抛物线中的阿基米德三角形拓展专题讲义-2026届高三数学二轮复习

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher 更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher 阿基米德三角形【拓展】 【知识点1 阿基米德三角形】 1.阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 【题型1 弦长与弦所在方程问题】 【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示,抛物线,AB为过焦点F的弦,过A,B分别作抛物线的切线,两切线交于点M,设, ,,则下列结论正确的有（    ） A.若AB的斜率为1,则＝8 B. C. D.若AB的斜率为1,则 【题型2 定点问题】 【例2】过抛物线准线上任一点作抛物线的两条切线, 若切点分别为, 则直线恒过定点（ ） 【变式2-1】（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.(1)求E的方程； (2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【题型3 切线垂直问题】 【例3】（2024·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点必在直线上，且以为直径的圆过点 B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 D．点必在直线上，且以为直径的圆过点 【变式3-1】已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点,且.过两点分别作抛物线的切线,设其交点为,则的值为（ ） 大于 等于 小于 无法判断 【题型4 切线交点及其轨迹问题】 【例4】（多选）如图,为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点, ,以A,B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论,其中正确的为（    ）    A.若弦过焦点,则为直角三角形且 B.点P的坐标是 C.的边所在的直线方程为 D.的边上的中线与y轴平行（或重合） 【变式4-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，点是的中点. （1）求证：切线和互相垂直； （2）求证：直线与轴平行； 【题型5 面积问题】 【例5】（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上； ②； ③． 已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高三·云南昆明·阶段练习）过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·云南曲靖·一模）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，线段的中点的横坐标为． (1)求抛物线的方程； (2)设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，分别在点、处作抛物线的切线，两条切线交于点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线的方程；若不存在，请说明理由． 更多见今日头条号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学 更多见今日头条号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学 学科网（北京）股份有限公司 $更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher 更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher 阿基米德三角形【拓展】 【知识点1 阿基米德三角形】 1.阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. 2.过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: （1）点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 （2）两切线互相垂直,即; （3）; （4）点的坐标为. （5）的最小值为. 【题型1 弦长与弦所在方程问题】 【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上， 所以点，直线的斜率为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即,故选：C． 【变式1-1】如图所示,抛物线,AB为过焦点F的弦,过A,B分别作抛物线的切线,两切线交于点M,设, ,,则下列结论正确的有（    ） A.若AB的斜率为1,则＝8 B. C. D.若AB的斜率为1,则 【答案】ABCD 【题型2 定点问题】 【例2】过抛物线准线上任一点作抛物线的两条切线, 若切点分别为, 则直线恒过定点（ ） 【答案】A 【变式2-1】（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.(1)求E的方程； (2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） 由已知，，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点， 设的方程为，, 联立，得，则， 则， 所以， 解得， 故抛物线E的方程为：. （2）设直线的方程为，，， 联立，得， ，即， 所以，， 令，当时， 可化为，则， 则在处的切线的方程为：， 即， 同理可得切线的方程为：， 联立与的方程，解得， 所以，则，满足， 则直线的方程为， 所以直线过定点，该定点坐标为. 【题型3 切线垂直问题】 【例3】（2024·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点必在直线上，且以为直径的圆过点 B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 D．点必在直线上，且以为直径的圆过点 【答案】D 【变式3-1】已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点,且.过两点分别作抛物线的切线,设其交点为,则的值为（ ） 大于 等于 小于 无法判断 【答案】B 【题型4 切线交点及其轨迹问题】 【例4】（多选）如图,为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点, ,以A,B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论,其中正确的为（    ）    A.若弦过焦点,则为直角三角形且 B.点P的坐标是 C.的边所在的直线方程为 D.的边上的中线与y轴平行（或重合） 【答案】ACD 【变式4-1】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，点是的中点. （1）求证：切线和互相垂直； （2）求证：直线与轴平行； 【答案】解：（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在. 设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为， 联立方程，， 消去，得， 由，得， 记关于的一元二次方程的两根为， 则分别为切线的斜率，由根与系数的关系知， 所以切线和互相垂直. （2）设点，由，知，则， 所以过点的切线方程为， 将点代入，化简得， 同理可得， 所以是关于的方程的两个根， 由根与系数的关系知， 所以，即中点的横坐标为， 而点的横坐标也为，所以直线与轴平行. 【题型5 面积问题】 【例5】（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上； ②； ③． 已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点， 依题意，，设，， 由消去y并整理得，则，， ，解得，即， 当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：， 点P必在抛物线的准线上，点，， 又，于是得， 由对称性可知，当时，同理有， 所以的面积是. 故选：A. 【变式5-1】（23-24高三·云南昆明·阶段练习）过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】设，，由题意可得直线AB的斜率不为0, 因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程； 联立得， 所以， 由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为： ， 联立得，，即. 点到直线的距离， 当且仅当时取到最小值. 故选：C. 【变式5-2】（2024·云南曲靖·一模）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，线段的中点的横坐标为． (1)求抛物线的方程； (2)设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，分别在点、处作抛物线的切线，两条切线交于点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：设点、，因为直线的斜率为，则， 因为线段的中点的横坐标为，则， ，可得， 所以，抛物线的方程为. （2）解：设点、，易知点， 若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 由焦点弦长公式可得， 对函数求导得，则直线的方程为，即， 同理可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 则，， 所以，，即， 且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的面积存在最小值，且最小值为， 此时，直线的方程为. 更多见今日头条号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学 更多见今日头条号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学 学科网（北京）股份有限公司 $