1.3全等三角形的判定（四）-SSS讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦“SSS”全等三角形判定方法，系统构建从全等概念回顾到三边对应相等的判定原理，再延伸至稳定性理解与实际应用的完整学习路径，前后知识环环相扣，形成清晰的认知支架。 资料设计突出数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养融合，如通过生活实例（自行车架）引导学生用几何直观发现三角形稳定性本质，体现数学眼光；例题中规范书写证明过程强化逻辑推理能力，展现数学思维；课后作业设置开放性问题促进学生用符号语言表达数量关系，彰显数学语言。课堂检测与课后习题分层设计，既助力教师精准诊断学情，又便于学生查漏补缺，巩固提升。

2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.3全等三角形的判定（四）-SSS》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.回顾全等三角形的概念，能准确识别全等三角形的对应元素。 2.通过自主探究，掌握 “ SSS ” （边边边）这一全等三角形的判定方法，并能准确理解其含义。 3.深入理解 “ SSS ” 判定方法与三角形稳定性之间的内在联系，体会数学知识的实用性。 4.能够运用 “ SSS ” 判定方法进行简单的三角形全等证明，规范证明过程的书写，提升逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点： “ SSS ” 判定方法的探究与理解；运用 “ SSS ” 判定方法证明三角形全等。 2.难点：理解三角形的稳定性与 “ SSS ” 判定方法的关系；在复杂图形中准确找出全等三角形的对应边，运用 “ SSS ” 进行证明。 ) ( 三． 课前预习 1. 能够完全______的两个三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的对应边______，对应角______。 3. 已知 △ ABC，其中AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm，若再作一个 △ DEF，使DE = 3cm，EF = 4cm，DF = 5cm ，则 △ ABC与 △ DEF______全等。（填 “ 一定 ” 或 “ 不一定 ” ） ) 四．课堂探秘 （一）全等三角形判定方法——“边边边（SSS） 【探究】我们知道全等三角形三边对应相等，那三边对应等的三角形全等吗？ 1.内容：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。 2.几何语言： 在△ ABC 和△ A′B′C′中， 所以△ ABC ≌ △ A′B′C′ (SSS) 这是用符号语言来简洁地表达判定定理，在书写证明过程时会经常用到，要注意对应边的位置书写正确。 3.探究理解：准备三根长度固定的小棒，尝试拼成不同形状的三角形。会发现无论怎样拼，只要三边长度确定，所拼成的三角形形状和大小都是唯一确定的。这就直观地说明了三边对应相等的两个三角形全等。从数学原理上理解，因为三角形三边长度确定后，三角形的内角大小也随之确定，所以这样的两个三角形能够完全重合，即全等。 （二）“SSS”判定定理的证明思路 1.当要证明两个三角形全等且想用“SSS”定理时，首先要明确已知条件中是否直接给出了两个三角形三边对应相等 。如果没有直接给出，就需要通过已知条件去推导得出三边对应相等的关系。 2.比如已知一些线段相等的条件，可能需要利用线段的和差关系、中点定义等，将这些条件转化为两个三角形三边对应相等。例如，已知点D是BC中点，那么就有BD = DC；若又知道AB = EC，AD = AE，通过等量代换和线段和差就能得到三边对应相等，从而应用“SSS”定理证明三角形全等。 （三）“SSS”判定定理的应用 1.证明线段或角相等：如果两个三角形全等（通过“SSS”判定），那么它们的对应边相等，对应角也相等。所以当要证明两条线段相等或者两个角相等时，可以尝试证明它们所在的两个三角形全等。比如，在证明AB = CD时 ，若能证明△ABE≌△DCE（用“SSS”判定出全等），就可得出AB = CD 。 2.解决实际问题：生活中有很多利用三角形稳定性的例子，而三角形稳定性的原理就是“SSS”判定定理。如自行车的车架、篮球架的支架等，这些结构都是通过三角形的形状来保证稳定性，因为只要三边长度固定，三角形的形状和大小就不会改变。在解决这类实际问题时，我们可以把实际的物体抽象成三角形模型，然后利用“SSS”定理去分析和理解其稳定性的原理。 （四）经典例题 例1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证:△ABC≌△ADC. 例2.如图,点E,B,F,C在一条直线上,已知AC=DF,AB=DE,CF=EB.求证:AB∥DE. 例3.已知：∠AOB. 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' =∠AOB. 例4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,连接AC,BD. (1)请补全图形,并猜想AC与BD的位置关系; (2)证明(1)中的结论. 例5. 如图,A为BE上一点,D为AF上一点,AB＝AD,AE＝AF,BF＝DE. (1)求证:∠E＝∠F; (2)求证:CE⊥BF; (3)延长ED至点C,使CD＝CB,若∠E＝20°,求∠BCE的度数. 【总结与思考】 1、SSS与其他判定定理的关系与区别 （1）与SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）的联系：它们都是判定三角形全等的重要方法，在几何证明和实际应用中相互配合使用。无论使用哪种判定定理，目的都是通过给定的边、角条件，确定两个三角形的全等关系，进而解决相关数学问题。 （2）区别：SSS只涉及边，不需要角的条件，只要三边对应相等即可判定，在已知条件均为边的长度信息时，使用SSS最为直接。SAS需要两边一夹角：对边和角的位置关系有要求；ASA和AAS需要角的条件，且ASA强调两角及其夹边，AAS强调两角及其中一角的对边 。 2.应用SSS判定定理的常见错误与注意事项 （1）常见错误 ①边的对应关系错误：没有正确区分对应边，例如在两个三角形中，误将不对应的边当作对应边，导致错误判定全等。 ②忽略隐含条件：未发现图形中公共边等隐含条件，错过使用SSS判定的机会。比如两个三角形有一条公共边，这条边在判定全等时可作为一组对应边。 （2）注意事项 ①明确对应关系：使用SSS判定时，必须准确确定三边的对应关系，可通过图形的标注、字母顺序等方式辅助判断。 ②验证条件真实性：确保给出的三边长度信息真实可靠，在实际问题中，测量误差可能影响判定，需要多次测量验证。 五．课堂检测 1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是(　　) A.① B．② C．③ D．④ 2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC.则∠AED的度数为(　　) A．45°　 B．60°　 C．75°　 D．90° 3、如图、用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠0=∠0，的依据是( )， A. SAS B. ASA C.SSS D.AAS 4、如图，△ABC与△DEF的边BC与EF在同一条直线上，且BE=CF，AB=DE．若需要证明△ABC≌△DEF，则可以增加条件是（   ）． A. BC=EF B. ∠A= ∠D C. AC‖DF D. AC=DF 5．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　 　. 6．如图，AC与BD交于O点，若AB=DC，请补充一个条件：　 　，使△ABC≌△DCB. 7如图，已知AB = AC，AD = AE，BD = CE，求证：∠3 =∠1+∠2. 8．如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O. （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）求证：∠ABD＝∠DCA. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1、三边分别______的两个三角形全等，简写成______或______。 2、当三角形的三边长度确定时，三角形的____和____就完全确定，这就是三角形的____性。 3、在证明三角形全等书写过程中，应先写出要判定全等的两个______，再用大括号列出三个______ ，并注明理由，最后写出结论并说明______ 。 （二）强化训练 一．选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等边三角形都全等 2．如图，在OA，OB上分别截取OD，OE使OD＝OE，再分别以点D、E为圆心，大于 DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，射线OC就是∠AOB的角平分线.理由是连结CD，CE，证△COD≌△COE得∠COD＝∠COE.证△COD≌△COE的条件是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 3.如图,在△ABC中,AB=AC,BE=EC,AE的延长线交BC于点D,直接使用“SSS”可判定(　　) A.△ABD≌△ACD　　 B.△ABE≌△EDC C.△ABE≌△ACE　D.△BED≌△CED 4.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是(　　) A.120°　　　　B.125° C.127°　　　　D.104° 5．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（　　） A．110° B．125° C．130° D．155° 6.如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是(　　) A.两点之间,线段最短 B.垂线段最短 C.两直线平行,内错角相等 D.三角形具有稳定性 7.如图,点B,D,F,E在同一条直线上,且AB=AC,AD=AE,BD=CE, ∠DAF=65°,∠BAE=105°,则∠BEC的度数为(　　) A.70°　　　　B.75°　　　　C.80°　　　　D.85° 9．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形最多有（　　）个． A．8 B．7 C．6 D．4 9．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝AC·BD；④AO＝OC.其中正确的结论有(　　) A．4个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 二．填空题 11．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝____°. 13．如图，AB=AC，BD=CD，若∠B=28°，则∠C=________． 13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，则结论：①AC垂直平分BD；②BD垂直平分AC；③△ABD≌△CBD；④∠BAC＝∠DAC.其中成立的是　 　. 14． 如图，已知AB＝DC，则还需添加条件_________，才可用“SSS”说明△ABC≌△DCB. 15.如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中全等三角形有 　　　　对.  . 16．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有_______. 17．如图，AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，则∠ABC＝ ____°. 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是______. 19.如图，已知AB＝CD，AD＝BC，∠1＝40°，∠2＝80°，则∠A＝________． 20．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是________. 三．解答题 21．如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O. （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）求证：∠ABD＝∠DCA. 22．如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点D在BC边上． （1）求证：∠B＝∠ADE； （2）直接写出∠1与∠2的数量关系． 23．如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF． （1）求证：∠D=∠B； （2）求证：AE∥CF． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．（提示：在线段DE上截取线段EM＝BD，连接线段AM或者在线段DE上截取线段DM＝AD连接线段AM）． 25．如图，C，F是线段BE上的两点，△ABF≌△DEC，且AC＝DF. (1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由． (2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由． 26．如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 27.如图①所示,AB=CD,AD=BC,O是AC的中点,过点O的直线分别与AD,BC相交于点M,N. (1)求证:MO=NO; (2)若将过点O的直线旋转至图②③的情况下,其他条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学上 《1.3全等三角形的判定（四）-SSS》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.回顾全等三角形的概念，能准确识别全等三角形的对应元素。 2.通过自主探究，掌握 “ SSS ” （边边边）这一全等三角形的判定方法，并能准确理解其含义。 3.深入理解 “ SSS ” 判定方法与三角形稳定性之间的内在联系，体会数学知识的实用性。 4.能够运用 “ SSS ” 判定方法进行简单的三角形全等证明，规范证明过程的书写，提升逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点： “ SSS ” 判定方法的探究与理解；运用 “ SSS ” 判定方法证明三角形全等。 2.难点：理解三角形的稳定性与 “ SSS ” 判定方法的关系；在复杂图形中准确找出全等三角形的对应边，运用 “ SSS ” 进行证明。 ) ( 三． 课前预习 1. 能够完全______的两个三角形叫做全等三角形。 【 答案 】 ：重合 2. 全等三角形的对应边______，对应角______。 【 答案 】 ：相等；相等 3. 已知 △ ABC，其中AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm，若再作一个 △ DEF，使DE = 3cm，EF = 4cm，DF = 5cm ，则 △ ABC与 △ DEF______全等。（填 “ 一定 ” 或 “ 不一定 ” ） 【 答案 】 ：一定 ) 四．课堂探秘 （一）全等三角形判定方法——“边边边（SSS） 【探究】我们知道全等三角形三边对应相等，那三边对应等的三角形全等吗？ 【解析】已知一个三角形的三条边分别是2 cm，3 cm，4 cm，小明和小华分别画出三角形后，小华剪下自己的三角形，和小明的比对，发现两个三角能形完全重合． 1.内容：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。 2.几何语言： 在△ ABC 和△ A′B′C′中， 所以△ ABC ≌ △ A′B′C′ (SSS) 这是用符号语言来简洁地表达判定定理，在书写证明过程时会经常用到，要注意对应边的位置书写正确。 3.探究理解：准备三根长度固定的小棒，尝试拼成不同形状的三角形。会发现无论怎样拼，只要三边长度确定，所拼成的三角形形状和大小都是唯一确定的。这就直观地说明了三边对应相等的两个三角形全等。从数学原理上理解，因为三角形三边长度确定后，三角形的内角大小也随之确定，所以这样的两个三角形能够完全重合，即全等。 （二）“SSS”判定定理的证明思路 1.当要证明两个三角形全等且想用“SSS”定理时，首先要明确已知条件中是否直接给出了两个三角形三边对应相等 。如果没有直接给出，就需要通过已知条件去推导得出三边对应相等的关系。 2.比如已知一些线段相等的条件，可能需要利用线段的和差关系、中点定义等，将这些条件转化为两个三角形三边对应相等。例如，已知点D是BC中点，那么就有BD = DC；若又知道AB = EC，AD = AE，通过等量代换和线段和差就能得到三边对应相等，从而应用“SSS”定理证明三角形全等。 （三）“SSS”判定定理的应用 1.证明线段或角相等：如果两个三角形全等（通过“SSS”判定），那么它们的对应边相等，对应角也相等。所以当要证明两条线段相等或者两个角相等时，可以尝试证明它们所在的两个三角形全等。比如，在证明AB = CD时 ，若能证明△ABE≌△DCE（用“SSS”判定出全等），就可得出AB = CD 。 2.解决实际问题：生活中有很多利用三角形稳定性的例子，而三角形稳定性的原理就是“SSS”判定定理。如自行车的车架、篮球架的支架等，这些结构都是通过三角形的形状来保证稳定性，因为只要三边长度固定，三角形的形状和大小就不会改变。在解决这类实际问题时，我们可以把实际的物体抽象成三角形模型，然后利用“SSS”定理去分析和理解其稳定性的原理。 （四）经典例题 例1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证:△ABC≌△ADC. 证明　在△ABC和△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(SSS). 例2.如图,点E,B,F,C在一条直线上,已知AC=DF,AB=DE,CF=EB.求证:AB∥DE. 证明　∵CF=BE,∴CF+BF=BE+BF,即BC=EF,在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠ABC=∠E,∴AB∥DE. 例3.已知：∠AOB. 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' =∠AOB. 【解析】作法：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA,交OB于点C，D. （2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'； （3）以点C'为圆心，以CD长为半径画弧，与第 2 步中所画的弧相交于点D'. （4）过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B' =∠AOB. 如图，∠A'O'B'即为所求. 例4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,连接AC,BD. (1)请补全图形,并猜想AC与BD的位置关系; (2)证明(1)中的结论. 解：(1)补全图形如图所示.AC⊥BD. (2)证明:在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠BAC=∠DAC又∵AB=AD, ∴AC⊥BD. 例5. 如图,A为BE上一点,D为AF上一点,AB＝AD,AE＝AF,BF＝DE. (1)求证:∠E＝∠F; (2)求证:CE⊥BF; (3)延长ED至点C,使CD＝CB,若∠E＝20°,求∠BCE的度数. 解:(1)在△ABF与△ADE中, ∴△ABF≌△ADE,∴∠E＝∠F. (2)∵△ABF≌△ADE, ∴∠BAF＝∠DAE. ∵∠BAF＋∠DAE＝180°, ∴∠BAF＝∠DAE＝90°, ∴∠F＋∠ABF＝90°. ∵∠E＝∠F, ∴∠E＋∠ABF＝90°,∴CE⊥BF. (3)连接AC.∵∠E＝20°,∠EAD＝90°, ∴∠ADE＝70°,∴∠ADC＝110°. 易证△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠ABC＝∠ADC＝110°. ∵∠ABC＋∠BCE＋∠E＝180°, 即110°＋20°＋∠BCE＝180°, ∴∠BCE＝50°. 【总结与思考】 1、SSS与其他判定定理的关系与区别 （1）与SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）的联系：它们都是判定三角形全等的重要方法，在几何证明和实际应用中相互配合使用。无论使用哪种判定定理，目的都是通过给定的边、角条件，确定两个三角形的全等关系，进而解决相关数学问题。 （2）区别：SSS只涉及边，不需要角的条件，只要三边对应相等即可判定，在已知条件均为边的长度信息时，使用SSS最为直接。SAS需要两边一夹角：对边和角的位置关系有要求；ASA和AAS需要角的条件，且ASA强调两角及其夹边，AAS强调两角及其中一角的对边 。 2.应用SSS判定定理的常见错误与注意事项 （1）常见错误 ①边的对应关系错误：没有正确区分对应边，例如在两个三角形中，误将不对应的边当作对应边，导致错误判定全等。 ②忽略隐含条件：未发现图形中公共边等隐含条件，错过使用SSS判定的机会。比如两个三角形有一条公共边，这条边在判定全等时可作为一组对应边。 （2）注意事项 ①明确对应关系：使用SSS判定时，必须准确确定三边的对应关系，可通过图形的标注、字母顺序等方式辅助判断。 ②验证条件真实性：确保给出的三边长度信息真实可靠，在实际问题中，测量误差可能影响判定，需要多次测量验证。 五．课堂检测 1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是(　　) A.① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】：因为三角形要全等对应边必须相等，所以只有③与△ABC的各边都分别相等，只有③正确． 2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC.则∠AED的度数为(　　) A．45°　 B．60°　 C．75°　 D．90° 【答案】D 解析：在△AED与△BCD中，∵∴△AED≌△BCD(SSS)，∴∠AED＝∠C＝90°. 3、如图、用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠0=∠0，的依据是( )， A. SAS B. ASA C.SSS D.AAS 【答案】c 【解析】由作法易得OD=O，D，、OC=0，C，.CD=C，D，.依据 SSS 可判家△COD≌△C，O，D，， 以∠0=∠0，、故选C. 4、如图，△ABC与△DEF的边BC与EF在同一条直线上，且BE=CF，AB=DE．若需要证明△ABC≌△DEF，则可以增加条件是（   ）． A. BC=EF B. ∠A= ∠D C. AC‖DF D. AC=DF 【答案】 D; 【解析】 由BC=EF ，可得BC=EF，又∵AB=DE，∴当AC=DF时，可得△ABC≌△DEF(SSS)， 而增加BC=EF或∠A= ∠D或AC‖DF，均不能证明△ABC≌△DEF，故选D． 5．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　 　. 【答案】SSS 【解析】由作法①知，OM=ON，由作法②知，CM=CN，∵OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），故答案为：SSS. 6．如图，AC与BD交于O点，若AB=DC，请补充一个条件：　 　，使△ABC≌△DCB. 【答案】AC=BD（或∠ABC=∠DCB等） 【解析】：所添条件为AC=BD（或∠ABC=∠DCB等，∵AB=DC，BC=BC，AC=BD，∴△ABC≌△DCB（SSS），∵AB=DC，BC=BC，∠ABC=∠DCB，∴△ABC≌△DCB（SAS）.故答案为：AC=BD（或∠ABC=∠DCB等）. 7如图，已知AB = AC，AD = AE，BD = CE，求证：∠3 =∠1+∠2. 证明：在△ABD和△ACE中，∴ △ABD≌△ACE(SSS).∴ ∠2 =∠ABD，∠1 =∠BAD.∵ ∠3 =∠ABD+∠BAD，∴ ∠3 =∠1+∠2. 8．如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O. （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）求证：∠ABD＝∠DCA. 解：（1）证明：在△ABC和△DCB中， ，∴△ABC≌△DCB（SSS） （2）证明：∵△ABC≌△DCB， ∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DCA 六．课后作业 （一）完成知识清单 1、三边分别______的两个三角形全等，简写成______或______。 【答案】：相等；边边边；SSS 2、当三角形的三边长度确定时，三角形的____和____就完全确定，这就是三角形的____性。 【答案】：形状；大小；稳定 3、在证明三角形全等书写过程中，应先写出要判定全等的两个______，再用大括号列出三个______ ，并注明理由，最后写出结论并说明______ 。 【答案】：三角形；条件；依据 （二）强化训练 一．选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等边三角形都全等 【答案】D 【解答】周长相等的锐角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项A错误；周长相等的直角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项B错误；周长相等的钝角三角形不一定全等，因为周长相等，三条边不一定对应相等，故选项C错误；周长相等的锐等边三角形一定全等，因为周长相等，三条边一定对应相等，利用SSS，可以说明两个三角形全等，故选项D正确；故选D． 2．如图，在OA，OB上分别截取OD，OE使OD＝OE，再分别以点D、E为圆心，大于 DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，射线OC就是∠AOB的角平分线.理由是连结CD，CE，证△COD≌△COE得∠COD＝∠COE.证△COD≌△COE的条件是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 【答案】D 【解析】在△COE和△COD中， ，∴△COE≌△COD（SSS）.故答案为：D. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,BE=EC,AE的延长线交BC于点D,直接使用“SSS”可判定(　　) A.△ABD≌△ACD　　 B.△ABE≌△EDC C.△ABE≌△ACE　D.△BED≌△CED 【答案】C　 【解析】在△ABE与△ACE中,∴△ABE≌△ACE(SSS).故选C. 4.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是(　　) A.120°　　　　B.125° C.127°　　　　D.104° 【答案】C　 【解析】在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=23°,∠ACD=∠ACB,∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°,∴∠ACD=∠ACB=180°-30°-23°=127°.故选C. 5．如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（　　） A．110° B．125° C．130° D．155° 【答案】C 【解析】：在△ACD和△BCE中， ，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠ACD=∠BCE，∠A=∠B，∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD，∴∠ACB=∠ECD= （∠BCD-∠ACE）= ×（155°-55°）=50°，∵∠B+∠ACB=∠A+∠APB，∴∠APB=∠ACB=50°，∴∠BPD=180°-50°=130°，故答案为：C． 6.如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是(　　) A.两点之间,线段最短 B.垂线段最短 C.两直线平行,内错角相等 D.三角形具有稳定性 【答案】D　 【解析】人字梯中间一般设计一“拉杆”,是为了形成三角形,利用三角形具有稳定性来增加其稳定性.故选D. 7.如图,点B,D,F,E在同一条直线上,且AB=AC,AD=AE,BD=CE, ∠DAF=65°,∠BAE=105°,则∠BEC的度数为(　　) A.70°　　　　B.75°　　　　C.80°　　　　D.85° 【答案】D　 【解析】【在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SSS),∴∠BAD=∠CAE =(∠BAE-∠DAF)=20°,∠ADB=∠AEC,∵∠ADB=∠DAE+∠AED,∠AEC=∠AED+∠BEC, ∴∠BEC=∠DAE=∠DAF+∠CAE=65°+20°=85°.故选D. 9．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形最多有（　　）个． A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【解析】如图，图中与△DEF全等的格点三角形最多有：△DAF、△BGQ、△CGQ、△NFH、△AFH、△CKR、△KRW、△CGR，共8个.故答案为：A. 9．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积＝AC·BD；④AO＝OC.其中正确的结论有(　　) A．4个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】：在△ABD与△CBD中，∴△ABD≌△CBD(SSS)，故①正确； ∴∠ADB＝∠CDB，∵DA＝DC，∴AC⊥BD，AO＝OC，故②④正确；四边形ABCD的面积＝S△ADB＋S△BDC＝·DB·OA＋·DB·OC＝AC·BD，故③正确． 10．如图，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（　　） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【解析】：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB=FE， 若添加①AE=FB，则可得AE+BE=FB+BE，即AB=FE，故①可以；若添加AB=FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．若添加AE=BE，或BF=BE，均不能得出AB=FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以．故选A． 二．填空题 11．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝____°. 【答案】130° 【解析】：∵在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠D＝∠B， ∵∠B＝130°，∴∠D＝130°. 13．如图，AB=AC，BD=CD，若∠B=28°，则∠C=________． 【答案】28° 【解答】连接线段AD在△ABD与△ACD中，⇒△ABD≌△ACD⇒∠B=∠C又∵∠B=28°∴∠C=28°故答案为28° 13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，则结论：①AC垂直平分BD；②BD垂直平分AC；③△ABD≌△CBD；④∠BAC＝∠DAC.其中成立的是　 　. 【答案】②③ 【解析】：∵AD=CD，AB=CB，∴BD垂直平分AC，故②正确；在△ABD与△CBD中， ，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∵AD≠AB，CD≠BC，∴AC不一定垂直平分BD，故①错误；∴∠BAC≠∠DAC，故④错误；故答案为：②③. 14．如图，已知AB＝DC，则还需添加条件_________，才可用“SSS”说明△ABC≌△DCB. 【答案】AC=DB 【解析】在△ABC和△DCB中，“SSS”判定定理要求三边对应相等。已知AB = DC，同时BC是两个三角形的公共边，即BC = CB。为了满足“SSS”，还需要让第三组边对应相等，也就是AC和DB相等。所以添加的条件为AC = DB，此时在△ABC和△DCB中，有AB = DC，BC = CB，AC = DB，满足“SSS”判定定理，可以说明△ABC≌△DCB。 15.如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中全等三角形有 　　　　对.  【答案】3 【解析】　在△ADC和△CBA中,∴△ADC≌△CBA(SSS).在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF(SSS).∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE.在△DEC和△BFA中,∴△DEC≌△BFA(SSS).综上可知共有3对全等三角形. 16．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有_______. 【答案】3个 【解析】：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，然后逐一验证，进行判断均符合． 17．如图，AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，则∠ABC＝ ____°. 【答案】76 【解析】：∵AD＝BE，∴AD＋AE＝BE＋AE，即AB＝DE，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠F＝∠C，∠ABC＝∠DEF＝180°－72°－32°＝76°. 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是______. 【答案】4 【解析】∵D是BC的中点，∴BD＝CD.又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BDO＝∠CDO＝90°.∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE.又∵OE＝OE，∴△AOE≌△COE(SSS)．∵BD＝CD，∠BDO＝∠CDO，OD＝OD，∴△BOD≌△COD(SAS)．∵AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB，∴△AOC≌△AOB(SSS)．综上所述，共有4对全等三角形． 19.如图，已知AB＝CD，AD＝BC，∠1＝40°，∠2＝80°，则∠A＝________． 【答案】．60°　 【解析】 在△ABD和△CDB中，[所以△ABD≌△CDB(SSS)，所以∠ABD＝∠1＝40°，所以∠A＝180°－∠ABD－∠2＝180°－∠1－∠2＝180°－40°－80°＝180°－120°＝60°. 20．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是________. 【答案】20° 【解析】　连结FG，EG.∵AB∥CD，∠C＝140°，∴∠CAB＝40°.由题意及作图步骤可知：AF＝AE，FG＝EG.又∵AG＝AG，∴△AFG≌△AEG(SSS)．∴∠FAG＝∠EAG＝20°.∴∠AHC＝∠EAG＝20°. 三．解答题 21．如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O. （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）求证：∠ABD＝∠DCA. 解：（1）证明：在△ABC和△DCB中， ，∴△ABC≌△DCB（SSS） （2）证明：∵△ABC≌△DCB， ∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DCA 22．如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点D在BC边上． （1）求证：∠B＝∠ADE； （2）直接写出∠1与∠2的数量关系． 解：（1）证明：在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SSS），∴∠B=∠ADE； （2）∠1=∠2．理由如下：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠1，∵∠ADC=∠ADE+∠2，且∠B=∠ADE，∴∠1=∠2． 23．如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF． （1）求证：∠D=∠B； （2）求证：AE∥CF． 解：（1）证明：∵在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SSS），∴∠D=∠B （2）证明：∵△ADE≌△CBF， ∴∠AED=∠CFB，∵∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF. 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．（提示：在线段DE上截取线段EM＝BD，连接线段AM或者在线段DE上截取线段DM＝AD连接线段AM）． 解：（1），为等腰三角形，，， ，，． ，． 在中，． ． （2），证明：如图所示：在线段DE上截取线段DM＝AD，并连接线段AM，，，是等边三角形， ，，， ，，， ，，． 25．如图，C，F是线段BE上的两点，△ABF≌△DEC，且AC＝DF. (1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由． (2)∠ACE＝∠BFD吗？试说明你的理由． 解：(1)还能找到2对全等三角形，分别是△ACF≌△DFC，△ABC≌△DEF.理由如下： ∵△ABF≌△DEC，∴AB＝DE，BF＝EC，AF＝DC(全等三角形的对应边相等)， ∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.在△ACF和△DFC中，∵ ∴△ACF≌△DFC(SSS)．在△ABC和△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF(SSS)． (2)∠ACE＝∠BFD.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE(全等三角形的对应角相等)．∵∠ACB＋∠ACE＝180°，∠DFE＋∠BFD＝180°，∴∠ACE＝∠BFD(等角的补角相等)． 26．如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 解：(1)证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝FC＋CE，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)AB∥DE，AC∥DF.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE， ∴AB∥DE，AC∥DF. 27.如图①所示,AB=CD,AD=BC,O是AC的中点,过点O的直线分别与AD,BC相交于点M,N. (1)求证:MO=NO; (2)若将过点O的直线旋转至图②③的情况下,其他条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?请说明理由. 解:(1)证明:在△ABC和△CDA中,∵∴△ABC≌△CDA,(SSS)∴∠ACB=∠CAD. 在△AOM与△CON中,∵∴△AOM≌△CON,(ASA)∴MO=NO. (2)结论仍然成立.理由:在图②中,由(1)知∠MAO=∠NCO.在△AOM与△CON中, ∵∴△AOM≌△CON,(ASA)∴MO=NO. 在图③中,由(1)知∠ACB=∠CAD,∴∠OCN=∠OAM.在△AOM与△CO中, ∵∴△AOM≌△CON,(ASA)∴MO=NO. 学科网（北京）股份有限公司 $