1.3正方形的性质与判定 课后练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.3正方形的性质与判定 课后练习题 一．选择题 1．下列说法不正确的是（　　） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．四边都相等的四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形 2．若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（　　） A．4cm2 B．2cm2 C． D． 3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE，且∠ECF＝45°，则AF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，P为正方形ABCD内一点，AB＝AP，DP＝CD，则∠ABP的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 5．如图所示，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，过P作PE⊥BC，PF⊥DC，垂足分别为E、F，连接EF，若EF＝5，则AP的长为（　　） A．5 B．4 C． D． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　） A．（，2） B．（，2） C．（2，2） D．（4，2） 7．如图，正方形ABCD的边长为4．对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO．则BE的长度为（　　） A．4 B．6 C．2 D．4 8．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 9．如图，已知正方形ABCD的边长是10，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF＝3，BF与AE相交于点G，H为AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A．13 B．20 C．25 D．34 11．三个边长为8cm的正方形按图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为（　　） A．16cm2 B．24cm2 C．28cm2 D．32cm2 12．如图，已知正方形ABCD，AB＝4，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与BC交于点F，与CD的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 二．填空题 13．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F．若AE＝15，CF＝5，则AF的长是 　 　 ． 14．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于 　 　 ． 15．如图，在正方形ABCD中，E是AB延长线上一点，BD＝BE，则∠EDC的度数为 　 　 ． 16．如图，在边长为 正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CD的中点，G为EC的中点，连接GF，则GF的长度为 　 　 ． 17．如图，在矩形ABCD中，BC，H为CD的中点，连接AH并延长交BC的延长线于点G，以AG为边作正方形AEFG，连接BH，若BH⊥AG，则正方形AEFG的面积为 　 　 ． 18．如图，正方形ABCD的边长为6，点E在对角线AC上，连接BE，过点E作FE⊥BE，交AD于点F，若AF＝2，则四边形ABEF的面积为 　 　 ． 19．如图，E，F分别是正方形ABCD的边AD和DC的中点，AD＝2，连接BF，BE，取BF的中点G，连接HG，CG，下列结论： ①BE⊥AF； ②； ③BF＝2HF； ④四边形BHFC的面积为2； ⑤HG＝CG． 以上说法正确的有 　 　 ． 三．解答题 20．如图，点E是正方形ABCD内部一点，∠ABE＝∠DAE，CF⊥BE于点F．求证：BE＝CF． 21．如图，四边形ABCD为正方形，E为AD上一点，连接BE，∠AEB＝60°，M为BE的中点，过点M的直线交AB、CD于P、Q． （1）如图1，当PQ⊥BE时，求证：BP＝2AP； （2）如图2，若∠APQ为锐角，且PQ＝BE，延长BE、CD交于点N，请你猜想QM与QN的数量关系，并说明理由． 22．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，∠DAE的平分线AG与边CD相交于点G，与BC的延长线相交于点F． （1）若AB＝2，BE＝CE，求CF的长． （2）连接EG，若EG⊥AF，求证：G为边CD的中点． 23．如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE，求CG的长度． 24．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF； （2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D D A C C B D D D 题号 12 答案 D 二．填空题 13．25． 14．2． 15．22.5°． 16．． 17．24． 18．16． 19．①⑤． 三．解答题 20．解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠EAD＝90°， ∵∠ABE＝∠DAE， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ABE+∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵CF⊥BE于点F， ∴∠BFC＝90°＝∠AEB， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE＝CF． 21．（1）证明：连接PE，如图1， ∵点M是BE的中点，PQ⊥BE， ∴PQ垂直平分BE， ∴PB＝PE， ∴∠PEB＝∠PBE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°， ∴∠APE＝∠PBE+∠PEB＝60°， ∴∠AEP＝90°﹣∠APE＝90°﹣60°＝30°， ∵∠A＝90°， ∴BP＝EP＝2AP； （2）解：NQ＝MQ．理由如下： 如图2所示，过点Q作QF⊥AB于点F，则QF＝CB， 同理可证：△ABE≌△FQP， 此时∠FPQ＝∠AEB＝60°， 又∵∠FPQ＝∠ABE+∠PMB＝60°，∠N＝∠ABE＝30°， ∴∠EMQ＝∠PMB＝30°， ∴∠N＝∠EMQ， ∴NQ＝MQ． 22．解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DAG＝∠F， 又∵AG平分∠DAE， ∴∠DAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠F， ∴EA＝EF， ∵AB＝2，BE＝CE， ∴BE＝EC＝1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得， AE， ∴EF， ∴CF＝EF﹣EC1； （2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF， ∴AG＝FG， 在△ADG和△FCG中 ， ∴△ADG≌△FCG（AAS）， ∴DG＝CG， 即点G为CD的中点． 23．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在△EQF和△EPD中， ， ∴△EQF≌△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2中，在Rt△ABC中，ACAB＝2， ∵CE， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形， ∴四边形DECG是正方形， ∴CG＝CE． 24．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示 ∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90° ∴∠1＝∠2， ∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°， ∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE， 在△AHE和△ECF中， ， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）解：AE＝EF成立， 理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE， ∵∠AEF＝90°， ∴∠FEG+∠AEB＝90°． ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴∠MAE＝∠CEF． ∵AB＝BC， ∴AB+AM＝BC+CE， 即BM＝BE． ∴∠M＝45°， ∴∠M＝∠FCE． 在△AME与△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． （3）存在， 理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF， 在△ADM与△BAE中， ， ∴△ADM≌△BAE（ASA）， ∴DM＝AE， 由（2）AE＝EF， ∴DM＝EF， ∴四边形DMEF为平行四边形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/11 14:13:54；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $