2.6 直角三角形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 2.6直角三角形 第1课时直角三角形的性质定理 基础进阶 句素能攀升 1.如图，l∥AB,CD⊥L于点D.若∠C=40°，则 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥ ∠1的度数是 ( BC,则图中互余的角有 A.30°B.40° C.50°D.60° (第5题) (第1题) (第2题) A.2对 B.3对 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A C.4对 D.5对 38°，AD=BD,则∠ACD的度数为() 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在 A.28°B.38°C.42°D.52° BC上，E是AB的中点，AD,CE相交于点 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=8, F,且AD=DB.若∠B=20°，则∠DFE的度 AD平分∠BAC,交BC于点D,E为AC 数为 () 的中点，连结DE,则△CDE的周长为 D (第6题) A.30°B.40° C.50°D.60° 7.如图，BE,CF分别是△ABC的高线，M为 (第3题) BC的中点，连结EF,EM,FM,EF=4, 4.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的 BC=10,则△EFM的周长是 中线，在AD及CD的延长线上依次取点E, F,且∠EFD=∠B (1)求证：EFBC. (2)若∠A=65°，求∠AEF的度数， (第7题) 8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90°，AB与CD不平行， AC=10,O为AC的中点，则 (第4题) △OBD面积的最大值为 0 (第8题) 46 第2章特殊三角形 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是罚思维拓展 边AB上的中线，DE⊥AB于点D,交AC于 11.新考法·探究题在Rt△ABC中 点E.求证：∠AED=∠DCB. ∠ABC=90°，点E在直线AB上 ED垂直于直线AC,垂足为D,M 为EC的中点，连结BM,DM, (1)如图①，若点E在线段AB上，判断线 (第9题) 段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足 的数量关系，请直接写出你的结论， (2)如图②，若点E在BA的延长线上，则 (1)中的结论是否发生变化？若不变，请加以 证明；若变化，请写出你的猜想，并说明理由. ② (第11题) 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= BC,点D,E分别在边AC,AB上， ∠ADE=90°，AD=DE,连结EC,取EC 的中点M,连结DM,BM.求证：BM= DM,且BM⊥DM. D (第10题) 47 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 第2课时直角三角形的判定定理 自基础进阶 幻素能攀升 1.满足下列条件的△ABC中，不属于直角三角 6.如图，在△ABC中，AC,BC的垂直平分线l, 形的是 m的交点P在边AB上，则△ABC是( A.∠A:∠B:∠C=1:2:3 A.锐角三角形 B.∠A+∠B=∠C B.钝角三角形 C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.直角三角形 D.一个外角等于和它相邻的内角 D.无法确定 (第6题) 2.把等边三角形ABC的边AB延长一倍至点 7.在△ABC中，若∠A,∠B,∠C同时满足下 D,连结DC,则△ADC是 ( ) 列两个条件：①2∠C-3∠A=2∠B-20°； A.等腰三角形 B.等边三角形 ②3（∠C-∠B)=2∠A+20°，则△ABC是 C.等腰直角三角形D.直角三角形 (填“直角”“钝角”或“锐角”)三 3.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，若 角形 ∠B=∠ACD=62°，∠A=28°，则图中共有 8.如图，∠AON=40°，P是射线ON 直角三角形 个. 上的一个动点，则当∠A= 时，△AOP是直角三角形 D (第3题) (第4题)》 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A P N (第8题) 45°，CD是斜边AB上的中线，DE⊥BC于 9.新情境·日常生活如图，轮船从点A以每小时 点E,则图中等腰直角三角形有 个 40海里的速度沿北偏东35°方向匀速航行，在 5.如图，AD,BF分别是△ABC的高线与角平 A处观察灯塔B在北偏东80°的方向上，轮船 分线，AD,BF相交于点E,∠1=∠2.求证： 航行半小时后到达C处，此时C处在灯塔B △ABC是直角三角形. 的北偏西55°方向上，则△ABC是 三 角形，C处与灯塔B之间的距离是 D 海里 (第5题) 北 北 (第9题) 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平 分∠ABC交AC于点D,M为直线AC上 一点，ME⊥BC,垂足为E,∠AME的平分 48 第2章特殊三角形 线交直线BD于点F,求证：△DMF是直角 思维拓展 三角形. 12.新考法·探究题如图，在△ABC中 ∠A=90°，D为BC的中点，E,F 分别是AB,AC上的点，连结DE DF,EF. (第10题) (1)若AB=AC,BE=AF,求证：△DEF 为等腰直角三角形 (2)若E,F分别为AB,CA的延长线上的 点，仍有AB=AC,BE=AF,其他条件不 变，则△DEF是否仍为等腰直角三角形？ 请说明理由， (3)若DE⊥DF,观察BE,EF,CF,并判断 这三条线段能不能构成直角三角形，请说明 理由. 11.如图，在△ABC中，三条高线AD,BF,CE D 相交于点O,G,H分别是FB,CB的延长线 (第12题) 上的点.若∠H=∠BAO+∠ACO,请判断 △BGH的形状，并证明你的结论， G B (第11题) 49所以EF=FD 所以EF=DE=FD 所以△DEF是等边三角形. (2)(1)的逆命题是“若△DEF是等 边三角形，则BE=AF=CD”,该命 题成立 理由：因为△ABC,△DEF都是等边 三角形， 所以∠ABC=∠ACB=∠EDF= 60°，BC=AC,ED=DF 又因为∠ABC=∠BED+∠BDE, ∠ACB=∠CDF+∠CFD,∠EDF= ∠CDF+∠BDE, 所以∠BED=∠CDF,∠BDE= ∠CFD 在△BED和△CDF中， ∠BED=∠CDF, 因为ED=DF, ∠BDE=∠CFD 所以△BED≌△CDF(ASA). 所以BD=CF. 所以BD-BC=CF-AC,即CD=AF. 同理，可得BE=CD, 所以BE=AF=CD. 2.6直角三角形 第1课时直角三角形的 性质定理 1.C2.B3.14 4.(1)因为CD为斜边AB上的 中线 所以CD=BD=子AB. 所以∠DCB=∠B. 因为∠EFD=∠B, 所以∠DCB=∠EFD. 所以EFBC. (2)因为在Rt△ABC中，∠A=65, 所以∠B=90°-∠A=25 因为EFBC 所以∠FED=∠B=25° 所以∠AEF=180°-∠FED=180° 25°=155 5.C解析：因为∠BAC=90°，所以 ∠BAD+∠CAD=90°，∠B+∠C= 90°.所以∠BAD与∠CAD互余，∠B 与∠C互余.因为AD⊥BC,所以 ∠BDA=∠CDA=90°.所以∠B+十 ∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°.所 以∠B与∠BAD互余，∠C与 ∠CAD互余.综上所述，题图中互余 的角有4对. 6.D解析：因为在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，E是AB的中点，所以 BE=CE.因为∠B=20°，所以 ∠ECB=∠B=20°.因为AD=BD, 所以∠DAB=∠B=20°.所以 ∠ADC=∠B+∠DAB=20°+20°= 40°.所以∠DFE=∠ADC+∠ECB= 40°+20°=60°. 7.14解析：因为BE,CF分别是 △ABC的高线，M为BC的中点， BC=10,所以在Rt△BCE中，EM= ZBC=5,在Rt△BCF中，FM= 子BC=6又因为EF=4,所以 △EFM的周长=EM+FM+EF= 5+5+4=14. 8.罗解析：过点B作BHLrX,交 直线DO于点H.因为∠ABC= ∠ADC=90°，O为AC的中，点，所以 OB=0D=2AC=2×10=5.因为 BH⊥DO,所以S△m=2OD· BH=号BH,当点O与点H重合时， BH的长取得最大值，此时BH=5,所 以5m的最大值为号X5=受 25 9.因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD是边AB上的中线， 所以CD=AD=DB=2AB. 所以∠B=∠DCB. 23 因为DE⊥AB, 所以∠A+∠AED=90°」 又因为∠A+∠B=90°， 所以∠B=∠AED. 所以∠AED=∠DCB. 10.如图， 因为∠ABC=∠ADE=90°， 所以∠EDC=90°. 因为M是CE的中点， 1 所以BM=CM=2CE,DM=CM= CE. 所以BM=DM,∠1=∠2，∠3=∠4. 因为∠BME=∠1+∠2，∠EMD= ∠3+∠4， 所以∠BMD=∠BME+∠EMD= 2(∠1+∠3)=2∠BCA. 因为△ABC是等腰直角三角形， 所以∠BCA=45. 所以∠BMD=90°. 所以BM=DM,且BM⊥DM. (第10题) 11.(1)BM=DM,∠BMD=2∠BCD. (2)(1)中的结论不发生变化 因为M是Rt△BEC的斜边EC的 中点， 所以M=MC=合PC 又因为M是Rt△DEC的斜边EC的 中点， 1 所以DM=MC=2EC, 所以BM=DM. 因为BM=MC,DM=MC, 所以∠CBM=∠BCM,∠DCM= ∠CDM. 所以∠BMD=∠EMB-∠EMD= (∠CBM+∠BCM)-(∠DCM+ ∠CDM)=2∠BCM-2∠DCM= 2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD,即 ∠BMD=2∠BCD. 第2课时直角三角形的 判定定理 1.C2.D3.34.5 5.因为BF是△ABC的角平分线， 所以∠ABF=∠CBF, 因为AD是△ABC的高线，即 AD⊥BC, 所以∠ADB=90. 所以∠CBF+∠BED=9O. 又因为∠BED=∠1=∠2， 所以∠CBF+∠2=90°. 所以∠ABF+∠2=90°. 所以∠BAC=90° 所以△ABC是直角三角形 6.C解析：连结CP.因为l,m分别 是AC,BC的垂直平分线，所以AP PC,PC=PB.所以∠A=∠ACP, ∠B=∠PCB.所以∠A+∠B= ∠ACP+∠PCB.因为∠A+∠ACP+ ∠B+∠PCB=180°，所以∠A+∠B 90°.所以△ABC是直角三角形 7.直角解析：因为2∠C-3∠A 2∠B-20°，所以3∠A+2∠B 2∠C+20°①.又因为3（∠C ∠B)=2∠A+20°，所以2∠A+ 3∠B=3∠C-20°②.由①+②，得 5(∠A+∠B)=5∠C,即∠A+ ∠B=∠C.因为∠A十∠B+∠C= 180°，所以∠A+∠B=90°.所以 △ABC是直角三角形. 8.50或90°解析：当AP⊥ON时， ∠APO=90°，则∠A=90° ∠AOP=90°-40°=50°：当PA⊥OA 时，∠A=90°.综上所述，当∠A=50 或90时，△AOP是直角三角形. 9.等腰直角20解析：如图，根据 题意，得∠DAC=35°，∠DAB=80°， ∠EBC=55°，DA∥EB,所以 ∠CAB=∠DAB-∠DAC=80° 35°=45°.因为DA∥EB,所以 ∠DAB+∠EBA=180°.所以 ∠EBA=180°一80°=100°.所以 ∠ABC=∠EBA-∠EBC=45°= ∠CAB.所以∠C=90°，AC=BC.所 以△ABC是等腰直角三角形.因为 AC=40X0.5=20(海里)，所以BC= AC=20海里 北 (第9题) 10.因为∠BAC=90°，ME⊥BC, 所以∠ABC+∠C=∠AME+ ∠C=90°. 所以∠ABC=∠AME. 因为BD平分∠ABC,MF平分∠AE, 所以∠ABD=号∠ABC,∠AMF ∠AME, 所以∠ABD=∠AMF, 因为∠ABD+∠ADB=90°， 所以∠AMF+∠ADB=90°. 所以△DMF是直角三角形. 11.△BGH为直角三角形： 因为在△ABC中，三条高线AD, BF,CE相交于点O, 所以∠ADB=∠BFC=∠CEA=9O°. 所以∠BAO=90°-∠ABD,∠FBC 90°-∠BCF,∠ACO=90°-∠CAE. 所以∠BAO+∠FBC+∠ACO= 90°-∠ABD+90°-∠BCF+90° ∠CAE=270°-（∠ABD+∠BCF+ ∠CAE)=270°-180°=90. 因为∠FBC=∠HBG,∠H= ∠BAO+∠ACO, 所以∠HBG+∠H=90°. 所以△BGH为直角三角形. 12.(1)连结AD 因为AB=AC,∠BAC=90°，D为 BC的中点， 所以AD=专BC=BD=CD,ADL 24 BC,即∠ADB=90°，AD平分∠BAC, ∠B=∠C=45 所以∠BAD=∠CAD=45. 在△BDE和△ADF中， (BD=AD, 因为∠B=∠DAF=45, BE=AF, 所以△BDE≌△ADF(SAS). 所以DE=DF,∠BDE=∠ADF. 又因为∠BDE+∠ADE=90°， 所以∠ADF+∠ADE=90°，即 ∠EDF=90. 又因为DE=DF, 所以△DEF为等腰直角三角形. (2)△DEF仍为等腰直角三角形 理由：如图①，连结AD. 因为AB=AC,∠BAC=90°，D为 BC的中点， 所以AD=2BC=BD=CD,AD⊥ BC,即∠ADB=90°，AD平分∠BAC, ∠ABC=∠C=45° 所以∠BAD=∠CAD=45°. 所以∠DBE=180°-∠ABC=180° 45°=135°. 因为∠BAC=90, 所以∠BAF=90° 所以∠DAF=∠BAD+∠BAF= 45°+90°=135°. 所以∠DAF=∠DBE. 在△DAF和△DBE中， AD-BD. 因为∠DAF=∠DBE, AF=BE, 所以△DAF≌△DBE(SAS). 所以DF=DE,∠ADF=∠BDE. 又因为∠ADF+∠FDB=∠ADB=90°， 所以∠BDE+∠FDB=90°，即 ∠EDF=90. 又因为DF=DE, 所以△DEF为等腰直角三角形 (3)BE,EF,CF这三条线段能构成 直角三角形. 理由：如图②，延长FD至点F',使 DF'=DF,连结BF',EF' 因为D为Rt△ABC的斜边BC的 中点， 所以BD=CD 在△BDF'和△CDF中， BD=CD, 因为∠BDF'=∠CDF, DF'=DF, 所以△BDF'≌△CDF(SAS). 所以BF'=CF,∠DBF'=∠C. 又因为∠CBA+∠C=90°， 所以∠CBA+∠DBF'=90°，即 ∠EBF'=90. 所以△EBF'是以EF‘为斜边的直角 三角形，即BE,EF',BF这三条线段 能构成直角三角形 因为DE⊥DF,DF=DF',即DE垂 直平分FF', 所以EF'=EF. 又因为BF'=CF, 所以BE,EF,CF这三条线段能构成 直角三角形. ① ② (第12题) 2.7探索勾股定理 1.D2.C3.200mm 4.(1)如图①. 根据勾股定理，得AB2=AE2+ BE2=12+22=5. 所以涂色正方形的面积=AB2=5,则 正方形的边长为5 (2)作法不唯一，如图②，线段GH即 为所求作。 理由：如图②，根据勾股定理，得 GH2=MH+GM=12+32=10. 因为GH>0, 所以GH=√/10. M H ① ② (第4题) 5.B解析：连结BD.因为∠DAB= ∠BCD=90°，所以AB2+AD2 BD,BC2+CD=BD.所以AB+ AD2=BC2十CD2.所以S1+S4= S2+S3.所以S4=135-48=87. 6.C解析：设AB=AD=xcm.根 据题意可知，BC∥EF,CE⊥EF, BF⊥EF,BF=8cm,所以CE= BF=8cm.所以AC=AD+DE CE=x+6-8=(x-2)cm.在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以 AB2=AC2+BC2,即x2=(x-2)2+ 10,解得x=26.所以钟摆AD的长 度是26cm. 方法归纳 利用勾股定理构建方程模型 勾股定理中含有等量关系，在 几何问题的求解过程中，可以利 用勾股定理构建方程模型，通过解 方程求线段的长度，从而使问题得 到解决。 7.B解析：连结AC.因为AB= 3 m,BC =4 m,AD=13 m,CD= 12m,∠B=90°，所以AC2=AB2+ BC2=32+42=25(m).因为AC>0, 所以AC=5m.因为AD2-CD2= 132-122=25(m2),所以AD2 CD=AC2.所以△DAC为直角三角 形，且∠ACD=90°.所以S国边无AxD S△Ae+Sae-=号AB·BC十 2CD·AC=7×3×4+×12× 25 5=36(m2).所以需要投入200×36= 7200(元) 8.45°解析：如图，延长AP到点C, 使AP=PC,连结BC,易知，点C在网 格的格点上.因为AP2=PC2=1十 2=5,BC2=12+22=5,BP2=12+ 3=10,所以PC=BC,PC2+BC2= BP.所以△PCB是等腰直角三角 形，且∠PCB=90°.所以∠CPB= ∠CBP=45°.所以∠PAB+∠PBA= ∠CPB=45 (第8题) 9.该推车符合设计要求 理由：因为∠ACD=90°，CD=16dm, AD=18 dm, 所以AC2=AD2-CD2=68dm2. 因为AB=2dm,BC=8dm, 所以AB2+BC2=68dm2. 所以AB2+BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形，且 ∠ABC=90°. 所以AB⊥BC: 所以该推车符合设计要求， 10.(1)因为在△BDC中，BC=10, BD=6,CD=8, 所以BD2+CD2=62+82=100=BC2. 所以△BDC是直角三角形，且 ∠BDC=90°. 所以CD⊥AB. (2)因为CD⊥AB 所以△ADC是直角三角形 所以AD2+CD2=AC. 因为AC=AB=AD+6, 所以AD+82=(AD+6)2. 以A0-子 所以AC=6+号-罗 所以△ABC的周长为AB+AC+ c-++10-