2.3 等腰三角形的性质定理-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）入年级上 2.3等腰三角形的性质定理 第1课时等腰三角形的性质定理1及其推论 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.(2023·眉山)如图，在△ABC中，AB=AC, 5.如图，AB=AC=BD,则下列等式中，一定成 ∠A=40°，则∠ACD的度数为 () 立的是 () A.70°B.100°C.110°D.140° A.∠1=2∠2 B.2∠1+∠2=180° C.∠1+3∠2=180° D D.3∠1-∠2=180° B C D (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，∠A=23°，线段AB的垂 直平分线交AB于点D,交AC于点E.若 AE=BC,则∠C的度数是 () R DC A.30°B.45° C.46 D.60° (第5题) (第6题) 3.如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线， 6.如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD,且 若∠1=20°，则∠2的度数是 AC=CD,则∠BAD的度数为 () A.50°B.45°C.40°D.35 7.如图，在锐角三角形ABC中，∠A= 80°，DE,DF分别垂直平分边AB A B (第3题) AC,交AB,AC于点E,F,则 4.如图，在△ABC中，∠A=40°，点D,E分别 ∠DBC的度数为 在边AB,AC上，BD=BC=CE,连结CD, BE.写出∠BEC与∠BDC之间的数量关 系，并说明理由. (第7题) 8.如图，△ABC是等边三角形，点B,C,D,E 在同一条直线上，且CG=CD,DF=DE,则 ∠E= E (第4题) C DE B (第8题) (第9题) 9.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC 80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射 线BA于点D,连结CD,则∠BCD的度数是 36 第2章特殊三角形 10.新考法·探究题已知△ABC与△ADE均为 的思维拓展 等边三角形，点A,E在BC的同侧， 11.易错题如图，在等腰三角形ABC (1)如图①，点D在边BC上，写出线段 中，AB=AC,∠A<90°，CD是 AC,CD,CE之间的数量关系，并说明理由. △ABC的边AB上的高线，BE是 (2)如图②，点D在BC的延长线上，其他 △ABC的角平分线，CD与BE相交于点 条件不变，写出线段AC,CD,CE之间的数 P.当∠A的度数发生变化时，△EPC的形 量关系，并说明理由 状也随之改变 (1)当∠A=44时，求∠BPD的度数， (2)设∠A=x°，∠EPC=y°，试用含x的 式子表示y (3)在(2)的条件下，当△EPC是等腰三角 (第10题) 形时，求∠A的度数. (第11题) 37 拔尖特训·数学（浙教版）入年级上 第2课时等腰三角形的性质定理2 自基础进阶 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AF⊥BC于点 1.新情境·日常生活如图，为了让电线杆垂直于 F,点D在BA的延长线上，点E在AC上， 地面，工程人员的操作方法如下：从电线杆 且AD=AE,试判断DE与AF的位置关系， 并证明你的结论 DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定 绳AB和AC,点B,E,C在同一条直线上且 BE=CE时，电线杆DE就垂直于BC,工程 人员这种操作方法的依据是 (第4题) D 幻素能攀升 (第1题) A.等边对等角 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD,CE是 B.垂线段最短 △ABC的两条中线，P是中线AD上的一个 动点，则下列线段的长等于PB+十PE的最小 C.等腰三角形的三线合一 值的是 () D.DE是BC的垂直平分线 A.BC B.CE C.AD D.AC 2.如图，AD,CE分别是△ABC的中线和角平 分线.若AB=AC,∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是 D (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是 (第2题) BC的延长线上一点，且∠BAC= A.20°B.35° C.40° D.70° 2∠CAD.已知BC=4,AD=7,则 3.如图，△ABC是等边三角形，BD是边AC上 △ACD的面积为 () 的中线，延长BC至点E,使CE=CD,连结 A.7 B.14 C.21 D.28 DE.有下列结论：①BD⊥AC;②BD平分 7.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点 ∠ABC;③DB=DE;④∠BDE=120°.其 D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE= 中，正确的是 (填序号). 2,则BF的长为 D (第3题) (第7题) 38 第2章特殊三角形 8.如图，已知∠a和线段a,求作等腰三角形的思维拓展 ABC,使底边上的中线AD=a,顶角 10.新考法·探究题在△ABC中，AB=AC. ∠BAC=∠α（写出作法，并保留作图痕迹）. (1)如图①，如果∠BAD=30°，AD是BC 边上的高线，AD=AE,求∠EDC的度数. 人C (2)如图②，如果∠BAD=40°，AD是BC (第8题) 边上的高线，AD=AE,求∠EDC的度数. (3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与 ∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： (4)如图③，如果AD不是BC边上的高线， AD=AE,∠BAD与∠EDC是否仍有上述 关系？若有，请你写出来，并说明理由， (第10题) 9.如图，在△ABC中，AC=2AB,AD 平分∠BAC,交BC于点D,E是线 段AD上一点，连结BE,EC,且 EA=EC.求证：EB⊥AB. (第9题) 39停在点E处，行走6m返回到点A 处.因为2025÷6=337…3，所以微 型机器人行走2025m停在点D处. 9.8解析：若AB为底边，则点C必 定在AB的垂直平分线上，由题图，易 知满足条件的点C有4个：若AB为 腰，A为顶角的顶点，则以点A为圆 心，AB长为半径画圆，由题图，易知 满足条件的点C有2个：若AB为腰， B为顶角的顶，点，则以点B为圆心， BA长为半径画圆，由题图，易知满足 条件的点C有2个.综上所述，满足 条件的点C的个数是8. 10.△BCD是等腰三角形 理由：因为AB,AC是等腰三角形 ABC的两腰，AD平分∠BAC, 所以AB=AC,∠BAD=∠CAD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC, 因为∠BAD=∠CAD, AD-AD, 所以△BAD≌△CAD(SAS) 所以BD=CD: 所以△BCD是等腰三角形 11.当3-2=4x-3,即x=1时，三 边长分别为1,1,4. 因为1+1<4， 所以不能构成三角形， 当3.x-2=6-2x,即x=1.6时，三 边长分别为2.8,3.4,2.8. 因为2.8+2.8>3.4， 所以能构成三角形，此时周长为 2.8+3.4+2.8=9. 当4x一3=6一2x,即x=1.5时，三 边长分别为2.5,3,3. 因为2.5+3>3， 所以能构成三角形，此时周长为 2.5+3+3=8.5. 综上所述，该等腰三角形的周长为9 或8.5. 12.分两种情况讨论： ①当AB为腰时，有3个等腰三角 形，其中当AB=AC时，有1个（如 图①)；当BA=BC时，有2个（如 图②) ②当AB为底边，即CB=CA时，有 1个等腰三角形（如图③）， 综上所述，当△ABC是等腰三角形 时，这样的点C有4个 C (① ② m ③ (第12题) 13.作法不唯一，如满足条件的所有 大小不同的等腰三角形如图①②③④ ⑤所示. ⑤ (第13题) 2.3等腰三角形的性质定理 第1课时等腰三角形的性质 定理1及其推论 1.C2.C3.100 4.∠BEC+∠BDC=110°. 理由：设∠BEC=a,∠BDC=A. 因为∠A=40° 所以a=∠A+∠ABE=40°+ ∠ABE. 因为BC=CE, 所以∠CBE=∠BEC=a. 16 所以∠ABC=∠ABE+∠CBE= ∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE. 因为在△BDC中，BD=BC, 所以∠BDC=∠BCD=A. 所以∠BDC+∠BCD+∠DBC= 23+40°+2∠ABE=180°. 所以B=70°一∠ABE 所以a+3=40°+∠ABE+70°- ∠ABE=110°. 所以∠BEC+∠BDC=110°. 5.D解析：因为AB=AC=BD,所 以∠B=∠C,∠BAD=∠1.因为 ∠B+∠1+∠BAD=180°，所以 ∠C+2∠1=180°.因为∠C=∠1 ∠2，所以∠1-∠2+2∠1=180°.所 以3∠1-∠2=180°. 6.B解析：因为△ABC是等边三角 形，所以∠BAC=∠ACB=60°.因为 BC⊥CD,所以∠BCD=90°.所以 ∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+ 90°=150°.因为AC=CD,所以 ∠CAD=∠D=180°-∠ACD 2 180°-150=15.所以∠BAD= 2 ∠BAC-∠CAD=60°-15°=45. 7.10°解析：连结DA,DC.因为 ∠BAC=80°，所以∠ABC+ ∠ACB=180°-80°=100°.因为DE, DF分别垂直平分边AB,AC,所以 DA=DB,DA=DC.所以DB=DC, ∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA. 所以∠DBA+∠DCA=∠DAB+ ∠DAC=80°.所以∠DBC=∠CB= 合×o-80)=10 8.15解析：因为△ABC是等边三 角形，所以∠ACB=60°.因为CG= CD,所以∠CGD=∠GDC.又因为 ∠ACB=∠CGD+∠GDC,所以 ∠GDC=30°.因为DF=DE,所以 ∠E=∠DFE.又因为∠GDC= ∠E+∠DFE,所以∠E=15°. 9.10或100°解析：因为在△ABC 中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，所以 ∠ACB=180°-40°-80°=60°.分两 种情况讨论：①当点D在线段AB上 时，如图所示.由作图，知AC=AD, 所以∠ACD=∠ADC=2X(180° 80)=50°.所以∠BCD=∠ACB- ∠ACD=60°-50°=10°.②当点D (后用点D'表示)在线段BA的延长 线上时，如图所示.由作图，知AC= AD',所以∠ACD'=∠AD'C.因为 ∠ACD'+∠AD'C=∠BAC=80°，所 以∠AD'C=40°.所以∠BCD'= ∠ACB+∠ACD'=60°+40°=100°. 综上所述，∠BCD的度数是10 或100. D B (第9题) 10.(1)AC=CD+CE 理由：因为△ABC为等边三角形， 所以AB=AC=BC,∠BAC=60°. 因为△ADE为等边三角形， 所以AD=AE,∠DAE=60° 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE ∠DAC,即∠BAD=∠CAE 在△ABD和△ACE中， AB=AC, 因为∠BAD=∠CAE, AD=AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS). 所以BD=CE. 所以BC=BD+CD=CE+CD. 所以AC=CD+CE (2)CE=AC+CD. 理由：因为△ABC与△ADE均为等 边三角形， 所以AB=AC=BC,∠BAC= ∠DAE=60,AD=AE. 所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+ ∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, 因为∠BAD=∠CAE, AD-AE, 所以△ABD2△ACE(SAS). 所以BD=CE 因为BD=BC+CD=AC+CD, 所以CE=AC+CD. 11.(1)因为AB=AC,∠A=44°， 所以∠ABC=∠ACB=，X(180- 44°)=68° 因为BE平分∠ABC, 1 所以∠ABE=2∠ABC=34, 因为CD⊥AB, 所以∠ADC=90°. 所以∠BPD=90°-∠ABE=56. (2)因为AB=AC,∠A=x°， 所以∠ABC=∠ACB=7(180° x)=90°-2 2 因为BE平分∠ABC, 所以∠ABR=∠ABC=45 x 4 因为CD⊥AB, 所以∠ADC=90°. 所以∠EPC=y°=∠BPD=90°一 ∠ABE=90-(45-)=45+ 41 所以y=45+云 (3)因为CD⊥AB, 所以∠ABC+∠BCD=90°. ①若EP=EC,则∠ECP=∠EPC=y 因为∠ABC+∠BCD=90°， 所以∠ABC+(∠ACB-∠ECP)=90 因为∠ABC=∠ACB=90°-2」 2 所以(90°-月）+(90°- x y）=90° 将)=45+兰代人，解得x=36, 所以∠A=36°， ②若PC=PE,则∠PCE=∠PEC= 17 210-9=90-苦 因为∠ABC+∠BCD=90, 所以∠ABC+(∠ACB-∠PCE)=90°， 因为∠ABC=∠ACB=90°- 2 所以(o-)+[(o-) (90-2)]=90 将y=45+代人，解得x=10 7 所以∠A=(9) ③若CP=CE,则∠EPC=∠PEC= y°，∠PCE=180°-2y. 因为∠ABC十∠BCD=90, 所以∠ABC+(∠ACB-∠PCE)=9O, 因为∠ABC=∠ACB=90°-， 所以(0-)+[(o-) (180°-2y)=90°， 将y=45+代人，解得x=0,不合 题意，舍去。 综上所述，当△EPC是等腰三角形 时，∠A的度数为36或(9) 易错警示 未正确运用分类讨论思想 解题而导致漏解 解决这类问题时，要根据条件 进行分类讨论，这类问题中没有指 明顶角或底角的度数，解题时要注 意分情况进行讨论.对于本题，易 因没有对哪个角是等腰三角形的 顶角进行分类讨论而导致漏解. 第2课时等腰三角形的 性质定理2 1.C2.B3.①②③④ 4.DE//AF. 因为在△ABC中，AB=AC,AF⊥BC, 所以∠BAF=∠CAF. 因为AD=AE, 所以∠ADE=∠AED. 又因为∠BAC=∠ADE+∠AED, ∠BAC=∠BAF+∠CAF, 所以∠CAF=∠AED. 所以DE∥AF. 5.B解析：连结PC.因为AB= AC,AD是边BC上的中线，所以AD 垂直平分BC.所以PB=PC.所以 PB+PE=PC+PE.所以当C,P,E 三，点在同一条直线上时，PB十PE的 值最小，最小值是CE的长 6.A解析：过点A,C分别作AE⊥ BC于点E,CF⊥AD于点F.因为 AB=AC,AE⊥BC,所以BE=CE 2C=3×4=2,∠BC=2∠CE 因为∠BAC=2∠CAD,所以∠CAE= ∠CAD.所以AC平分∠EAD.又因 为CE⊥EA,CF⊥AD,所以CE 1 CF=2.所以S△ACn=2AD·CF= 2×7x2=7. 7.4解析：因为AB=AC,AD BC,所以CD=BD.所以S△Ax 2Sam,即号AC·BF=2X7AB· DE.因为AC=AB,DE=2,所以 BF=2DE=4. 8.如图，作法如下： ①作∠MAN=∠a: ②作∠MAN的平分线AH: ③在AH上截取AD=a: ④过点D作AH的垂线，分别交 AM,AN于B,C两点. 所以△ABC即为所求作的等腰三 角形 (第8题) 9.过点E作EF⊥AC于点F. 所以∠AFE=90 又因为EA=EC, 所以AF=FC=AC. 因为AC=2AB,即AB=2AC, 所以AF=AB, 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD. 在△BAE和△FAE中， (AB-AF, 因为∠BAE=∠FAE, AE-AE, 所以△BAE≌△FAE(SAS)」 所以∠ABE=∠AFE=90, 所以EB⊥AB. 10.(1)因为在△ABC中，AB=AC, AD是BC边上的高线， 所以∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 因为∠BAD=30°， 所以∠CAD=30°. 因为AD=AE, 所以∠ADE=∠AED-2X(180 30°)=75 所以∠EDC=∠ADC-∠ADE= 90°-75°=15. (2)因为在△ABC中，AB=AC,AD 是BC边上的高线， 所以∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 因为∠BAD=40, 所以∠CAD=40°」 因为AD=AE, 所以∠ADE=∠AED= ×(180° 2 40°)=70° 所以∠EDC=∠ADC-∠ADE= 90°-70°=20°. (3)∠BAD=2∠EDC. (4)仍有∠BAD=2∠EDC. 理由：因为AD=AE, 所以∠ADE=∠AED, 所以∠BAD+∠B=∠ADC= ∠AIDE+∠EDC=∠AED+∠EDC= (∠EDC+∠C)+∠EDC= 2∠EDC+∠C. 因为AB=AC, 18 所以∠B=∠C. 所以∠BAD=2∠EDC. 2.4等腰三角形的 判定定理 1.D2.B3.10 4.(1)因为BD是△ABC的角平 分线， 所以∠CBD=∠EBD. 因为DE∥BC, 所以∠CBD=∠EDB. 所以∠EBD=∠EDB. (2)CD-DE. 理由：因为AB=AC, 所以∠C=∠ABC. 因为DEBC, 所以∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC. 所以∠ADE=∠AED. 所以AD=AE. 所以AC-AD=AB-AE,即CD=BE. 由(1)，得∠EBD=∠EDB, 所以BE=DE. 所以CD=DE. 5.D解析：①因为AB=AC,所以 △ABC是等腰三角形.②因为AB AC,∠A=36°，所以∠ABC=∠C= 72°.因为BD是△ABC的角平分线， 所以∠ABD=∠CBD= F2∠ABC= 36°.所以∠A=∠ABD=36°.所以 BD=AD.所以△ABD是等腰三角 形.③在△BCD中，因为∠BDC= 180°-∠CBD-∠C=180°-36° 72°=72°，所以∠C=∠BDC=72.所 以BC=BD.所以△BCD是等腰三角 形.④因为BE=BC,所以BD=BE 所以△BDE是等腰三角形.⑤因为 ∠BED=7×180-36)=72,所 以∠ADE=∠BED-∠A=72° 36°=36°.所以∠A=∠ADE.所以 DE=AE.所以△ADE是等腰三角 形.综上所述，题图中等腰三角形共有 5个.