13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

该初中数学导学案聚焦三角形的中线、角平分线、高线，引导学生理解概念、探究三线共点性质，提升几何直观能力。复习导入通过表格回顾线段中点、角平分线、垂线定义，结合蛋糕分配视频问题，搭建旧知到新知的桥梁，帮助学生从生活情境抽象数学概念。 注重几何直观与动手实践，通过画不同三角形三线、折角、吊起重心实验，培养空间观念与创新意识。设置探究问题与分层练习，引导学生用数学思维推理三线性质，规范几何语言表达，提升推理能力与实践能力，适合自主探究与课堂互动。

第13章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 第2课时 三角形的中线、角平分线、高 【学习目标】 1. 理解三角形的中线、角平分线、高线等概念和区别. 2.了解三角形重心的概念,会画出任意三角形的中线、 角平分线、高线. 3. 探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点. 4. 进一步提升学生的几何直观感知能力. 【学习重点】理解三角形的中线、角平分线、高线的概念. 【学习难点】三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点. 【复习导入】 定义 图示 线段中点 角平分线 垂线 观看课件视频,回答它所提出的问题: 如何用数学语言描述关于蛋糕的平均分配问题的解决办法“从蛋糕一边中间的地方切到对边的尖”? 【合作探究】 探究点一、三角形的中线 概念:如图,连接 的顶点 和它对边 的中点 ,所得线段 叫作 的边 上的中线. 几何语言: 是 的中线, . 反之 (或 ), 是 的中线. 画一画:如图,画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线,并观察它们中线的交点有什么规律? 三角形的重心：______________________________. 延伸思考:用硬纸板裁出一个三角形,画出这个三角形的三条中线,在它们的交点处钻一个小孔,通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起,从三角形硬纸板所处的状态来看,有什么现象?这种现象说明了什么? 动手做一做. 练一练 1. 如图, 是 的中线, 3. 若 的周长为 8 ,则 的周长为 ________ . 探究点二、三角形的角平分线 做一做 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来,将它的一个角对折,使其两边重合. 问题1: 如图, 是折痕,则和之间有什么数量关系? 平分 吗? 问题2:类比三角形中线,三角形的角平分线是什么？ 三角形的角平分线 概念:如图,画的的平分线 ,交所对的边于点, 所得线段 叫作的角平分线. 几何语言: 是的角平分线, . 反之 是 的角平分线. 画一画：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线,你又有什么发现? 三角形的内心：____________________________________. 练一练 2. 如图, 平分 , ,求 的度数. 探究点三、三角形的高 问题1:你还记得如何“过一点画已知直线的垂线”吗？请在下图中过点 画线段 所在直线 的垂线.这条垂线段是什么? 三角形的高 概念:如图,从 的顶点 向它所对的边 所在直线画垂线, 垂足为 ,所得线段 叫作 的边 上的高线.三角形的高线简称三角形的高. 几何语言: 是 的高, . 反之, , 是 的高. 一.锐角三角形的三条高 问题2: (1) 用同样方法, 你能画出的另两条边上的高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 锐角三角形的三条高交于同一点. (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 二.直角三角形的三条高 (1) 画出直角三角形的三条高; (2) 斜边 上的高是_____； 直角边 上的高是_____； 直角边 上的高是_____. 它们有怎样的位置关系? 三、钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗? (2) 边上的高是哪条线段？AB 边上的高是哪条线段？BC 边上的高是哪条线段？ (3) 钝角三角形的三条高相交吗? (4) 它们所在的直线交于一点吗? 这点位于何处? 例1 如图所示,在中, , 于点 ,且 ,若点 在边 上移动, 求的最小值. 思考1 如图,在中, 是的中线, 是的高. 试判断和的面积有什么关系,为什么? 思考2 通过思考1你能发现什么规律? 1. 学校有一块三角形的实验地,请思考如何用不同的方法将三角形面积四等分(方法不唯一). 归纳总结: 三角形的三条高的特性: 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点位置 当堂反馈 1. 如图,在 中, 是角平分线, 若 ,则 . 第1题图 第2题图 2. [作图易错]如图, 虚线部分是小刚作的辅助线,你认为线段 ( ) A. 是 边上的高 B. 是 边上的高 C. 是 边上的高 D. 不是 的高 3. 在中, 是边上的中线,若的周长为 41,那么的周长是( ) A. 39 B. 41 C. 43 D. 无法确定 4.[规范作答]如图,已知 . (1) 是的高, 则 _____ , ; (2) 是 的中线, 则 , (3) 是 的角平分线, 则 ______. 5. 如图,已知 是 的边 上的中线. (1)[作图通关] 作出 的边 上的高； ( 2 )若 的面积为10 ,则 的面积为________； ( 3 )若 的面积为6 ,且 边上的高为3 ,求 的长. 参考答案 复习导入 定义 图示 线段中点 把一条线段分成两条相等的线段的点 角的平分线 一条射线把一个角分成两个相等的 角, 这条射线叫作这个角的平分线 垂线 当两条直线相交所成的四个角中, 有一个角是直角时, 就说这两条直 线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线. 探究点一、三角形的中线 画一画: 三角形的重心: 三角形三条中线的交点. 延伸思考: 硬纸板保持平衡，重心就是保持物体平衡的点. 练一练 1. 分析: 是 的中线， 探究点二、三角形的角平分线 做一做 问题1: 平分 . 画一画 三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点. 练一练 2. 解: 平分 , . 又 , . . 探究点三、三角形的高 锐角三角形的三条高 (1) 用同样方法, 你能画出 的另两条边上的高吗? 如图所示. (2) 锐角三角形的三条高交于同一点. (3) 锐角三角形的三条高都在三角形的内部.直角三角形的三条高 (1) 画出直角三角形的三条高; (2) ； ； . 直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形的三条高 (1)你能画出钝角三角形的三条高吗? (2) (3) 钝角三角形的三条高不相交. (4) 钝角三角形的三条高所在直线交于一点, 并且这个点在三角形外部. 例 1 解: 根据垂线段最短,可知当 时, 有最小值. 此时由 的面积公式可知 代入数值,可解得 . 思考1 答:相等,因为两个三角形等底同高, 所以它们面积相等. 思考2 答: 三角形的中线能将三角形的面积平分. 1. 当堂反馈 1. 2. C 3. A 4. (1) , ;(2) , (3) . 5. 解:(1)如图, 即为所求. (2 ) 5； (3) 解: (3) 是 的边 上的中线, 的面积为 6, 的面积为12. .由题可知 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $