第四章 图形的相似（一）讲义 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2025秋季初三数学同步讲义07-图形的相似（一） 【基础巩固】 1、线段的比、比例线段、比例的性质。 2、平行线分线段成比例。 3、多边形的相似。 【精准突破】 一、比例线段 例1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知是成比例线段，且，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为 ． 二、比例性质 例1．已知实数x，y，z满足，试求的值． 例2．若，，则 ． 【实战演练】 1. 已知，且，则 ． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2. 若，，若，则 ． 三、平行线分线段成比例 例1．（A字）（2021秋•李沧区校级期中）（1）如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． （2）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．（8字）（1）如图，已知，交于点H，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． （2）如图，，已知，，，则的长为 cm． 例3．（需作辅助线）（1）如图，在中，E在边上，是的中点，连接并延长交于D，则 ． （2）如图，在中，D为边上一点，E为线段上一点，延长交于点F．若，则 ．    【实战演练】 1．如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，直线与直线分别交于点，其中，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，，直线、与、、分别相交于点、、和、、．若，则等于 4．如图，已知直线，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，则的长为（    ） A．9 B． C．15 D．21 6．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为 ． 10．如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 11．如图，在中，，点D，E分别在边上，且，连接，相交于点O，若的面积为4，则面积为 ． 12．如图，在直角 中，，， ， 且点 ， 分别在 ， 上，连接 和 交于点 ．若 ，，则 的长为 ． 13．如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ． 14．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 四、相似多边形 例1．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）． A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 例2．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有　　 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 例3．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 例4．如图，四边形四边形．则的度数为 ． 【实战演练】 1．在如图所示的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 2．一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 3．如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 5．如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 6．如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 2025秋季初三数学同步讲义07-图形的相似（一） 【基础巩固】 1、线段的比、比例线段、比例的性质。 2、平行线分线段成比例。 3、多边形的相似。 【精准突破】 一、比例线段 例1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断是解题的关键． 【详解】解：A、， 不成比例，故不符合题意； B、， 不成比例，故不符合题意; C、， 不成比例，故不符合题意； D、， 成比例，故符合题意； 故选D． 例2．已知是成比例线段，且，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例线段，利用比例线段的定理得到3：2=6：d，然后利用比例的性质求d即可． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴，即， 解得：， 故选：C． 【实战演练】 1．四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．由四条线段、、、成比例，根据比例线段的定义，即分类讨论，即可求得的值． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 二、比例性质 例1．已知实数x，y，z满足，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∴ ． 例2．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由比例式可得，，，代入代数式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 【实战演练】 3. 已知，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由题意得，，，则，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：8． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，设比值为是解题关键． 设 ，用表示出 ，代入求值即可． 【详解】解：设 ， ， 故选：B ． 4. 若，，若，则 ． 三、平行线分线段成比例 例1．（A字）（2021秋•李沧区校级期中）（1）如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解： ，， ，． ． 故选D． （2）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例成为解题的关键．根据平行线分线段成比例，由得到，然后根据比例性质求即可解答． 【详解】解：∵， ，即， 解得：． 故选：C． 例2．（8字）（1）如图，已知，交于点H，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例的性质，根据相似三角形的性质逐一分析四个结论的正误是解题的关键． 【详解】解：A、因为，则，所以，故该结论是正确的，不符合题意； B、因为，所以，故该结论是正确的，不符合题意； C、因为，则 ，所以，故该结论是不正确的，符合题意； D、因为，所以，故该结论是正确的，不符合题意； 故选：C （2）如图，，已知，，，则的长为 cm． 【答案】9 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据“两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例”，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：9． 例3．（需作辅助线）（1）如图，在中，E在边上，是的中点，连接并延长交于D，则 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了相似性质，解题的关键是列出比例式； 过点作，交于点，由，利用相似性质，可得出 ，结合，可得出，再由，利用相似性质解答即可； 【详解】过点作，交于点，如图所示． ，O是中点， 故， 故， 即． 故答案为：． （2）如图，在中，D为边上一点，E为线段上一点，延长交于点F．若，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握作出辅助线是解题的关键．过点C作交的延长线于点G，根据平行线分线段成比例得到，根据得出，等量代换即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G，    则 ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 【实战演练】 1．如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据得出，，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，，故B错误，不符合题意； ∴，，故A、D错误，不符合题意；C正确，符合题意； 故选：C． 2．如图，已知直线，直线与直线分别交于点，其中，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， 即 解得： 故选：B 3．如图，，直线、与、、分别相交于点、、和、、．若，则等于 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分段成比例定理：三条平行线 截两条直线，所得的对应线段成比例，代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设DE=2x， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，已知直线，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可 【详解】、解：∵， ∴，即， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得到是解题的关键． 5．如图，已知，，，则的长为（    ） A．9 B． C．15 D．21 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理中的对应线段是解答的关键． 根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：B． 6．如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 7．如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．先根据平行四边形性质得到，，再利用平行线分线段成比例定理得出，设，则，求出x的值，最后通过角平分线的定义及平行线的性质证明． 【详解】解：在中，，，， ， 设，则， ， ， 解得， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选C． 8．如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线的性质，取的中点F，连接，则是中位线，根据中位线的性质得，再根据平行线的性质得，则，，，进而可得答案． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵是中位线， ∴、分别是、的中点， ∴是中位线， ∴，即， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 9．如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 故答案为：． 10．如图，等腰三角形中，，点在边上的高上，且，的延长线交于，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查构造三角形中位线，利用平行线分线段成比例，导出边之比，过点作的平行线交于点，可推导出边，和之比，然后利用可以求． 【详解】取中点F，连接； ∵，为边上的高； ∴为中点； ∵为中点； ∴，则； ∴； ∴； ∴； ∴； 故答案为：． 11．如图，在中，，点D，E分别在边上，且，连接，相交于点O，若的面积为4，则面积为 ． 【答案】/ 【分析】过点D作，根据平行线分线段成比例定理可得，根据已知，得，所以得，，即． 【详解】解：如图，过点D作，交于点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 12．如图，在直角 中，，， ， 且点 ， 分别在 ， 上，连接 和 交于点 ．若 ，，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、勾股定理等知识，由题目的比例关系可作对应的平行线，根据平行线分线段成比例和勾股定理可列等式，从而得出答案，准确作出平行线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作 设，则 ，， 故答案为：． 13．如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．作交于，证出，根据三角形面积关系得，根据平行线分线段成比例定理得到，则，进而得到答案． 【详解】解：作交于， 是的中线， ， ， ， 的面积与的面积之比是， ， ， ， ， ； 故答案为：12． 14．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 四、相似多边形 例1．如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形． 故选：D． 例2．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有　　 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 例3．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的性质以及矩形的性质，结合比例关系建立方程求解是解决本题的关键． 可得到小矩形的短边长，根据每一个小矩形均与原矩形相似，可建立方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵大矩形的长边为25， 则切割后的小矩形的短边长为5， 又∵大矩形的短边与小矩形的长边都为x， ∴由相似可得， 即，且， 解得 故选：B ． 例4．如图，四边形四边形．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为：． 【实战演练】 1．在如图所示的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：甲、乙、丙三个长方形的角度都相等，都是， 由甲、乙边长可得：， 故甲与乙不相似； ， 由甲、丙边长可得：， 故甲与丙相似； 由乙、丙边长可得：， 故乙与丙不相似． 故选：B． 2．一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． 3．如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．先求出矩形的面积，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， 故答案为： 4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断． 【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，， ，， ， ∴甲说法正确； 乙：∵根据题意得：，，则，， ，， ， ∴新矩形与原矩形不相似． ∴乙说法正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似形的判定方法是解决本题的关键． 5．如图，四边形四边形． (1)_________度； (2)求边x，y的长． 【答案】(1)70 (2)， 【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题． （1）由相似多边形对应角相等，可得，再根据四边形内角和为即可求解； （2）根据相似多边形对应边长成比例，可得，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：四边形四边形，， ， 四边形内角和为，，， ， 故答案为：70； （2）解：四边形四边形， ， 即， 解得，． 6．如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形相似性质，规律探索，找到规律是解决问题的关键． （1）根据勾股定理可知，所求为以为边长的正方形面积，因为正方形皆相似，利用等腰面积为求出以为边长的正方形面积，再根据已知得到，即可求解． （2）利用（1）的方法求解即可； （3）利用（1）的方法找到规律求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰， ， ∴以为边长的正方形面积为1， ∵， ， ∵正方形皆相似， ∴， ∴以为边长的正方形面积为4， 由勾股定理得； 故答案为：4； （2）同（1）得： ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ； 故答案为：16； （3）同上所得：， ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $