第四章 图形的相似（三）讲义 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2025秋季初三数学同步讲义09-图形的相似（三） 【基础巩固】 1、相似三角形的应用 2、相似三角形性质综合题 3、相似三角形的位似 4、相似三角形的探究 【精准突破】 一、相似三角形的应用 例1．（影长落在墙上）如图，小李身高，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为 ．       例2．小明测量旗杆高度的示意图，如图所示．他首先在旗杆的右边点处放置了一平面镜，并测得米．然后小明沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），则旗杆的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 例3．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长． (2)求灯泡到地面的高度． 【实战演练】 1．某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午活动课的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．经测量，站在旗杆底部的小红（）落在地面上的影长为3米，同一时刻，测得旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分影子落在了教学楼上（），已知旗杆和教学楼的水平距离为18米，影长为米，小红的身高是米，且B、F、C三点在同一条直线上，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆的高度．    2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 3．如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB和线段CD表示两根电线杆，线段AD和BC表示两根拉紧的铁丝，AD和BC交于点P．测量得米，点P距地面的高度为3米，则CD的长为 米． 4．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平面镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为米，小亮眼睛到地面的距离为米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度． 5．某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度，如图2：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得米，将标杆沿方向平移米到点处（米）．这时地面上的点，标杆的顶端点，塔尖点正好又在同一直线上，测得米，点与塔底处的点在同一直线上，已知，，．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？ 二、位似 例1．以原点O为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点C的坐标为，点C的对应点为，则点的坐标为 ． 例2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是（　　）    A． B． C． D． 例3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 例4．如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（    ） A． B． C． D． 例5．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标； (2)的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标． 【实战演练】 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 2．如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使它与的相似比为，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来的两倍，画出； (2)A点的对应点的坐标是 ；的面积是 ； (3)在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是 ． 6．如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为．    (1)以点为位似中心在的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形；并分别写出的对应点的坐标； (2)若内部有一点，则其对应点的坐标是____________． 三、相似三角形性质综合题（多结论） 例1．如图，在中，中线、相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数有 （写序号）． 例2．如图，在矩形中，E是边的中点，于点F，连接，分析下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的结论有 ． 例3．如图，正方形的边长为3，E是边上一点， ，将沿折叠到，延长交于点F．过点E作，交于点P，交的延长线于点H，则= ． 【实战演练】 1．菱形是动点，边长为，则下列结论正确的序号有 ． ①；②为等边三角形；③；④若，则． 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，延长，分别交于点，，连接，，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．(只填写序号即可)    3．如图，矩形中，，对角线、交于点，平分交于点，为上一点，为延长线上一点，连接、，的延长线交于点，交于点，且，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤ 4．如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④；⑤中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接，，与相交于点，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 7．如图，点为正方形的中心，，平分交于点，延长到点，使，连结交的延长线于点，连结交于点，连结则以下四个结论中： ； ； ； ； ．正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 四、相似的探究习题 例1．（内接正方形）【模型定义】如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，， ，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 例2．（与旋转有关手拉手模型）如图① ，在中， ，．点D，E分别在边上，且．    (1)在图①中，则 的值为 ； (2)图①中． 保持不动，将 绕点A 按顺时针方向旋转到图②的位置，其它条件不变，连接，则（1）中的结论是否仍然成立? 请说明理由． 例3．（作平行线构造相似）在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法． 【原题呈现】 如图1，在平行四边形中，点M是的中点，点O是线段上一点，的延长线交射线于点N．若，求的值． 【尝试探究】 如图1，过点M作交于点H，则　　，　　，　　． 【类比延伸】 如图2，在原题的条件下，若，则　　（用含有k的代数式表示）． 【拓展迁移】 如图3，四边形中，，点E是的延长线上的一点，和相交于点O．若，，，则　　（用含m，n的代数式表示）． 【实战演练】 1．（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下： 情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G， 则，（依据） ∴． ∴， 即． 情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F… (1)情况①中的依据指：_______． (2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明． (3)如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______． 3．阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 2025秋季初三数学同步讲义09-图形的相似（三） 【基础巩固】 1、相似三角形的应用 2、相似三角形性质综合题 3、相似三角形的位似 4、相似三角形的探究 【精准突破】 一、相似三角形的应用 例1．（影长落在墙上）如图，小李身高，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形对应边成比例解题是关键．过点D作于点F，交于点E，通过证明，得出，即，即可求解． 【详解】解：过点D作于点F，交于点E， ∵， ∴四边形、四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：．    例2．小明测量旗杆高度的示意图，如图所示．他首先在旗杆的右边点处放置了一平面镜，并测得米．然后小明沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），则旗杆的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：D． 例3．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长． (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 故， 即， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴的长为； （2）∵， ∴（）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（）， ∴灯泡到地面的高度为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 【实战演练】 1．某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午活动课的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．经测量，站在旗杆底部的小红（）落在地面上的影长为3米，同一时刻，测得旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分影子落在了教学楼上（），已知旗杆和教学楼的水平距离为18米，影长为米，小红的身高是米，且B、F、C三点在同一条直线上，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆的高度．    【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题的关键． 延长交延长线于点M，证明，利用相似三角形的性质求出，得到的长，再证明，利用相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：延长交延长线于点M，    由题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为米． 2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解： ，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 3．如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB和线段CD表示两根电线杆，线段AD和BC表示两根拉紧的铁丝，AD和BC交于点P．测量得米，点P距地面的高度为3米，则CD的长为 米． 【答案】12 【分析】过点作的垂线，交于点，证明，，即可得到，，根据，即可求出的长度． 【详解】解：过点作的垂线，交于点，如图所示 ∵， ∴ ∴ 由题意可得：米，米 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴米 故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，找到等量关系，联立方程是解答本题的关键． 4．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平面镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为米，小亮眼睛到地面的距离为米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度． 【答案】长安塔的高度是米 【分析】本题主要考查以物理反射光线为背景的相似三角形问题，利用相似三角形模型可以解决，入射角反射角，可以直接证明，在利用对应边之比，即可求出的长度． 【详解】由光的反射定律得到：； ∵，均垂直于； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴（米）； 答：长安塔的高度是米． 5．某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度，如图2：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得米，将标杆沿方向平移米到点处（米）．这时地面上的点，标杆的顶端点，塔尖点正好又在同一直线上，测得米，点与塔底处的点在同一直线上，已知，，．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？ 【答案】此塔的高度有30米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据垂直的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 答：此塔的高度有30米． 二、位似 例1．以原点O为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点C的坐标为，点C的对应点为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】∵与相似比为，若点C的坐标为， ∴点的坐标为或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； 例2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据位似的性质得到与的位似比为，再利用比例性质得到，然后利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：与是位似图形，点O为位似中心， 且， ， ， 又， ． 故选：C． 例3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，又， 则点A的对应点的坐标是或，即或， 故选：B 例4．如图，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．以点C为坐标原点建立新的坐标系，表示出点的横坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以点C为坐标原点建立新的坐标系， 点C的坐标是， 点的横坐标为：， 以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形， 则点B在以C为坐标原点的坐标系中的横坐标为：， 点B在原坐标系中的横坐标为：， 故选：D 例5．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标； (2)的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为，点的坐标为； (2)点在中的对应点的坐标为． 【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）设点在中的对应点的坐标为，根据中点的性质，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，点为所作； ； 点P的坐标为，点B的对应点的坐标为； （2）解：设点在中的对应点的坐标为， ∵位似中心P的坐标为，点M的坐标为， ∴，， 解得，． ∴点在中的对应点的坐标为． 【实战演练】 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 2．如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解． 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质等知识，过点作轴于，过点作轴于．利用相似三角形的性质求出，，可得结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于． ，，，， ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 故选：C． 4．如图，在中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使它与的相似比为，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键． 设点的横坐标为，根据数轴表示出、的水平的距离，再根据位似比列式计算即可． 【详解】解：设点的横坐标为， 则、间的水平距离为、间的水平距离为， ∵放大到原来的2倍得到， ， 解得：， 故选：A． 5．如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来的两倍，画出； (2)A点的对应点的坐标是 ；的面积是 ； (3)在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，10 (3) 【分析】本题主要考查了作图-位似变换． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点即可； （2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积； （3）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：A点的对应点的坐标是， 的面积； 故答案为：，10； （3）解：在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是． 故答案为：． 6．如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为．    (1)以点为位似中心在的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形；并分别写出的对应点的坐标； (2)若内部有一点，则其对应点的坐标是____________． 【答案】(1)作图见解析；点的坐标为，点的坐标为； (2)． 【分析】（）根据位似图形的性质和位似比作图即可，由图形即可； （）利用位似比及点的坐标即可求解； 本题考查了作位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可得点的坐标为，点的坐标为；    （2）解：∵内部有一点，位似比为， ∴其对应点的坐标为， 故答案为：． 三、相似三角形性质综合题（多结论） 例1．如图，在中，中线、相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数有 （写序号）． 【答案】①③④ 【分析】、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断． 【详解】∵、是的中线，即D、E是和的中点， ∴是的中位线， ∴，，即，①正确； ∵ ∴， ∴，②错误； ∵,， ∴,③正确； ∵， ∴ ∴ 又∵是的中线 ∴ ∴，④正确 故①正确，②错误，③④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线分三角形为面积相等的连个三角形证明和之间的关系是关键． 例2．如图，在矩形中，E是边的中点，于点F，连接，分析下列五个结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】由四边形是矩形，于点，得，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断①正确； 由是边的中点，得，由，得，可判断②错误； 作于点，交于点，则，可证明四边形是平行四边形，得，所以，则，得，所以，可判断③正确； 由，得，可推导出，再证明，得，则，得，再根据勾股定理求得，即可证明，可判断④正确； 设矩形的面积为，则，由，得，，而，则，所以，得，可判断⑤正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，于点， ，，， ， ∴，故①正确； 是边的中点， ， ， ， ∴， ，故②错误； 作于点，交于点，则， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 垂直平分， ，故③正确； ， ， ， ，， ∴，   ， ， ， ， ， ，故④正确； 设矩形的面积为，则， ∵， ， ， ，   ， ， ， ，故⑤正确， 故答案为：①③④⑤． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，证明及是解题的关键． 例3．如图，正方形的边长为3，E是边上一点， ，将沿折叠到，延长交于点F．过点E作，交于点P，交的延长线于点H，则= ． 【答案】/ 【分析】先证明，设，在中，，，再根据勾股定理构建方程求出x，然后证明求出的长度，分别表示出和的面积，求其比即可． 【详解】解：∵将沿折叠到， ∴， 在和中， ， ∴， 正方形的边长为3，设， 在中，，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， 由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【实战演练】 1．菱形是动点，边长为，则下列结论正确的序号有 ． ①；②为等边三角形；③；④若，则． 【答案】①②③④ 【分析】利用证，即可判定①；由得到，即可得出，所以是等边三角形，可判定②；由，得到，可判定③；过点E作交于点M点，易证是等边三角形，则，由利用相似三角形的判定和性质可得．即可判定④．本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：①∵菱形 ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ③∵， ∴，故③正确； ④过点E作交于点M点， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴． 故④正确， 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，延长，分别交于点，，连接，，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．(只填写序号即可)    【答案】①②③ 【分析】利用正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在正方形中， ，， ， ∴ 在和中， ， ， ， ， 故①正确； ，， ， ， ， ②的结论正确； ，， ． ，， ， ． ， ， ③的结论正确； ， ， ， ④的结论错误， 综上，正确的结论的序号为：①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述性质是解题的关键． 3．如图，矩形中，，对角线、交于点，平分交于点，为上一点，为延长线上一点，连接、，的延长线交于点，交于点，且，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】由余角的性质可得，即，故①正确；由正方形的性质可得，，可得，可证，故④正确；先证四边形是平行四边形，可得，由“”可证，可得，则，故③正确；通过得到，即可判断②，通过不妨设，最终算出，，比较即可判断⑤． 【详解】解：四边形是矩形， ，为的中点， ， ， ， ， ，故①正确； 为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ， ， ， 不是等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ，故④正确； ， 四边形是平行四边形， ，； ， ∴， 平分， ， 又， ， ， ，故③正确； ∵ ∴ 不妨设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤错误， 故正确的有：①③④， 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，灵活应用知识点间的联系是解题的关键． 4．如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，证明，得出，通过导角证明，可判断①；根据可判断②；证明，根据对应边成比例可判断③；过点M作于点N，证明，结合勾股定理可判断④． 【详解】解：在正方形中，，， E，F分别为边的中点， ． 在和中，， ， ． ， ， 故①正确； 是的中线， ， ， 故②错误； 设正方形的边长为，则， 在中，． ，， ， ，即， 解得，， ， ， 故③正确； 如图，过点M作于点N， ，， ， ，即， 解得，， ． 根据勾股定理，得， ，， ． 故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个， 故选B． 5．如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④；⑤中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，将绕点逆时针旋转得到，连接线段，证明和，即可判断出①②③正确；过作，交于，交于，构造相似三角形即可判断出④错误，⑤正确，据此即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，连接线段，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ∵， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， 即， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ， ∴， 在中，，即， 故②正确； ∵，是中点， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， 故③正确； ∵，，， ∴， ∴， 过作，交于，交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 由②知， ∴， ∴ 设，则，， ∴， 过作，过作，则， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有个， 故选：． 6．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接，，与相交于点，给出下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． 由是等边三角形和，得出，从而证明，进而得到，，再根据含角的直角三角形的性质，得到，即，故①正确；根据等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，得出，可判定②正确；由得到，因此，而与同高，可知，则判定③错误．过点P作于点M，作于点N，则，，根据三角形的面积公式得，可判定④正确．由，得，则，可判定⑤正确． 【详解】∵是等边三角形， ∴，， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，， ∵在正方形中，， ∴， ∴在中，， ∴． 故①正确． ∵在等边中，， 在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故②正确． ∵， ∴， ∴， ∵和同高， ∴． 故③错误． 过点P作于点M，作于点N，    ∴， ∴． 故④正确． ∵在正方形中，， 又， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故⑤正确． 综上，正确的为①②④⑤． 故选：D 7．如图，点为正方形的中心，，平分交于点，延长到点，使，连结交的延长线于点，连结交于点，连结则以下四个结论中： ； ； ； ； ．正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点P，求出，证明，然后可得，再根据等腰三角形三线合一与中位线定理可得出结论；由三角形中位线定理知，，，然后可得结论；根据四边形是正方形，是的平分线可求出，进而得到，再由是中点，可得CH＝HF，求出即可得出结论；证明，则，即，即可得到正确． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴，故正确； ∵点为正方形的中心，，， ∴， 由三角形中位线定理知，，， ∴，故正确； ∵四边形是正方形，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故正确， 综上可知，正确，共个正确， 故选：． 【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一定理、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，利用正方形的性质结合角平分线的定义逐步解答是解题的关键． 四、相似的探究习题 例1．（内接正方形）【模型定义】如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，， ，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解 【分析】（1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】解：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）根据（1）的结果， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大． （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小， 则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方， 此时内接正方形的面积最大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 例2．（与旋转有关手拉手模型）如图① ，在中， ，．点D，E分别在边上，且．    (1)在图①中，则 的值为 ； (2)图①中． 保持不动，将 绕点A 按顺时针方向旋转到图②的位置，其它条件不变，连接，则（1）中的结论是否仍然成立? 请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立；理由见解析 【分析】（1）证明得到，即可得到答案； （2）根据旋转的性质得到，，即可证明，即可得到答案． 【详解】（1）， ， ， ， ，， ； （2）解：由题可知， 由（1）知，， ， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，旋转的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 例3．（作平行线构造相似）在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法． 【原题呈现】 如图1，在平行四边形中，点M是的中点，点O是线段上一点，的延长线交射线于点N．若，求的值． 【尝试探究】 如图1，过点M作交于点H，则　　，　　，　　． 【类比延伸】 如图2，在原题的条件下，若，则　　（用含有k的代数式表示）． 【拓展迁移】 如图3，四边形中，，点E是的延长线上的一点，和相交于点O．若，，，则　　（用含m，n的代数式表示）． 【答案】[尝试探究] ，，；[类比延伸]；[拓展迁移] 【分析】本题是三角形相似的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． [尝试探究] 过点M作交于点H，分别证明，，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质得到，，进而可得； [类比延伸]如图所示，过点M作交于点H，分别证明，，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质得到，，进而可得； [拓展迁移]如图所示，过过点作交的延长线于点，则有．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：尝试探究：过点M作交于点H，如图所示． 则有， ，即， 在▱中，，， ∴， ∴， ∴， 又为中点， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：；；； [类比延伸]：如图所示，过点M作交于点H，如图所示． 则有， ，即， 在▱中，，， ∴， ∴， ∴， 又为中点， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； [拓展迁移]：如图所示，过点作交的延长线于点，则有． ， ， ， ． 又， ． ， ． 故答案为：． 【实战演练】 1．（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1) ，理由见解析；(2)；(3)①；② 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，设， ∴． ∴， ， ∴， ∴， ∴； ②由①得：，，，则 ∴， ∵， ∴， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下： 情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G， 则，（依据） ∴． ∴， 即． 情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F… (1)情况①中的依据指：_______． (2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明． (3)如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______． 【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可； （3）利用梅氏定理即可解决问题． 【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． （2）作交于， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 3．阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 【答案】(1) (2)；； (3)， 【分析】（1）利用同高三角形的面积比等于底的比进行计算解题； （2）作交延长线于M，则有，根据平行线分线段成比例得到，然后等量代换解题即可； （3）先利用勾股定理求出长，然后利用（1）中结论解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；； （3）解：∵，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的面积，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ； 如图2，延长交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），，理由如下： 如图3，延长交于，交于， 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图4，设与的交点为， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点，，在同一条直线上，如图5， ， 在中，根据勾股定理得， ， 由（2）知，， ， 即， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明和是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $