析】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，由图2可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值即可求得答案．注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键． 【详解】解：由图2可知，，，当点到达点时，的面积为， ，即， 解得：． 故选：B． 7．C 【分析】观察函数图象，可判断选项A、B；利用待定系数法求出：当时，与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，将其与50比较后即可判断选项C；由图可知：当时，A方式可上网，B方式可上网，而C方式上网任意小时，即可判断选项D． 【详解】解：A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足时，选择A方式最省钱，结论A正确，不符合题意； B、观察函数图象，可知：当每月上网费用元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确，不符合题意； C、设当时，设， 根据图象得，解得， ∴， 当时，， ∴每月上网时间为时，选择B方式最省钱，结论C不正确，符合题意； D、由图可知：当时，A方式可上网，B方式可上网，而C方式上网任意小时，∴结论D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 8．B 【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：流出油量是， 则剩余油量：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 9．C 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，识记相关定义，是解题的关键． 根据常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量，进行判断即可． 【详解】解：圆的周长计算公式是，C和R是变量，是常量，故C正确． 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了函数的意义，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．根据函数的意义即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有A正确． 故选：A． 11．C 【分析】本题考查了函数的应用，关键是能准确理解题目中的数量关系，并能列式表达．通过表格给出的信息理解题意，可得此题答案． 【详解】解：∵当时， ∴该车的油箱容量为，故选项A正确，不符合题意； 由表格可得该车每行驶耗油，故选项B正确，不符合题意； 则油箱余油量与行驶路程之间的关系式为，故选项C不正确，符合题意； ∵， ∴当小曲一家到达景点时，油箱中剩余油，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 12．B 【分析】根据函数的概念，常量与变量的概念即可求解． 【详解】解：∵树的高度随时间的变化而变化， ∴是自变量，是因变量， 故选：． 【点睛】本题主要考查函数的概念，理解并掌握函数的概念，常量，变量的概念是解题的关键． 13． 【分析】根据反比例函数的自变量是不为0的任意实数求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的自变量是不为0的任意实数是解题的关键． 14．42 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．观察图象求出上下坡的速度以及上下坡的路程，即可求解． 【详解】解：观察图象得：上坡的速度为千米/分，下坡的速度为千米/分，上坡的路程为千米，下坡的路程为千米， ∴分， 即他从学校骑车回家用的时间是42分． 故答案为：42 15． 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，设，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可求解，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：D与f成反比例函数，设，把代入得，， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 17． 【详解】本题主要考查了求函数值，实数的大小比较；解题关键是理解已知条件中的计算程序．先判断与的大小，然后把代入，求出即可． 【解答】解：， ， 输出的的值为：， 故答案为：． 18．(1) (2)有3种安排方案：方案一：装A种2辆车，装B种6辆车，装C种2辆车；方案二：装A种3辆车，装B种4辆车，装C种3辆车；方案三：装A种4辆车，装B种2辆车，装C种4辆车； 【分析】本题考查了列函数关系式，一元一次不等式组的应用； （1）根据题意列式：，变形后即可得到； （2）根据装运每种石榴的车辆数都不少于辆，，，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设装种为辆，装种为辆，则装种为辆， 由题意得：， ； （2）解：， ∴装种石榴的车也为 辆， ∴ 解得：．为整数， ，，， 故车辆有种安排方案，方案如下： 方案一：装种辆车，装种辆车，装种辆车； 方案二：装种辆车，装种辆车，装种辆车； 方案三：装种辆车，装种辆车，装种辆车． 19．(1)，3 (2)， (3)动车的速度为千米/小时 (4)动车行驶小时或小时与普通列车相距千米 【分析】（1）一开始两车之间的距离为西宁与西安相距，直接求解即可；两车出发后相遇即两车之间的距离为0时对应的时间． （2）看图找到时间，然后直接求解即可． （3）行程问题中的相遇问题，直接列方程求解即可． （4）相距140千米需要分类讨论，然后直接求解即可． 【详解】（1）由时，，知西宁到西安两地相距千米， 由时，，知两车出发后3小时相遇， （2）由图象知时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需14小时， 普通列车的速度是（千米/小时）， （3）设动车的速度为x千米/小时， 根据题意，得：， 答：动车的速度为千米/小时； （4）①相遇前动车行驶与普通列车相距千米， （小时）， ∴动车行驶小时与普通列车相距千米； ②相遇后动车行驶与普通列车相距千米， （小时）， （小时） ∴动车行驶小时与普通列车相距千米； 综上，动车行驶小时或小时与普通列车相距千米． 【点睛】此题考查一次函数图像的应用，解题关键是找准运动状态中的特殊点坐标代表的实际含义，然后代值求解． 20．(1)距离地面的高度，温度 (2) 【分析】此题考查了列函数关系式、自变量、因变量等知识． （1）根据题意可得温度随着距离地面的高度变化，即可得到自变量和因变量； （2）由表格可知距离地面的高度每升高1千米，气温下降，据此即可得到表示的关系式． 【详解】（1）上表反映的变化关系中，温度随着距离地面的高度变化， ∴距离地面的高度是自变量，温度是因变量； 故答案为：距离地面的高度，温度 （2）解：根据表格可知，每升高1千米，气温下降， ∴用表示的关系式是； 即． 故答案为： 21．(1)8，3， (2) (3)顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象获得信息， （1）根据图象得出a、b的值，求出c的值即可； （2）分情况用待定系数法求出y与x之间的关系式即可； （3）把代入函数关系式求出y的值；把代入函数关系式，求出x的值即可； 解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 【详解】（1）解：根据图象可得：快递起步费为8元，即快递物品质量不超过3千克时收费8元，超过部分每千克收费（元）， ∴，，， 故答案为：8；3；； （2）根据图象可知，当时，； 当时，设一次函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的关系式为； ∴y与x之间的函数表达式为； （3）当时，； 当时，得， 解得：． 答：该顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克． 22．(1) (2) (3)速度是时，该汽车的耗油量最低，最低是 【分析】（1）将和代入所设的解析式中求解即可； （2）利用速度为的耗油量为，根据该汽车的速度每增加，耗油量增加进行计算即可； （3）先求出段的函数解析式，再求出B点坐标即可． 【详解】（1）解：设的解析式为：， 把和代入中得：， 解得， ∴段一次函数的解析式为：； （2）∵线段表示的函数关系中，该汽车的速度每增加，耗油量增加， ， ∴速度为时，汽车的耗油量为； （3）设的解析式为：， 把和代入中得：， 解得， ∴段一次函数的解析式为：， 根据题意得， 解得，     答：速度是时，该汽车的耗油量最低，最低是． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是读懂题意，能用待定系数法求函数的解析式，能通过联立两个解析式求交点坐标． 23．(1)， (2) (3)不能刚好坐80人，理由见解析 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化进行判断即可； （2）根据题干给出的数据，求出函数解析式即可； （3）令，求出自变量的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意知，题中反映了餐桌的数量和椅子的数量之间的关系，其中餐桌的数量是自变量，椅子的数量是因变量， 故答案为：，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴椅子的数量和餐桌的数量之间的关系式为； （3）解：不能刚好坐80人，理由如下： 将代入得，， 解得， ∵餐桌的数量是整数， ∴不能刚好坐80人． 24．(1) (2)2 (3) 【分析】（1）如图，过作于，根据角平分的性质定理得到，再根据含角的直角三角形的性质得到的长，由三角形面积即可求解； （2）根据题意，分类讨论：如图所示，当时，可证，得到，则；如图所示，当时，根据含角的直角三角形的性质得到，，， 由勾股定理得到，则，；由此即可求解； （3）如图，过作于，过作于，根据含角的直角三角形的性质得到，则的面积，求出，同理得到，勾股定理得到，则，所以有的面积，解得，由，结合二次根式的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于， 平分，， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 是中点， ， 的面积； （2）解：如图所示，当时， ， ， ，， ∴， ， ； 如图所示，当时， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过作于，过作于， 平分，，， ， 的面积， ， ，， ， ， ， 的面积， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，函数关系式的求解，掌握直角三角形的性质，勾股定理，函数关系的计算，分类讨论思想，数形结合分式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $