第四章 图形的相似（二）讲义 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2025秋季初三数学同步讲义08-图形的相似（二） 【基础巩固】 1、相似三角形的判定 2、相似三角形的性质 3、黄金分割的计算 【精准突破】 一、相似三角形的判定与性质 例1．（网格三角形）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 例3．（1）如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（      ） A． B． C． D． （2）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 例4．（三垂直模型）如图，四边形ABCD是矩形，，，，，，那么EF的长为 cm． 例5．（面积比=相似比的平方）如图，在平行四边形中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 例6．（对应边的高线、中线、对应角角平分线之比=相似比）如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为 ． 【实战演练】 1．（1）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． （2）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ） A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 2．（1）如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． （2）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 5．已知中，，过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的是（   ） A．B．C．D． 6．依据下列条件不能判断和的相似是（   ） A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，， 7．（1）如图，能使的条件是(     ) A． B． C． D． （2）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （3）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B．C． D． （4）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（   ） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，，则下列各式不能说明的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，，，分别为边，中点，连接，相交于点，则面积为 ． 10．如图，在矩形与矩形中，，，，连接，，则 ． 11．如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 12．（1）如图，在中，，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边在上，另两个顶点E、H分别在边上．则正方形的边长为 ． （2）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A． B． C． D．2 13．如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，求矩形的面积． 二、相似三角形有关的几何计算 例1．把和拼成如图所示的图案，其中点B，C，D在同一直线上，F是的中点．已知，则的长为 ． 例2．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为 ． 例3．如图，在正方形中有一个小正方形，其中点，分别在边，上，点在线段上．若正方形的面积为，，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 例4．如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．如图，将矩形沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上，若，，则与的面积比为 ． 2．如图，为等边三角形，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ．    3．已知三角形纸片（）中，，，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点落在直线上，记为点，折痕为．若以点、、为顶点的三角形与相似，则的长度为 ．    4．如图，在正方形中，，连接，，点是的中点，连接、，点是上一点，且，过点作于点，连接，则的长为 ． 5．如图，中，，点D，E，F为各边的中点，交于点O，且，则 cm．    6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、点E分别在AB、BC边上，若∠BED+∠AED＝45°，过点D作DF⊥BC，垂足为F，若BC＝3，则EF＝ ． 7．如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 8．如图，已知正方形，，在上，，连接交于，图中阴影部分面积是 ． 9．如图，在中，对角线，交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，则的长为 ． 10．如图，在中，， 垂足为平分，交于点，交于点．若，则的长为（  ） A． B． C． D． 11．如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则DE的长度为（    ） A． B． C．3 D． 12．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE=2BE，则的值为 ． 三、相似大题 例1．已知：如图，梯形，，在下底上取，连接、并延长交于点，与交于点，求证：． 例2．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的周长为，求的周长． 例3．如图，在中，、分别在、上，于点，于点，．    (1)求证：． (2)若，，求的值． 例4．（一线三等角）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使． (1)求证： (2)当点时，求的值； (3)当时，求BP的值． 例5．（偏难：第二问需重新证明相似）如图，四边形是平行四边形，为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，． (1)求证：； (2)如果，，则______度． 【实战演练】 1．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB=3，EC=，求DC的长． 2．如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 3．如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 4．如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 5．如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，． (1)求证：； (2)如果 ，则=________度． 6．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处(不与，重合)，折痕为，若，． (1)证明：； (2)求的周长及的长； 7．如图，在矩形中，，E是上的点，且，连接并延长，交于点F，，分别交于点M，N． (1)求的长； (2)求的长． 8．如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； (3)连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 四、黄金分割 例1．如图：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台的长为12米，那么舞台的长为 ．（保留根号） 例2．（两个答案，需分类讨论）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走 米才最理想． 例3．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【实战演练】 1．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为，则主持人站在离点 处最自然得体．（结果精确到） 3．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 4．如图，已知点C是线段的黄金分割点，且．若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 2025秋季初三数学同步讲义08-图形的相似（二） 【基础巩固】 1、相似三角形的判定 2、相似三角形的性质 3、黄金分割的计算 【精准突破】 一、相似三角形的判定与性质 例1．（网格三角形）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的三边对应成比例成为解题的关键． 先求出题干三角形的三边长的比，然后求得各选项三边长的比并进行比较即可解答． 【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为； A．三角形三边为与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误； B．三角形三边与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确； C．三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误； D.三角形三边与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误． 故选：B． 例2．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 例3．（1）如图，在中，点D在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等，和两组对应边对应成比例，夹角相等，进行判断即可． 【详解】解：在和中，， 要使，只需，，或或即可； 当时， ∵， ∴，能使； 综上：只有选项A不能证明； 故选A． （2）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 例4．（三垂直模型）如图，四边形ABCD是矩形，，，，，，那么EF的长为 cm． 【答案】 【分析】根据矩形的性质，推到得，根据相似三角形的性质，通过证明，计算得，再结合勾股定理的性质计算得，从而完成求解． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形、相似三角形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 例5．（面积比=相似比的平方）如图，在平行四边形中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，要求与的面积之比，只要证明即可，然后根据面积之比等于相似比的平方即可求出答案． 【详解】解:在平行四边形中，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 例6．（对应边的高线、中线、对应角角平分线之比=相似比）如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．可设正方形边长为，由可得，再根据对应高的比等于边长的比列出比列关系即可． 【详解】如图，设与交于点 设正方形边长为 则 四边形是正方形 ， ． 故答案为：． 【实战演练】 1．（1）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． （2）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（    ）    A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．设小长方形的长为，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断． 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍， 设小长方形的宽为a，则长为， ∴图①中的三角形三边长分别为、； 图②中的三角形三边长分别为，； 图③中的三角形三边长分别为，； 图④中的三角形三边长分别为、， ∴①和②图中三角形不相似； ∵ ∴②和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和④图中三角形相似． 故选：B 2．（1）如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：A：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； B：∵，对应边， 即：，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故该选项符合题意； C：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； D：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意． 故选：B． （2）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断A不符合题意； 根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意； 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断C不符合题意； 由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、且，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，阴影三角形已知两边所夹的角是，原三角形已知两边所夹的角是 ， ，故两三角形不相似，故本选项符合题意； 故答案为D． 5．已知中，，过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法即可一一判断； 【详解】解：A、由作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项不符合题意； B、由作图可知：，，，故，故本选项不符合题意； C、无法判断，故本选项符合题意； D、由作图可知：，，，故，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．依据下列条件不能判断和的相似是（   ） A．，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项分析即可． 【详解】选项A：，， ， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项B：，，，， ． 又， ，故此选项不符合题意； 选项C：，，，， ． 又，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； 选项D：，，，，，， ， ，故此选项不符合题意． 故选C． 7．（1）如图，能使的条件是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，与有公共角，根据有夹这个角的两边对应成比例，三角形相似，逐项判断即可的解． 【详解】解：， A、当时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； B、当，即时，是两边的夹角，可以判断三角形相似，符合题意； C、时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； D、当，即，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意； 故选：B． （2）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加 后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加 后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加 后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加 ，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． （3）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． （4）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（   ） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法“两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两组对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；”求解即可． 【详解】解：在和中，， ①， ∴与一定相似，故①正确； ②， ∴与一定相似，故②正确； ③， ∴与不相似，故③错误； ④， ∴与一定相似，故④正确； ⑤， 即， ∴与不相似，故⑤错误； 综上所述，能判定相似的有①②④， 故选：A ． 8．如图，，则下列各式不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定定理有：三边对应成比例的两个三角形相似；两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解决本题的关键是根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A选项：， ， ， 又， 根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，可得：， 故A选项不符合题意； B选项：是中边和边与中边与边对应成比例，但是无法说明它们的夹角与相等， 无法说明， 故B选项符合题意； C选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故C选项不符合题意； D选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故D选项不符合题意． 故选：B． 9．如图，在正方形中，，，分别为边，中点，连接，相交于点，则面积为 ． 【答案】/0.8 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，分别为边，中点， ，， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ∽， ， ， 面积， 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键是熟练掌握相关的性质定理． 10．如图，在矩形与矩形中，，，，连接，，则 ． 【答案】 【分析】先证明，根据相似三角形的性质得出，则有，最后由勾股定理即可求解． 此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】如图，连接，交于点，连接，， ∵四边形与是矩形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ，， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． 设，根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式推出，，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，即可求解． 【详解】解：设， 在平行四边形中，点为上一点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 12．（1）如图，在中，，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边在上，另两个顶点E、H分别在边上．则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】作于D，交于O，由勾股定理求出，再由三角形面积即可得出答案；设正方形边长为，则，证出，得出比例式，进而得出答案． 【详解】解：作于D，交于O，如图所示： ∵在中，， ∴， ∵， ∴； 设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∴，即， 解得：， 即正方形的边长为． 故答案为： ． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． （2）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（　　）米． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答． 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为M，交于点N， 则， 设米，由得，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：B． 13．如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，求矩形的面积． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明得出，通过证明得出，根据等式的性质可得，代入数值求解即可． 【详解】解：矩形内接于， ， ，， ， ， 同理 ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即矩形的面积为． 二、相似三角形有关的几何计算 例1．把和拼成如图所示的图案，其中点B，C，D在同一直线上，F是的中点．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理得，，再证明，得，进而证明，然后由勾股定理求出，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】解：，，，，， ，，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 故答案为：． 例2．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 例3．如图，在正方形中有一个小正方形，其中点，分别在边，上，点在线段上．若正方形的面积为，，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理等知识，由正形的性质和面积得，，再由小正形中的，再由同角的余角相等得，证明， 其性质得，求得，在中，由勾股定理得，即求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵ ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选：． 例4．如图，D是等边三角形边上的点，，，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为，且点E、点F分别在边和上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【实战演练】 1．如图，将矩形沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上，若，，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】利用翻折变换的性质以及勾股定理得出的长，进而得出，可得出相似比即可得出答案． 【详解】解：∵将矩形纸片沿折叠，点B的对应点恰好落在的中点上 ∴， ∴在中，设，则， ， ∴， 解得： ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了翻折边换的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形的性质得出相似比是解题关键． 2．如图，为等边三角形，点D、E分别在边、上，，如果，，那么 ．    【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质等，由等边三角形的性质可证，从而可证，从而可得，再由求出，即可求解． 【详解】解： 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故答案：． 3．已知三角形纸片（）中，，，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点落在直线上，记为点，折痕为．若以点、、为顶点的三角形与相似，则的长度为 ．    【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，首先由折叠的性质得到，再由相似三角形的判定（对应边成比例的三角形相似），分两种情况讨论，可得的长，运用分类思想讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，        若，         则，此时，         设，则，         ∴，         解得：；         若，         则，此时，          设，则，         ∴，         解得：；         综上所述，的长为或，        故答案为：或． 4．如图，在正方形中，，连接，，点是的中点，连接、，点是上一点，且，过点作于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．得到四边形GHCD为矩形，利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质求得FH的长，利用平行线分线段成比例定理求得BN的长，继而求得NH的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且AE=DE=1， ∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC， ∵AE=DE=1， ∴AB=BC=CD=DA=2， 过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H． ∵AD∥BC，FG⊥AD， ∴GH⊥BC， ∴四边形GHCD为矩形， ∴GH=CD，GD=HC， ∵FG∥CD，点F是CE的中点， ∴EG=DG=DE==HC， GF=CD=1=FH， ∴BH=BC-HC=2-， ∵MF=2BM， ∴， ∵MN⊥BC，FH⊥AD， ∴MN∥FH， ∴， ∴BN=BH=， ∴NH=BH-BN=1， ∴NF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5．如图，中，，点D，E，F为各边的中点，交于点O，且，则 cm．    【答案】6 【分析】过点F作交于H，利用平行线分线段成比例定理求出的长，进而得出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，再运用三角形中位线定理即可得出的长. 【详解】    解：过点F作交于H， 为的中点， , 为的中点， , , ， ， ， 中，， 点D，E，分别、的中点， 是的中位线， . 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质及平行线分线段成比例定理，熟练使用这些知识是正确解题的关键. 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、点E分别在AB、BC边上，若∠BED+∠AED＝45°，过点D作DF⊥BC，垂足为F，若BC＝3，则EF＝ ． 【答案】 【分析】如图中，作EH⊥AB于H，DG⊥AB交BC于点G．只要证明AE=DE，BF=FG，GE=EC即可解决问题． 【详解】解：如图中，作EH⊥AB于H，DG⊥AB交BC于点G． ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠C=45°， ∵EH⊥AB， ∴∠EHB=90°， ∴∠BEH=45°， ∴∠BED+∠DEH=45°， ∵2∠BED+∠AED=90°， ∴∠BED+∠AEH=45°， ∴∠DEH=∠AEH， ∵∠EDH+∠DEH=90°，∠EAH+∠HEA=90°， ∴∠EDH=∠EAH， ∴ED=EA． ∵∠B=45°，∠BDG=90°， ∴∠B=∠BGD=45°， ∴DB=DG， ∵DF⊥BG， ∴BF=FG， ∵ED=EA，EH⊥AD， ∴DH=HA， ∵DG∥EH∥AC， ∴EG=EC， ∴EF=FG+GE=BG+CG=BC=． 答案为：． 7．如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 8．如图，已知正方形，，在上，，连接交于，图中阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，过作于，交于，则，证明，则，即，，由，可求，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 如图，过作于，交于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，对角线，交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理可得，，作交于，则，，得出，，结合，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图，作交于， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．如图，在中，， 垂足为平分，交于点，交于点．若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【详解】过点F作于点G， ， ， 平分 平分， ， ∴，即CE的长为3． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是得出． 11．如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则DE的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE＝5，BC＝AD＝8，证得Rt△EGF∽Rt△EAG，求AE的长，再利用勾股定理得到DE的长． 【详解】∵在矩形ABCD中，GC＝4，CE＝3，∠C＝90°， ∴GE＝＝＝5， 根据折叠的性质：BG＝GF，GF＝GC＝4， CE＝EF＝3，∠AGB＝∠AGF， ∠EGC＝∠EGF，∠GFE＝∠C＝90°， ∠B＝∠AFG＝90°， ∴BG＝GF＝GC＝4，∠AFG＋∠EFG＝180°， ∴BC＝AD＝8，点A，点F，点E三点共线， ∵∠AGB＋∠AGF＋∠EGC＋∠EGF＝180°， ∴∠AGE＝90°， ∴Rt△EGF∽Rt△EAG， ∴， 即， ∴AE＝， ∴DE＝＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了图形折叠的性质、矩形的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理等知识，本题中千万不要忽略了A、F、E三点共线的证明． 12．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE=2BE，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图，设AE与DF交于点N，BH与CF交于点P，CG与DF交于点Q，根据题意可知，，根据得，根据正方形的性质可证明是等腰三角形，可得，根据三角形中位线的性质可得，，利用ASA可证明，可得，即可得出，，利用勾股定理可用BE表示出CH的长，即可表示出CG的长，进而可得出结果． 【详解】 如图，设AE与DF交于点N，BH与CF交于点P，CG与DF交于点Q， ∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴PH为的中位线， ∴，， ∵四边形EPFN是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质以及判定定理是解题的关键． 三、相似大题 例1．已知：如图，梯形，，在下底上取，连接、并延长交于点，与交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】通过证明，，进而得出，，结合，即可得出，从而证明． 【详解】证明：∵， ∴，， ， ∴． 同理，∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 例2．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，即可得出； （2）证明，得，从而可得结论． 【详解】（1）解： ， ， 即， 又， （2）由（1）得：， ， 又， ， 又，， ， 的周长为， 的周长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质． 例3．如图，在中，、分别在、上，于点，于点，．    (1)求证：． (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明、是解题关键． （1）首先证明，结合即可证明结论； （2）由，推出，可得，再证明，可得，由此即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知， 又∵， ∴， ∴． 例4．（一线三等角）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使． (1)求证： (2)当点时，求的值； (3)当时，求BP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据等边对等角证明，再根据三角形外角的性质证明即可证明； （2）先求出的长，然后利用相似三角形的性质求解即可； （3）如图所示，过点A作于D，先利用三线合一定理求出，由勾股定理得：，再根据相似三角形的性质得到，证明，求出，由勾股定理得：，则； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：如图所示，过点A作于D， ∵在中，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键 例5．（偏难：第二问需重新证明相似）如图，四边形是平行四边形，为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，． (1)求证：； (2)如果，，则______度． 【答案】(1)见详解 (2)70 【分析】（1）利用平行四边形性质，得到．结合已知找到．即可证明．从而得到结论． （2）先证明．利用对应边成比例，结合已知，得，由三角形的外角定理得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴， ， ； （2）解：由（1）知， ， ∴， ， ， ． ． ， ， ， 故答案为：70． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质等知识，关键在于熟悉各个知识点在本题中运用． 【实战演练】 1．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB=3，EC=，求DC的长． 【答案】（1）见解析；（2）DC=1或DC=2． 【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE； （2）由△ABD∽△DCE，得到，然后代入数值求得结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=AC， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠CDE ∴△ABD∽△DCE； （2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE， ∴， 设CD=x，则BD=3﹣x， ∴= ∴x=1或x=2， ∴DC=1或DC=2． 【点睛】考点：相似三角形的判定与性质． 2．如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． (1)一线三等角模型，通过外角的性质得到，推出，即可得证； (2)直接根据第一问的相似三角形得到，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， （2）解：， 由(1)知，， 即， 或4， 答：或4． 3．如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)证明见详解； (2)； 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据，即可得到，结合相似三角形的判定即可得到证明； （2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 4．如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)15 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键． （1）利用“一线三直角”即可证明； （2）由，求出和的长，利用求出的长度，再由求出的长度，即可求出的长． 【详解】（1）解： 四边形为正方形， ， ， ， ， ∴； （2）解：四边形为正方形， ，， ， ， 设， ∵， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，． (1)求证：； (2)如果 ，则=________度． 【答案】(1)见解析； (2)70 【分析】（1）先证明，再证明即可； （2）作交延长线于点G，得平行四边形，利用等腰三角形转化角即可完成证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：如图：作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了相似的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，其中添加辅助线是解决问题的关键． 6．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处(不与，重合)，折痕为，若，． (1)证明：； (2)求的周长及的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)的周长为， 【分析】（1）由菱形的性质推出是等边三角形，得到，由折叠的性质得到：，由三角形外角的性质推出，即可证明； （2）求出，由等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到：，，即可求出的周长，的周长，由，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， ， ， ， ； （2）解：，， ， 是等边三角形， ， 由折叠的性质得到：，， 的周长，的周长， ， ， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是证明，进而根据相似三角形的求解． 7．如图，在矩形中，，E是上的点，且，连接并延长，交于点F，，分别交于点M，N． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据矩形的性质得到，证明，由，即可解答， （2）证明，由相似三角形的性质结合（1）中的长即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 8．如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； (3)连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证； （3）由直角三角形的性质可得，由（1）可得：四边形是菱形，得出，，进而得出，由相似三角形的性质可得，推出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； （3）解：∵在中，，是边上的中线， ∴， 由（1）可得：四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 四、黄金分割 例1．如图：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台的长为12米，那么舞台的长为 ．（保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义．根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可． 【详解】解：依题意，， 即， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 例2．（两个答案，需分类讨论）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走 米才最理想． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据题意画出图形，再根据黄金比列出比例式即可求解，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设一个主持人现在站在处，则它应至少再走米才最理想，则， 若是与的比例中项， 则，即， 解得； 若是与的比例中项， 则，即， 解得：； ∵， ∴他应至少再走米才最理想， 故答案为：． 例3．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【实战演练】 1．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 2．节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为，则主持人站在离点 处最自然得体．（结果精确到） 【答案】或 【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置分两种情况讨论：①黄金分割点离近；②黄金分割点离近，由黄金分割比列式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，分两种情况，作图求解： 当①黄金分割点离近，如图所示： ， 由黄金分割比可知， 设，则，代入得到，解得， ，（舍弃）； ②黄金分割点离近，如图所示： ， 由黄金分割比可知， 设，则，代入得到，解得， ，（舍弃）； 综上所述，主持人站在离点或处最自然得体， 故答案为：或． 【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键． 3．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 4．如图，已知点C是线段的黄金分割点，且．若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义得到，再利用正方形和矩形的面积公式有，即可得到． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $