第5章 专题特训7 运用分段函数解决实际问题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 专题特训七 运用分段函数解决实际问题 类型一阶梯收费问题 类型二 行程问题 1.某电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月2.甲、乙两地间的直线公路长为600km 用电量分段收费.某用户每月应缴电费 一辆轿车与一辆货车分别沿该公路 y(元)与用电量x(千瓦时)之间的函数图象 从甲、乙两地出发，以各自的速度相 是一条折线（如图）.根据图象解答下列问题： 向而行，货车比轿车早出发1h,途中轿车出 (1)分别求出当0≤x≤100和x>100时，y 现了故障，停下来维修，货车仍继续行驶，1h 与x之间的函数表达式， 后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻 (2)若该用户某月用了72千瓦时电，则应缴 掉头按原路以原速返回甲地（接到通知及掉 费多少元？ 头时间忽略不计)，最后两车同时到达甲地. (3)若该用户某月缴费105元，则该用户当 两车距各自出发地的距离y(km)与轿车所 月用了多少千瓦时电？ 用的时间x(h)之间的关系如图所示.请结合 ↑y/元 图象解答下列问题： (1)货车的速度是 km/h,t的值是 的 轿车的速度是 km/h. 100130x/千瓦时 (2)求轿车距其出发地的距离y(km)与所用 (第1题) 时间x(h)之间的函数表达式 (3)求当货车出发多长时间时，两车相距 120km. ↑y/km 600 D 360- A人B 60 0 Cx/h (第2题) 110 第5章一次函数 类型三方案选择问题 类型四几何图形中的动态问题 3.现有A,B两种品牌的共享电动车，如图所示 4.数形结合思想如图①，在长方形ABCD 为收费y(元)与骑行时间x(分钟)之间的对 中，AB=12cm,BC=6cm,点P从 应关系，其中A品牌的收费方式对应y1, 点A出发，沿A→B→C→D的路线 B品牌的收费方式对应y2. 运动，到点D停止运动；点Q从点D出发， (1)写出图中函数y1,y2的图象的交点P表 沿D→C→B→A的路线运动，到，点A停止 示的实际意义. 运动.若点P,Q同时出发，点P的速度为 (2)求y1y2关于x的函数表达式 1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P,Q (3)①小明每天早上需要骑行A品牌或 同时改变速度，点P的速度变为bcm/s,点 B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种 Q的速度变为ccm/s.如图②所示为点P出 品牌的共享电动车的平均行驶速度均为 发xs后△APD的面积S1(cm)关于x(s) 300米/分，小明家到工厂的距离为9千米， 的函数图象；如图③所示为点Q出发xs后 测小明选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ △AQD的面积S2(cm)关于x(s)的函数 ②当x为何值时，A,B两种品牌的共享电 图象 动车的收费相差3元？ (1)求a,b,c的值 y/元 (2)设点P出发xs后到点A的路程为 ycm,请写出y与x之间的函数表达式，并 求出点P与点Q相遇时x的值. DQ→C 01020.x/分钟 (第3题) AP→B ① 3615/em 36AS/em2 24 0 a10 x/s 0 22x/s @ ③ (第4题) 111b1-b2=4. y kx+b y=hx+b2 B 、A C (第6题) 7.(1)设轿车追上大巴时，轿车行驶 的时间为xh,则大巴行驶的时间为 (x+1)h 根据题意，得60.x=40(x十1)，解得 x=2. 所以60x=60×2=120. 所以轿车出发后2h追上大巴，此时 两车与学校相距120km. (2)因为轿车追上大巴时，大巴行驶 了1+2=3(h),与学校相距120km, 所以点B的坐标为(3,120). 由题意，得点A的坐标为(1,0). 设AB所在直线对应的函数表达式为 s=kt+b. 将A(1,0),B(3,120)代入，得 k+b=0, 解得 k=60, 3k+b=120, b=-60. 所以AB所在直线对应的函数表达式 为s=60t一60 (3)由题意，得40(a+1.5)=60× 1.5,解得a=4 3 8.(1)120:2.解析：由题图，易得 A,C两村间的距离为120km,甲的速 度为(120-90)÷0.5=60(km/h),则 a=120÷60=2. (2)设y1=k1x十b1(k1≠0). 将(0,120)，(0.5,90)代人， b1=120, k1=一60， 得 解得 0.5k1+b1=90, 61=120. 所以y1=-60.x+120. 设y2=k2x十b2(k2≠0). 将(0,90)，(3,0)代人， b2=90, k2=一30， 得 解得 3k2十b2=0, b2=90. 所以y2=-30.x+90. y=-60x+120, x=1, 联立 解得 y=-30x+90, (y=60. 所以点P的坐标为(1,60) 点P(1,60)表示经过1h,甲、乙两人 相遇且距C村60km. 8)号或号或. .8 解析：当0x 1时，令y1-y2=10,即-60x+ 120一（一30x+90)=10,解得x= 2 当1≤x≤2时，令y2-y1=10, 即-30.x+90-(-60.x+120)=10, 解得x=专当2<<3时，甲到达C 村，令y2=10,即-30x+90=10,解 得x=号综上所述，当乙行驶号h 或号h或号h时距甲10km 专题特训七运用分段函数 解决实际问题 1.(1)当0x100时，设y与x之 间的函数表达式为y=kx 把(100,65)代入，得65=100k, 解得k=0.65. 所以y与x之间的函数表达式为 y=0.65x. 当x>100时，设y与x之间的函数 表达式为y=a.x十b. 把(100,65)，(130,89)代人，得 100a+b=65, a=0.8, 解得 130a+b=89, b=-15 所以y与x之间的函数表达式为y 0.8x-15. (2)当x=72时，y=0.65×72=46.8, 所以若该用户某月用了72千瓦时电， 则应缴费46.8元， (3)因为该用户某月缴费105元， 所以该用户当月的用电量超过100千 瓦时. 将y=105代人y=0.8x-15, 得105=0.8x-15,解得x=150. 所以该用户当月用了150千瓦时电。 2.(1)60;4:90.解析：根据题意，得 货车的速度为60÷1=60(km/h).因 为货车行驶的时间为600÷60= 10(h),轿车往返的时间相等，所以 51 1=(10一1一1)÷2=4.所以轿车的速 度为360÷4=90(km/h): (2)当0x4时，设y=kx(k≠0). 由题图，知点(4,360)在该函数图 象上， 所以4k=360,解得k=90. 所以y=90x(0≤x≤4). 当4<x≤5时，由题图，得y= 360(4<x5). 当5<x≤9时，设y=mx十n(m≠0). 由题图，知点(5,360)，(9,0)在该函数 图象上， 5m+n=360: m=-90, 所以《 解得 (9m+n=0, =810. 所以y=-90x十810(5<x≤9). 所以轿车距其出发地的距离y(km) 与所用时间x(h)之间的函数表达式 90x(0x4), 为y=360(4<x≤5)， -90x+810(5<x9). (3)设货车出发ah时两车相距 120km. 分四种情况讨论： ①若两车相遇前相距120km,则 60a+90(a-1)=600-120,解得 a=3.8. 因为3.8一1=2.84， 所以a=3.8符合题意. ②若两车相遇后且轿车维修之前相 距120km,则60a+90(a一1)= 600+120,解得a=5.4. 因为5.4一1=4.4>4， 所以a=5.4不符合题意 ③若在轿车维修期间两车相距 120km,则60a+90×4=600+120, 解得a=6. 当a=6时，6一1=5，此时轿车刚刚维 修好，符合题意。 ④由③，知轿车刚刚维修好时，两车 相距120km. 因为轿车速度大于货车速度， 所以轿车维修好后，两车越来越近，距 离不可能是120km. 综上所述，当货车出发3.8h或6h 时，两车相距120km. 3.(1)交点P表示的实际意义是当 骑行时间为20分钟时，A,B两种品 牌的共享电动车的收费都为8元. (2)设y1=k1x(x>0). 将(20,8)代入，得20k1=8,解得 k1=0.4. 所以y1=0.4x(x>0). 由题图可知，当0<x≤10时，y2=6. 设当x>10时，y2=k2x十b. 将(10,6)，(20,8)代人， 10k2+b=6, k2=0.2, 得 解得 20k2+b=8, {b=4. 所以当x>10时，y2=0.2x+4. 6(0<x10), 所以y2= 0.2x+4(x>10) (3)①小明从家骑行到工厂所需时 间为，0=30（分钟），A品牌的共享 电动车所需费用为0.4×30= 12(元)，B品牌的共享电动车所需费 用为0.2×30+4=10（元）. 因为12>10， 所以选择B品牌的共享电动车更 省钱 ②当0<x≤10时，由y2一y1=3, 得6-0.4x=3,解得x=7.5. 当x>10时，由y2一y1=3或y1 y2=3,得0.2x+4-0.4x=3或 0.4x-(0.2x+4)=3,解得x=5(不 合题意，舍去)或x=35. 综上所述，当x的值为7.5或35时， A,B两种品牌的共享电动车的收费 相差3元. 4.(1)由题图，得当x=a时，S△Ap= 3AD·PA=24em, 所以7×6×1×a)=24,解得a=8, 所以易得6=121X8=2 10-8 由(22-8)c=(12×2+6)-2×8,得 c=1. (2)由题意，得当0x8时，y=x. 因为(12×2+6-1×8)÷2=11(s), 11+8=19(s), 所以当8<x≤19时，y=1×8+ 2(x-8),即y=2x-8. 所以y与x之间的函数表达式为y x(0x8), 2.x-8(8<x≤19) 设点Q出发xs后到点A的路程为 y'cm. 当0≤x≤8时y'=12X2+6-2x 30-2x: 当8<x22时，y=(12X2+6-2× 8)-1X(x-8)=22-x. 所以y'与x之间的函数表达式为 30一2x(0x8), y'= {22-x(8<x22) 根据题意，当y=y'时，点P与点Q 相遇，即当0≤x8时，x=30一2x, 解得x=10(不合题意，舍去)： 当x>8时，2x-8=22-x,解得 x=10. 所以当，点P与点Q相遇时，x的值 为10. 第5章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C解析：由图象可知，体育 场离该同学家2.5km,故①正确；该 同学在体育场锻炼的时间为30一15= 15(min),故②正确：该同学跑步的平均 速度为2.5÷15=行(am/m,步行的 平均速度为2.5÷(65-30)= m/mm,名÷4子>2，故③ 错误；若该同学骑行的平均速度是跑 步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的 平均速度为行×1.5=子（m/mm,所 以a=4》 -1×(103-88)=3.75,故④正 确.综上所述，正确的个数是3. [变式]5解析：由图象可知，小王 10分钟步行了800米，所以v= 800÷10=80,则全程步行所用的时间 为2000÷80=25（分钟）.因为14+ 16一25=5（分钟），所以他到达时距会 52 议开始还有5分钟 典例2y,>y2解析：因为直线经 过第一、二、四象限，所以k<0.所以 y随x的增大而减小.所以当x1<x2 时，y1>y2 [变式]增大解析：将函数y=kx 的图象向下平移2个单位长度后得到 的图象对应的函数表达式为y=kx 2.把(1,0)代入，得k-2=0,解得k= 2>0.所以y随x的增大而增大. 典例3C解析：由一次函数y,= a,x十b(a≠0)的图象从左向右呈上升 趋势，得y1随x的增大而增大，故A 正确；由直线y1=a.x十b(a≠0)与 y轴的交点在直线y2=m.x十n(m≠ 0)与y轴的交点的下方，得b<,故 B正确；由图象可知，当x<2时，一次 函数y1=a.x十b(a≠0)的图象在一次 函数y2=m.x十n(m≠0)的图象的下 方，则y1<y2,故C错误；由图象可 知，两条直线交于点(2,3)，则关于x, ax-y=-b, y的方程组 的解为 m,x一y=-n 红=2故D正确 y=3, [变式]x1解析：将P(m,3)代 入y=x十2，得m+2=3,解得m=1. 所以P(1,3).观察图象可知，当x=1 时，x十2=ax十c;当x<1时，直线 y=x十2在直线y=a.x十c的下方， 所以关于x的不等式x十2≤ax十c 的解集为x1 典例4(1)设甲种水果的进价为每 千克a元，乙种水果的进价为每千克 b元 60a+40b=1520, 由题意，得 解 30a+50b=1360, a=12, 得 b=20. 所以甲种水果的进价为每千克12元， 乙种水果的进价为每千克20元. (2)设第三次购进x千克甲种水果， 则购进(200-x)千克乙种水果.