题型练习——二次不等式恒成立与有解问题-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

题型练习——二次不等式恒成立与有解问题 一、二次不等式的恒成立与有解问题（实数范围内） 1．命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原命题的否定命题为真命题可将问题转化为二次函数恒成立为题，利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即对恒成立， 因为，所以. 故选：A 2．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题意可知没有实根或有重根，根据，求解即可. 【详解】由题意得，“存在，使”是假命题， 没有实根或有重根， ，解得. 故选：A. 3．命题“”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】①当时，恒成立，满足条件， ②当时，，解得， 综上，． 故答案为： 4．已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 5．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 二、二次不等式的恒成立与有解问题（某区间上） （参变分离：二次函数最值） 6．若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【详解】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 7．已知函数． (1)解关于x的不等式：； (2)当时，恒成立，试确定实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由原不等式可得 ， 对分三种情况讨论 ，分别利用二次不等式的解法即可得解； （2） 恒成立等价于 在区间 上恒成立，令 ，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1） ，即为 ， 即可得 ， 令可得或， 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时， 不等式的解集为 ； 当时， 不等式的解集为或； （2）因为当 时， 恒成立， 即当 时， 恒成立， 即当 时， 恒成立， 设函数 ， 则 在区间 上单调递减， 所以 在区间 上的最小值为 ， 所以 ， 故实数 的取值范围为 （参变分离：基本不等式求最值） 8．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 9．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 10．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 11．（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】（1）利用基本不等式可求解，进而利用分离参数法，结合二次函数的性质求解，或者构造二次函数，利用二次函数的性质求解， （2）将其看作是关于的一次函数，即可列不等式，由一元二次不等式化简求解. 【详解】（1）当时，.当时，（当且仅当时取等号），则，即. 由题意知在时恒成立. 方法一  分离参数得在时恒成立， 故𝑏 需小于等于函数在区间上的下确界. ，故当时，， 所以. 方法二  在时恒成立（*）. 令，则问题（*）等价于在上恒成立，函数的图象的对称轴为直线，且开口向上， 所以在上，，所以，即. （2）不等式对满足的所有都成立，则对任意的，恒成立，令，则即解得. 故答案为：； 12．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分离参数后，结合函数单调性得参数范围． 【详解】，因此由得， 由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增， 时，，时，，因此时，的最大值是， 所以，即的范围是． 故答案为： 13．已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 14．已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由题意上不等式恒成立，即，即可求参数范围； （2）若为真命题，有在上能成立，即求出参数范围，再由和中有且只有一个为真命题确定参数范围. 【详解】（1）由题意，上不等式恒成立，即， 由一次函数的区间单调性知，，故， 所以，可得. （2）若为真命题，则在上能成立，即， 由二次函数的性质知，，故， 要使和中有且只有一个为真命题，结合（1）知：或. 15．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由参变量分离法可得出恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】当时，， 由题意知，对任意，， 即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 即实数的取值范围为． 故答案为：． 16．已知函数，则下列结论： ①恒成立，则实数的取值范围是 ②，则实数的取值范围是 ③有解，则实数的取值范围是 其中，所有正确结论的编号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】求出、的值域，再根据恒成立问题或能成立问题逐一判断可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 对于①，若恒成立，则， 所以实数的取值范围是，故①错误； 对于②，若，则， 所以实数的取值范围是，故②正确； 对于③，若有解，则实数的取值范围是，故③正确； 故选：C. 三、双变量的恒成立与有解问题 17．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 18．函数，若，使得，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据题意确定在上的值域要包含在上的值域，然后结合分类讨论通过，，三方面分类讨论求解a的取值范围. 【详解】若，使得， 即在上的值域要包含在上的值域， 又在上. ①当时，单调递减，此时，解得； ②当时，，显然不满足题设； ③当时，单调递增，此时，解得. 综上：a的取值范围为. 故答案为： 19．已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由题设恒成立，结合求参数范围； （3）问题化为在，，有成立，求出，讨论对称轴与区间位置关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则； （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $题型练习一一二次不等式恒成立与有解问题 一、二次不等式的恒成立与有解问题（实数范围内） 1.命题“门x∈R,x2-2x-a≤0”是假命题，则实数a的取值范围为() A.a<-1B.a≤-1 C.a<0 D.a≤0 2.若命题臼x∈R,使得x2+(a-1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围是() A.{x-1≤x≤3} B.{x-1<x<3 C.{xk≤-1或x≥3 D.{xk<-1或x>3} 3.命题Vx∈Rax2一ax+1>0”为真命题，则实数a的取值范围是_ 4.已知命题P:"Vx∈R(a+1)x2-2(a+1x+3>0"为真命题，则实数a的取值范围是() A.-1≤a≤2B.a21 C.a≤1 D.-1≤a<2 第1页 5.若不等式mx2+mx一4<2x2+2x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是() A.(-2,2)B.(-14,2) C.(-∞，-2)U[2,+∞)D.(-14,2] 二、二次不等式的恒成立与有解问题（某区间上) (参变分离：二次函数最值) 6.若不等式一x2+2x+m≤0对任意x∈[0,2都成立，则实数m的取值范围为 7.已知函数f(x)=2x2-4x+3, (1)解关于x的不等式：fx)+2bx-3>0 (2)当x∈[-1,1]时，f(x)>2x+2m+1恒成立，试确定实数m的取值范围. 第2页 (参变分离：基本不等式、双勾函数求最值) 8.若x∈[吉，2]，使得2x2-x+1<0成立”是真命题，则实数7的取值范围是一· 9.已知不等式3x2+(a-2)x+4≥0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，则实数a的最小值 为 10.若Vx∈[吉，2]，不等式x2-ax十1<0恒成立，则a的取值范围为 第3页 1.(1)设函数f(x)=器的最大值是a,若对于任意的x∈[0,2)，a>x2-x+b恒成立，则b的 取值范围是一； (2)若不等式2x-1>m(x2-1)对满足m≤2的所有m都成立，则x的取值范围是 12.若vte[克，3]，不等式t2-at十1≤0恒成立，则a的取值范围为一 第4页 13.已知m为实数，集合A={x0≤x≤4} (1)若命题3xEAx2-6x+m≤0”是假命题，求实数m的取值范围； (2)若Vx∈Ax2≥mx-8恒成立，求实数m的取值范围. 14.己知m∈R,命题p:Vx∈[0,3]，不等式4x-2≥m2-3m恒成立；命题q:3x∈[-2,2]， 使得m≤1-x2成立. (1)若p为真命题，求m的取值范围； (2)若p和q中有且只有一个为真命题，求m的取值范围. 第5页 15.若对任意x∈[0,3]，x2-ax-a十3>0恒成立，则实数a的取值范围为一 16.已知函数f(x)=-2x+1(xE[-2,2孔g(x)=x2-2x(xE[0,3,则下列结论： ①VxE[-2,2f(x)<a恒成立，则实数a的取值范围是(-oo,5) ②归xE[-2,2f(x)<a,则实数a的取值范围是(-3，+o∞) ③归x∈[0,3]gx)=a有解，则实数a的取值范围是[-1,3] 其中，所有正确结论的编号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 第6页 三、双变量的恒成立与有解问题 17.已知函数f(x)=x2+5x+8,g(x)=mx+3-5m,若对任意的x1∈[-4,2]，总存在 x2∈[2,6]，使f(x1)=g(x2)成立，则实数m的取值范围是 18.函数fx)=x2-2xg(x)=ax-1,若vx1e[-1,2]3x2∈[-1,2]，使得f(x1)=g(82) ，则a的取值范围是_■ 第7页 19.已知函数f(x)=2x2-ax+10,g(x)=x2-x+},(aeR) (1)当a=1时，求f(2)的值； (2)若对任意x∈R,都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围； (3)若Vx1∈(0,2)，3x2E[0,1],使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围. 第8页