第十九章 二次函数和反比例函数（复习课件）数学北京版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数和反比例函数的核心知识，涵盖定义、表达式、图像性质及应用，通过知识图谱将二次函数的三种表达式转化、图像与系数关系、实际最值问题和反比例函数的图像特征、k的几何意义等内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型分层-实际情境”复习策略，如二次函数从基础表达式判断到隧道、销售等实际问题建模，反比例函数结合k的几何意义设计面积计算等综合题，培养学生数学思维和模型意识。分层训练适配不同水平学生，教师可精准把握学情，提升复习效率。

单元复习课件 第十九章 二次函数和反比例函数 北京版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 5 题型剖析 4 6 课堂总结 针对训练 1.掌握二次函数的定义、三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及转化；​ 2.会画二次函数图像，理解图像的开口方向、顶点、对称轴、最值与系数​a，b，c的关系；​ 3.能运用二次函数解决实际最值问题（如利润、面积）及与方程、不等式的综合问题； 4.掌握反比例函数的定义及图像（双曲线）特征；​ 5.理解比例系数​k的几何意义；​ 6.能运用反比例函数解决简单实际问题（如行程、工程中的反比关系）. 1.顶点式、交点式的灵活运用（根据题目条件选合适表达式）；​​ 2.二次函数与几何图形（如三角形、四边形）结合的综合题； 3.反比例函数增减性的 “局限性”（需强调 “在每个象限内”）；​ 4.反比例函数与一次函数、几何图形结合的综合题（如求交点坐标、面积关系）。 1.图像性质与系数的关联（​a定开口，​−b/(2a)定对称轴，顶点定最值）；​ 2.二次函数与一元二次方程（图像与 x 轴交点对应方程的根）的联系。 3.反比例函数的图像性质（​k>0时双曲线在一、三象限，​y随​x增大而减小；​k<0时在二、四象限，​y随​x 增大而增大）；​ 4.比例系数​k的几何意义及应用（求面积、判断​k符号）. 单元学习目标 画框内容为易错点 单元知识图谱 画框内容为易错点 单元知识图谱 二次函数的定义：一般地，形如________________ (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的_____________、_____________和___________. 考点一 二次函数的基础 二次项系数 一次项系数 常数项 【易错点】当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数. 二次函数的常见表达式 解析式 使用条件 一般式 顶点式 交点式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式. 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 考点串讲 题型一 二次函数的基础 类型一 二次函数的基础 例1．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理（去括号、合并同类项）后，能写成 的形式，那么这个函数就是二次函数.否则，它就不是二次函数. 【详解】解：①是二次函数； ②不是二次函数； ③是二次函数； ④不是二次函数； ⑤不是二次函数； ⑥不是二次函数． 综上，二次函数有①③，共2个．故选B． 题型剖析 2．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 3．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 D 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为.故选：B. 【思路】先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 针对训练 题型一 二次函数的基础 类型二 根据二次函数的定义求参数 例2．已知是二次函数，求a． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，且， 解得． 解题方法：二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2. 1．已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， 解得且． 故答案为：且． [易错点]忽略二次项系数不能为0的限制条件. 题型剖析 题型一 二次函数的基础 类型三 待定系数法求二次函数解析式 例3．选择最优解法，设出下列二次函数的表达式： （1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为 ． （2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为 ． （3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为 ． 【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点， ∴可设抛物线的表达式为； 故答案为：； （2）∵抛物线的顶点坐标， ∴可设抛物线的表达式为； 故答案为：； （3）∵二次函数有最大值6， ∴可设抛物线的表达式为． 故答案为：． 题型剖析 1．已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式 ． 【详解】解：∵抛物线经过点，， 故可设该抛物线的解析式为：， ∵该抛物线又经过点，∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 整理，得：．故答案为：． 2．若抛物线与x轴交于点和点，且可由抛物线平移得到，则该抛物线的函数表达式为 ． 【详解】抛物线与轴交于点和点， 设抛物线表达式为， 由于抛物线可由平移得到，抛物线平移时二次项系数不变，的二次项系数是， ，该抛物线的函数表达式为． 针对训练 函数   a的符号 a＞0 a＜0 图像     开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时， 抛物线有最高点，当x=时， 考点二 二次函数的图像与性质 考点串讲 考点二 二次函数的图像与性质 抛物线 可以由抛物线 经过适当的平移得到，具体的平移方法如下图所示： 平移规律：上加下减，左加右减. 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值__________变化，变化的只是|_______的位置，且与_______________有关. ② 根据平移规律，左右平移是给______加减平移单位，上下平移是给________加减平移单位. 不发生 顶点 平移方向 x 常数项 考点串讲 题型二 二次函数的图像与性质 类型一 根据二次函数的解析式判断其性质 … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 例1．已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【详解】解：将点和和代入二次函数 求得二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型剖析 1．对于二次函数，下列结论中不正确的是（    ） A．其图象的对称轴是 B．其图象的顶点坐标是 C ．当时，y有最大值是 D．当时，y随x的增大而增大 2．已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．函数的最大值为 C．当时，随的增大而减小 D．若，则 C D 针对训练 题型二 二次函数的图像与性质 类型二 比较二次函数值大小 例2．已知抛物线上三点，，，则，，满足的大小关系式为 ．（用“”连接） 解题方法：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大;当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小. 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向上， ∴点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵抛物线上三点，，， 且 ∴， 1．二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．、的大小无法确定 B 题型剖析 题型二 二次函数的图像与性质 类型三 二次函数平移问题 例3．若抛物线平移得到，则必须（   ） A．向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度 B．向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度 【思路】本题考查二次函数的平移．熟记相关结论即可．左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减． 【详解】解：A：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意； B：平移后抛物线的解析式为：，即，符合题意； C：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意； D：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意； 故选：B． 题型剖析 1．在平面直角坐标系中，将抛物线先沿x轴向右平移3个单位，再沿y轴向上平移2个单位，得到抛物线，则抛物线的函数表达式为 ． 【详解】将抛物线变形，得， ∴由题意可知，将抛物线先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移2个单位后得到抛物线， 即， 抛物线的函数表达式为． 故答案为：． 针对训练 2．将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】解：抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的表达式为： ， ∵平移后的抛物线与抛物线重合，∴， 解得．故选：A． 针对训练 题型二 二次函数的图像与性质 类型四 函数图像综合问题 例4．如图所示，在同一坐标系中，直线和抛物线的图象可能是（   ） 【思路】根据图形确定出系数的正负情况是解题的关键． C 1．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A 题型剖析 题型二 二次函数的图像与性质 类型五 二次函数最值问题 类型一：自变量x取全体实数，y在顶点处取得最值，根据a的正负判断函数是最大值还是最小值. 类型二：自变量x的取值范围为给定范围，要分以下8种情况讨论： 题型剖析 题型二 二次函数的图像与性质 类型五 二次函数最值问题 例5．二次函数在范围内的最大值与最小值的差为 ． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对轴为直线，当时，有最小值0， 当时，， 当时，， 当时，最大值为36，最小值为0， 二次函数在范围内的最大值与最小值的差为：． 故答案为：36． 【思路】将函数化为顶点式，确定函数的对称轴，若对称轴在区间范围内，在对称轴上取得最值，若对称轴不在区间范围内，需分情况讨论. 题型剖析 1．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即，解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即，解得 综上，的值为或， 针对训练 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下   b b=0 对称轴是y轴，即=0   左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即   c c=0 图像过原点   c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交       与x轴有两个不同的交点   的正负决定抛物线与x轴交点个数   与x轴有唯一交点   与x轴没有交点 类型六 二次函数与各项系数间的关系 题型剖析 题型二 二次函数的图像与性质 类型六 二次函数与各项系数间的关系 例6．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，⑤时，随的增大而增大．其中正确的是 ． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，∴，∴，，∴， ∴①正确，③错误， ∵二次函数图象经过，对称轴为， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为，∴，②正确； ∵二次函数与x轴有两个交点，∴，④错误， 观察图象得，时，y随x的增大而增大，⑤正确． 综上①②⑤正确，故答案为：①②⑤． 题型剖析 1．如图，二次函数的图像与轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④(为任意实数)，其中正确的是 _______．(只填写序号) 【思路】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．由开口方向，对称轴位置以及与轴的交点得到的符号，即可判断①；根据抛物线的对称性得出时，，即可判断②；由对称轴为直线得到，然后由当时，即可判断③；时，函数有最大值为，即可得出为任意实数，即可判断④． ①③ 针对训练 题型三 二次函数的应用 考点串讲 题型三 二次函数的应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 考点串讲 类型一 图像法确定一元二次方程近似根 题型三 二次函数的应用 例1．下面表格是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个解的范围是 ． 在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间.当x由x1取到x2对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且符合题目近似值要求时，x1或x2可以看作方程的近似根. 1．抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）． 或1.7 题型剖析 类型二 抛物线与x轴交点问题 题型三 二次函数的应用 例2．若二次函数的图象与x轴有交点，a的值可以是 （写出一个即可）． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴，∴，∴， 故a的值可以是1 故答案：1（答案不唯一）． 题型剖析 1．若一元二次方程有两个不相等的实数解，则二次函数的图象和轴的交点有 个． 2．已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ． 2 且 针对训练 类型三 二次函数与实际问题（隧道问题） 例3 如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． (1)求该抛物线的解析式； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为， 则 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为； 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 题型剖析 类型三 二次函数与实际问题（隧道问题） 例3 如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米． (1)求该抛物线的解析式； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计） （2）解：根据题意，， 当时，， ∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米， ∴通过隧道的车辆的限制高度为米 题型剖析 类型四 二次函数与实际问题（拱桥问题） 例4 被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉． (1)假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式 题型剖析 类型四 二次函数与实际问题（拱桥问题）   (2)现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由． （2）解：此船能通过，理由： 船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米 则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：， 当时，代入， 解， ∴此船能通过桥洞． 题型剖析 类型五 二次函数与实际问题（销售问题） 题型三 二次函数的应用 例5 沈阳故宫周边某文创店销售特色书签，每盒成本为30元．经市场调研，当售价为40元1盒时，每月可销售200盒；售价每上涨1元，月销售量就减少5盒．设每盒书签的售价为元（），月利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)当售价为多少元时，月利润最大，最大月利润是多少； 利用二次函数解决实际生活中的利润问题，要认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面，此类问题一般是先运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品所获利润✖销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式，再求出这个函数的最大值即求得最大利润. （1）解：设每盒书签的售价为元（）， 则销售量为； 由题意得：； （2）解：由（1）整理得， ∵，∴当时，有最大值3125， ∴当销售单价定为55元时，所获利润最大．最大利润是3125元； 题型剖析 类型五 二次函数与实际问题（销售问题） 题型三 二次函数的应用 例5 沈阳故宫周边某文创店销售特色书签，每盒成本为30元．经市场调研，当售价为40元1盒时，每月可销售200盒；售价每上涨1元，月销售量就减少5盒．设每盒书签的售价为元（），月利润为元． (3)该文创店想使月利润不低于2280元请结合售价与销量的实际情况，求文创店确定售价的取值范围 ． （3）解：由题意得：， ∴， ∵，解得． 答：文创店确定售价的取值范围是． 题型剖析 类型六 二次函数与实际问题（投球问题） 题型三 二次函数的应用 例6．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示 (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； 【详解】（1）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，        设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得，解得，         ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，  ∴球不能射进球门； 题型剖析 类型六 二次函数与实际问题（投球问题） 题型三 二次函数的应用 例6．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示 (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 题型剖析 类型七 二次函数与实际问题（面积最值问题） 题型三 二次函数的应用 1. 如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ （1）解：根据题意得， 答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为； 题型剖析 类型七 二次函数与实际问题（面积最值问题） 题型三 二次函数的应用 1. 如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ （2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为， 围成的养鸡场面积为， 根据题意得，， 小明围成的养鸡场的最大面积为，∴， 答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大． 题型剖析 类型八 二次函数与实际问题（动态问题） 例8 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，_______；（用含t的式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)当t为何值时，的面积最大？ （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：(舍去)，； （3）解：由（1）知，， ， ， 的面积等于， ，当时，的面积最大． 题型剖析 k的符号 k＞0 k＜0 图像     图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 考点四 反比例函数的图像与性质 反比例函数一般地，形如_____________（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 自变量x的取值范围是_________的一切实数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数 中，只有一个待定系数k，因此只需给出________________或___________________，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式. 不等于0 一组x，y的对应值 图像上一个点的坐标 反比例函数的图像与性质 考点串讲 题型四 反比例函数的图像与性质 类型一 反比例函数的识别 例1．下列函数中，是关于变量与的反比例函数有（　　）个 ①（为常数）；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 解题方法：在反比例函数 中，k≠0与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. [易错点]忽视k≠0这个条件，而得到错误结论. 【详解】解： 综上所述，反比例函数有：①③④⑥，共4个，故选：D． 题型剖析 1．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 针对训练 题型四 反比例函数的图像与性质 类型二 根据解析式判断反比例函数的性质 例2．关于反比例函数，下列结论正确的是 （    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与轴有公共点 C．随的增大而增大 D．不存在与的图象有交点的其他反比例函数 1．已知反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过点 B．图象在第二、四象限内 C．y随x的增大而减小 D．若，则 2．已知：双曲线（为常数，）经过点，则下列说法中不正确的是（   ） A．双曲线过点 B．该双曲线与直线没有公共点 C．当时，或 D．当时， D A D 题型剖析 题型四 反比例函数的图像与性质 类型三 反比例函数的图像与性质 例3．如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． A 1．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知点都在反比例函数上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． C D 题型剖析 3．下列说法错误的是（   ） A．反比例函数的图象是双曲线，有两支 B．反比例函数的图象无限接近两坐标轴但不能相交 C．反比例函数的图象在第一、二象限，或者在第三、四象限 D．反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形 4．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A．6 B． C．8 D． C C 针对训练 题型四 反比例函数的图像与性质 类型四 根据相关条件求参数 例4．若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 1．已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 2．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【详解】解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，，， 故，解得：． 题型剖析 题型四 反比例函数的图像与性质 类型五 反比例系数k的几何意义 一点一垂直 一点两垂直 两点两垂直 题型剖析 题型四 反比例函数的图像与性质 类型五 反比例系数k的几何意义 例5．如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 1．如图，A，B两点在反比例函数的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形面积为1，则阴影部分的面积之和为 ． 题型剖析 2．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 ． 【详解】解：如图所示，设与轴交于点， ∵点在函数的图象上，轴， ∴，轴， ∴， ∵点在函数的图象上，轴于点， ∴，则，，即四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积为 针对训练 题型四 反比例函数的图像与性质 类型六 反比例函数与实际问题 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 例6．验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把代入，， 函数解析式为，当时，， 度数减少了（度）， 题型剖析 1．如图，电路中有三个定值电阻，且的阻值（单位：Ω）满足方程，（已知并联电路电阻之间的关系为：）．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是 V． 【详解】解：∵的阻值满足方程， ∴，，∴，∴， ∴电路中总电阻为， ∵，∴，∴电源的电压是， 故答案为：9． 针对训练 2．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 【详解】解：由题意得， ∵，，∴点， 设，∴，∴， ∵上口宽，∴的横坐标为， ∴当时，， ∴整个冷却塔高度为， 针对训练 一、核心解题技巧​ 求解析式：​ 二次函数：据已知条件选表达式（三点→一般式，顶点→顶点式，交点→交点式）；​ 反比例函数：代入图像上一点坐标求​k. 二次函数平移：“上加下减，左加右减”（针对顶点式更简便）.​ 反比例函数面积：过图像上一点作坐标轴垂线，矩形面积​∣k∣，三角形面积​ ​∣k∣. 综合题：联立一次函数与反比例函数解析式，求交点后结合图像分析. 课堂总结 二、高频易错点​ 二次函数：​ 忽略​a≠0；​ 增减性未分对称轴两侧讨论；​ 实际问题中忽略自变量取值范围对最值的影响。​ 反比例函数：​ 忽略​k ≠ 0；​ 增减性遗漏 “每个象限内”，跨象限判断；​ 面积计算忘记取​∣k∣，出现负数值。 课堂总结 感谢聆听! 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 【详解】（1）解：由题意知，，，， 设抛物线解析式为， 把A、B、E代入解析式得，解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； $