2.2 等腰三角形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

△ABC≌△ADE,则∠C=∠E,故① ③正确：根据对称轴垂直平分连结两 个对称点的线段，可得直线1垂直平 分DB,故②正确：成轴对称的两个图 形的对应线段或对应线段的延长线如 果相交，那么交点一定在对称轴上，故 ④正确.综上所述，错误的有0个. 7.D解析：连结PC.因为EF垂直 平分BC,所以点B,C关于EF对称. 所以BP=CP.所以AP十BP AP+CP.当点A,P,C在同一条直 线上时，AP+CP有最小值，所以 AP+BP有最小值，最小值等于AC 的长.所以AP+BP的最小值是4. 8.C解析：因为△ABC沿EF翻 折，所以∠BEF=∠B'EF,∠CFE= ∠C'FE.所以180°一∠AEF=∠1+ ∠AEF,180°-∠AFE=∠2+ ∠AFE.因为∠1=95°，所以∠AEF= 2X(180°-95)=42.5.因为∠A十 ∠AEF+∠AFE=180°，∠A=60°， 所以∠AFE=180°一60°-42.5°= 77.5°.所以180°-77.5°=∠2+ 77.5°.所以∠2=25 9.5解析：如图，涂法共有5种 (第9题) 10.9 11.>解析：如图，记AP交BD于 点E.因为点A,P关于BD对称，所 以△PQE与△AQE关于BD对称. 所以∠AQB=∠PQB.因为∠PCB≥ ∠PQB,所以∠PCB>∠AQB: (第11题) 12.如图，分别作点A关于直线OM, ON的对称点A',A",连结A'A”,分 别交OM,ON于点B,C,则点B,C 即为所求作。 理由：如图，连结AB,AC 因为点A关于OM,ON的对称点分 别为A',A", 所以OM,ON分别是线段AA'和线 段AA"的垂直平分线， 所以A'B=AB,AC=A"C. 所以△ABC的周长=AB+BC+ AC=AB+BC+AC 根据“两点之间，线段最短”，可知当 A',B,C,A"四点在同一条直线上时， △ABC的周长最小， 所以按照上述作法作出的△ABC的 周长最小. A 0 1A” (第12题) 13.(1)因为∠B=40°，∠ACB=90, 所以∠BAC=50°. 因为.点P与点E重合，AE平分∠BAC, 所以点D在AB边上 由翻折知，∠ADC=∠ACD 因为∠ADC+∠ACD+∠BAC=180°， 所以∠ACD=∠ADC=65 所以a=∠ACB-∠ACD=25」 (2)如图①，当点P在线段BE上时， 因为∠ADC=∠ACD=90°-a, ∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD, 所以90°-a+3=40°+a. 所以2a-B=50° 如图②，当点P在线段CE上时，延长 AD交BC于点F. 因为∠ADC=∠ACD=90°-a, 15 ∠ADC=∠AFC+a=∠B+ ∠BAD+a=40°+B+a, 所以90°-a=40°+a+B. 所以2a十3=50°. 综上所述，a与3之间的数量关系为 2a-B=50°或2a+3=50°. D PE CB FE P C ① ② (第13题) 2.2等腰三角形 1.B2.C3.34.8cm 5.△ADC是等腰三角形. 理由：因为ABED, 所以∠B=∠E 在△ABC和△CED中， (AB=CE, 因为∠B=∠E, BC=ED, 所以△ABC≌△CED(SAS). 所以AC=CD. 所以△ADC是等腰三角形 6.C解析：根据题意，得x一4=0， 2x一y=0,解得x=4,y=8.当腰长 为4时，因为4十4=8，所以不能构成 三角形.当腰长为8时，因为4十8> 8,所以能构成三角形.此时等腰三角 形的周长=4+8十8=20. 7.D解析：连结AD.因为DE⊥ AB,DF⊥AC,所以S△Ax=S△AD十 S△XD=7AB·DE+ZAC·DF 因为S△=48，AB=AC=8,所以 1 2X8DE+z×8DF=48.所以 DE+DF=12.因为DF=2DE,所以 DE+2DE=12.所以DE=4.所以 DF=2×4=8. 8.D解析：由题意，得微型机器人从 点A开始行走1m停在点B处，行走 2m停在点C处，行走3m停在点D 处，行走4m停在点B处，行走5m 停在点E处，行走6m返回到点A 处.因为2025÷6=337…3，所以微 型机器人行走2025m停在点D处. 9.8解析：若AB为底边，则点C必 定在AB的垂直平分线上，由题图，易 知满足条件的点C有4个：若AB为 腰，A为顶角的顶点，则以点A为圆 心，AB长为半径画圆，由题图，易知 满足条件的点C有2个：若AB为腰， B为顶角的顶，点，则以点B为圆心， BA长为半径画圆，由题图，易知满足 条件的点C有2个.综上所述，满足 条件的点C的个数是8. 10.△BCD是等腰三角形 理由：因为AB,AC是等腰三角形 ABC的两腰，AD平分∠BAC, 所以AB=AC,∠BAD=∠CAD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC, 因为∠BAD=∠CAD, AD-AD, 所以△BAD≌△CAD(SAS) 所以BD=CD: 所以△BCD是等腰三角形 11.当3-2=4x-3,即x=1时，三 边长分别为1,1,4. 因为1+1<4， 所以不能构成三角形， 当3.x-2=6-2x,即x=1.6时，三 边长分别为2.8,3.4,2.8. 因为2.8+2.8>3.4， 所以能构成三角形，此时周长为 2.8+3.4+2.8=9. 当4x一3=6一2x,即x=1.5时，三 边长分别为2.5,3,3. 因为2.5+3>3， 所以能构成三角形，此时周长为 2.5+3+3=8.5. 综上所述，该等腰三角形的周长为9 或8.5. 12.分两种情况讨论： ①当AB为腰时，有3个等腰三角 形，其中当AB=AC时，有1个（如 图①)；当BA=BC时，有2个（如 图②) ②当AB为底边，即CB=CA时，有 1个等腰三角形（如图③）， 综上所述，当△ABC是等腰三角形 时，这样的点C有4个 C (① ② m ③ (第12题) 13.作法不唯一，如满足条件的所有 大小不同的等腰三角形如图①②③④ ⑤所示. ⑤ (第13题) 2.3等腰三角形的性质定理 第1课时等腰三角形的性质 定理1及其推论 1.C2.C3.100 4.∠BEC+∠BDC=110°. 理由：设∠BEC=a,∠BDC=A. 因为∠A=40° 所以a=∠A+∠ABE=40°+ ∠ABE. 因为BC=CE, 所以∠CBE=∠BEC=a. 16 所以∠ABC=∠ABE+∠CBE= ∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE. 因为在△BDC中，BD=BC, 所以∠BDC=∠BCD=A. 所以∠BDC+∠BCD+∠DBC= 23+40°+2∠ABE=180°. 所以B=70°一∠ABE 所以a+3=40°+∠ABE+70°- ∠ABE=110°. 所以∠BEC+∠BDC=110°. 5.D解析：因为AB=AC=BD,所 以∠B=∠C,∠BAD=∠1.因为 ∠B+∠1+∠BAD=180°，所以 ∠C+2∠1=180°.因为∠C=∠1 ∠2，所以∠1-∠2+2∠1=180°.所 以3∠1-∠2=180°. 6.B解析：因为△ABC是等边三角 形，所以∠BAC=∠ACB=60°.因为 BC⊥CD,所以∠BCD=90°.所以 ∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+ 90°=150°.因为AC=CD,所以 ∠CAD=∠D=180°-∠ACD 2 180°-150=15.所以∠BAD= 2 ∠BAC-∠CAD=60°-15°=45. 7.10°解析：连结DA,DC.因为 ∠BAC=80°，所以∠ABC+ ∠ACB=180°-80°=100°.因为DE, DF分别垂直平分边AB,AC,所以 DA=DB,DA=DC.所以DB=DC, ∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA. 所以∠DBA+∠DCA=∠DAB+ ∠DAC=80°.所以∠DBC=∠CB= 合×o-80)=10 8.15解析：因为△ABC是等边三 角形，所以∠ACB=60°.因为CG= CD,所以∠CGD=∠GDC.又因为 ∠ACB=∠CGD+∠GDC,所以 ∠GDC=30°.因为DF=DE,所以 ∠E=∠DFE.又因为∠GDC= ∠E+∠DFE,所以∠E=15°. 9.10或100°解析：因为在△ABC 中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，所以拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 2.2 等腰三角形 自基础进阶 幻素能攀升 1.已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此 6.分类讨论思想已知等腰三角形的两边长为x, 等腰三角形的周长为 ( y,且满足|x一4十(2x一y)2=0,则该等腰 A.13 B.17 三角形的周长为 C.13或17 D.13或10 A.12 B.16 2.有下列说法：①等腰三角形是轴对称图形； C.20 D.16或20 ②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线； 7.如图，在△ABC中，AB=AC=8,D为底边 ③等腰三角形的对称轴至少有一条；④等边 BC上一点，过点D分别作DE⊥AB于点 三角形的对称轴有三条.其中，正确的有 E,DF⊥AC于点F.若△ABC的面积为48， ( DF=2DE,则DF的长为 () A.1个B.2个C.3个 D.4个 A.4 B.5 3.等边三角形ABC的边长如图所示，那么y= C.6 D.8 2x+3 B D 6-x (第7题) (第8题)》 (第3题) 8.新情境·新科技如图，两个全等的等 4.将一个长为20cm的绳子围成一个等腰三角 边三角形的边长为1m,一个微型机 形，已知一边长为4cm,则这个等腰三角形的 器人由点A开始按A→B→C> 腰长是 D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循 5.如图，C为线段BE上一点，点A,D分别在 环运动，行走2025m停下，则这个微型机器 BE的两侧，AB∥ED,AB=CE,BC=ED, 人停在 () 连结AC,AD,CD.判断△ADC是否为等腰 A.点A处 B.点B处 三角形，并说明理由. C.点C处 D.点D处 9.在如图所示的正方形网格中，网格 线的交点称为格点.已知A,B是两 个格点，若C也是图中的格点，且使 (第5题) 得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是 (第9题) 34 第2章特殊三角形 10.如图，AB,AC是等腰三角形ABC的两腰，12.如图，直线m与n相交于点B,A是直线m AD平分∠BAC,连结BD,CD,则△BCD 上一点，在直线n上找一点C,使△ABC是 是等腰三角形吗？请判断并说明理由. 等腰三角形，则这样的点C有多少个？请 作出所有的等腰三角形， B A (第12题) 0 (第10题) 11.分类讨论思想已知一个等腰三角形的三边长 分别为3x一2,4x一3,6一2x,求该等腰三 角形的周长 思维拓展 13.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请作出以A为一个顶点，另外 两个顶点在正方形ABCD的边上 且至少有一条边的长为3的所有大小不同 的等腰三角形（要求：只要作出示意图，并在 所作的等腰三角形长为3的边上标注数字3 即可) B (第13题) 35