第1章 三角形的初步认识 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

所以∠ADC=∠ECF. 因为E是CD的中点， 所以DE=EC. 在△ADE和△FCE中， ∠ADE=∠FCE 因为DE=CE, ∠AED=∠FEC, 所以△ADE2△FCE(ASA). 所以FC=AD. (2)AB=BC+AD 理由：因为△ADE≌△FCE, 所以AE=FE,AD=FC. 又因为BE⊥AF, 所以BE是线段AF的垂直平分线 所以AB=BF=BC+CF」 因为AD=FC 所以AB=BC+AD. 1.7角平分线的性质 1.B2.15 3.因为AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC, 所以DE=DF,∠BED=∠CFD=90 在△BED和△CFD中， (BE=CE 因为∠BED=∠CFD, DE=DE, 所以△BED≌△CFD(SAS) 所以BD=CD,即D是BC的中点！ 4.B解析：因为角平分线上的点到 角两边的距离相等，所以△ABC三条 角平分线的交，点到△ABC三边的距 离相等.所以凉亭的位置应选在 △ABC三条角平分线的交点！ 5.C解析：如图，过点P作PF⊥ AC于点F,PG⊥BC于点G,PH⊥ AB于点H.因为△ABC的外角平分 线BD与CE相交于点P,点P到AC 的距离为3，所以PH=PG=PF=3. 所以，点P到AB的距离为3. D B H (第5题) 6.C解析：当PE⊥BC时，PE的长 取得最小值.因为AB∥CD,AD过，点 E,且DA⊥AB,所以AD⊥CD.因为 BE和CE分别平分∠ABC和 ∠BCD,所以PE=AE,PE=DE,即 PE=专AD.因为AD=8,所以 PE=4,即PE长的最小值为4. 7.2解析：过点D作DF⊥BC,交 BC的延长线于点F.因为BD是 ∠ABC的平分线，DE⊥AB,所以 DE=DF.因为△ABC的面积是 15cm2,AB=9cm,BC=6cm,所以 3AB·DE+·DF=15.所以 9DE+6DE=30.所以DE=2cm. 8.(1)如图，射线AM即为所求作： (2)因为∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠B=30°，∠C=90°， 所以∠BAC=180°-30°-90°=60°. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=合∠BAC=号X 1 60°=30° 所以∠ADC=∠BAD+∠B=30°+ 30°=60°. M (第8题) 9.因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， (AB=CB, 因为∠ABD=∠CBD, BD=BD, 所以△ABD≌△CBD(SAS) 所以∠ADB=∠CDB 又因为PM⊥AD,PN⊥CD, 所以PM=PN. 12 方法归纳 运用角平分线的 性质的两点注意 (1)运用角平分线的性质时 角平分线、角平分线上的点到角两 边的距离两个条件缺一不可，不能 错用为角平分线上的点到角两边 任意点的距离相等. (2)由角平分线的性质不用证 全等可以直接得到线段相等，这是 证线段相等的一个简便方法。 10.6:5:3解析：过点O作OD AB于点D,OE⊥BC于点E,OF1 AC于点F.因为AO,BO,CO分别位 于△ABC的角平分线上，所以OD= OE=OF.所以S△Ao：S△D· Saco=(号AB·OD):(2BC· OE):(2CA·OP)=AB:BC: CA=12:10:6=6:5:3. 1L.过点D作DM⊥AB于点M, DN⊥AC于点N,则∠EMD= ∠FND=90. 因为AD平分∠BAC,DM⊥AB, DN⊥AC, 所以DM=DN. 因为∠EDF+∠EAF=180°， 所以∠MED+∠AFD=180°X2 180°=180. 因为∠AFD+∠NFD=180°， 所以∠MED=∠NFD. 在△EMD和△FND中， 1∠MED=∠NFD, 因为{∠EMD=∠FND, DM-DN, 所以△EMD≌△FND(AAS). 所以DE=DF. 第1章整合拔尖 [高频考点突破] 典例12解析：若分长度为4cm 的木棒，则分得的两段木棒的长度之 和为4cm<6cm,不能做成三角形： 若分长度为6cm的木棒，则可分为 1cm和5cm,2cm和4cm,3cm 和3cm,因为1+4=5，所以长度为 1cm,4cm,5cm的木棒不能做成 三角形，所以可采用的方案有2种 [变式]C 典例2D [变式]D 典例3如图①，当△ABC为锐角三 角形时， 因为BD为AC边上的高线， 所以∠ADB=90° 因为∠ABD=30, 所以∠A=180°-∠ADB ∠ABD=180°-90°-30°=60°. 因为∠A+∠ABC+∠C=180°， 所以∠ABC+∠C=120. 因为∠ABC=∠C, 所以∠C=60°. 如图②，当△ABC为钝角三角形时， 因为BD为AC边上的高线， 所以∠ADB=90°， 因为∠ABD=30, 所以∠BAD=180°-∠ADB ∠ABD=180°-90°-30°=60° 所以∠BAC=180°-∠BAD=180° 60°=120° 因为∠BAC+∠ABC+∠C=180°， 所以∠ABC+∠C=60. 因为∠ABC=∠C, 所以∠C=30°. 综上所述，∠C的度数为60或30. ① 0 A B ② (典例3图) 易错警示 角度计算中三角形的 形状不确定问题 角度计算中若涉及高线，要注 意三角形的形状对高线位置的影 响，锐角三角形的高线在三角形的 内部，钝角三角形的两条高线在三 角形的外部. [变式]100°解析：因为∠ACE= 40°，CE⊥AB,所以∠A=180° 90°-40°=50°.因为∠ABC=60°，BD 平分∠ABC,所以∠ABD=30°.所以 ∠ADB=180°-∠A-∠ABD= 180°-50°-30°=100°」 典例4(1)因为EF⊥AC, 所以∠E=90. 因为∠ACB=90, 所以∠DCB=180°-∠ACB=90. 所以∠E=∠DCB=90° 在△DEF和△DCB中 ∠E=∠DCB, 因为∠EDF=∠CDB, EF=CB, 所以△DEF≌△DCB(AAS). 所以DE=DC. (2)∠FGE+∠ABC=90°. 理由：因为DE=DC, 所以CE=2DC. 因为AG=2DC, 所以AG=CE. 所以AG+CG=CE+CG. 所以AC=EG. 在△FEG和△BCA中， (EF=CB, 因为∠E=∠ACB=90°， EG-CA, 所以△FEG2△BCA(SAS) 所以∠FGE=∠A. 因为∠ACB=90°， 所以∠A+∠ABC=180°-90°=90° 所以∠FGE+∠ABC=90°. ·方法归纳 判定两个三角形 全等的一般思路 1.已知两边：(1)找夹角 SAS;(2)找第三边SSS. 2.已知一边一角：(1)边为角 的对边→找任一角→AAS.(2)边 为角的邻边：①找角的另一邻边· SAS:②找边的另一邻角→ASA: ③找边的对角·AAS. 3.已知两角：(1)找夹边~ ASA:(2)找任一角的对边→AAS. 13 [变式]因为∠B+∠ADC=180°， ∠ADG+∠ADC=180°， 所以∠ADG=∠B. 在△ADG和△ABE中， DG=BE, 因为∠ADG=∠B, AD-AB, 所以△ADG2△ABE(SAS). 所以AG=AE. 因为EF=BE+FD,DG=BE, 所以EF=DG+FD=GF, 在△AGF和△AEF中， AG-AE, 因为AF=AF, GF=EF, 所以△AGF≌△AEF(SSS). 所以∠FAG=∠EAF=55 典例5B解析：由作图过程可知， DE垂直平分AC,所以AD=CD.因 为△ADC的周长是16，所以AD十 CD+AC=16.又因为AC=2AD 4,所以AD+AD+2AD一4=16.所 以AD=5.所以CD=5. [变式]10 典例64 [变式]10 [综合素能提升] 1.B解析：①长度分别为5,3,4，能 构成三角形，且最长边的长为5；②长 度分别为2,6,4，不能构成三角形： ③长度分别为2,7,3，不能构成三角 形；④长度分别为6,3,3，不能构成三 角形.综上所述，得到的三角形的最长 边的长为5. 2.C解析：对于A,如图①，∠1是 锐角，且∠1=∠a十∠3，所以此图无 法说明“锐角α，锐角3的和是锐角” 是假命题.故A不符合题意.对于B, 如图②，∠2是锐角，且∠2=∠α十 ∠3，所以此图无法说明“锐角a,锐角 3的和是锐角”是假命题.故B不符合 题意.对于C,如图③，∠3是钝角，且 ∠3=∠a十∠3，所以此图能说明“锐 角α，锐角B的和是锐角”是假命题. 故C符合题意.对于D,如图④，∠4 是锐角，且∠4=∠α十∠3，所以此图 无法说明“锐角α，锐角3的和是锐 角”是假命题.故D不符合题意 12 人B ① ② 人B64 ③ ④ (第2题) 3.B解析：连结CD.因为D是AG 1 的中点，所以SAAm=2S△AG, 1 S△Xn=2 SAN,所以S△AD十 1 1 San=2SaA十2 SANGE= 1 S△Nx=24,所以SAn= 1 2S△AMm=24.因为E是BD的中点， 1 所以SaR=2SAD=12因为F是 1 CE的中点，所以Sar=2Saxn=6. 4.110°解析：因为△ABE2△DBC, ∠DBC=130°，所以∠ABE=∠DBC= 130°，∠E=∠C=20°.所以∠ABD+ ∠DBE+∠EBC+∠DBE=26O°.因 为∠ABD+∠DBE+∠EBC=180°， 所以∠DBE=80°.所以∠EBC= ∠DBC-∠DBE=130°-80°=50. 所以∠1=180°-∠C-∠EBC= 180°-20°-50°=110. 5.24解析：因为DE垂直平分AC, 所以DC=AD.因为△ABD的周长 为16cm,所以AB+BC=AB+ BD+DC=AB+BD+AD=16 cm. 因为AC=8cm,所以△ABC的周长 AB+BC+AC=16+8=24(cm). 6.10解析：如图，过点P作PH MN于点H,PC⊥OA于点C,PD⊥ OB于点D,连结PO.因为MP平分 ∠AMN,NP平分∠MNB,所以 PC=PH,PD=PH.所以PC=PD. 因为△PMN的面积=2MN· PH=6,MN=4,所以PH=3.所以 PC=PD=3.因为△PMN的面积是 6,△OMN的面积是9，所以S△M+ S△oN=6+9=15.所以2OM· PC+2ON·PD=15.所以3(OM+ ON)=30.所以OM+ON=10. A M HP-Sp 0 N DB (第6题) 7.因为DE是CA边上的高线， 所以∠DEA=∠DEC=90. 因为∠A=20°， 所以∠EDA=180°-∠DEA ∠A=180°-90°-20°=70°. 因为∠EDA=∠CDB, 所以∠CDE=180°一∠EDA ∠CDB=180°-70°-70°=40°. 所以∠DCE=180°-∠DEC ∠CDE=180°-90°-40°=50. 因为CD是∠BCA的平分线， 所以∠BCA=2∠DCE=2X50° 100°. 所以∠B=180°-∠BCA-∠A= 180°-100°-20°=60°. 8.(1)因为BD⊥直线m,CE⊥ 直线m, 所以∠BDA=∠AE℃=90°」 所以∠BAD+∠ABD=180° ∠BDA=90. 因为∠BAC=90°， 所以∠BAD+∠CAE=180° ∠BAC=90°. 所以∠ABD=∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∠BDA=∠AEC, 因为 ∠ABD=∠CAE, AB-CA. 所以△ADB≌△CEA(AAS). 所以BD=AE,AD=CE. 14 所以DE=AE+AD=BD+CE (2)成立. 因为∠BDA=∠BAC=a, 所以∠ABD+∠BAD=∠BAD+ ∠CAE=180°-a. 所以∠ABD=∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∠BDA=∠AEC, 因为∠ABD=∠CAE, AB=CA, 所以△ADB≌△CEA(AAS). 所以BD=AE,AD=CE. 所以DE=AE+AD=BD+CE. 方法归纳 解决探索猜想型问题的一般方法 解决这类问题时，一般运用类 比、转化的思想方法，需要在探索 解决特殊情形问题时的思路的基 础上，将方法类比运用到所要解决 的猜想型问题中，并对问题进行适 当转化后加以解决」 第2章 特殊三角形 2.1图形的轴对称 1.A2.D3.2 4.(1)如图，△A'B'C即为所求作. (2)如图，直线A'B与直线1的交点 D即为所求作。 (第4题)》 方法归纳 画轴对称图形的一般步骤 (1)找：在原图形上找特殊点. (2)画：画各个特殊点关于对 称轴的对称点 (3)连：依次连结这些点 5.c 6.A解析：根据轴对称的定义，可得拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 第1章整合拔尖 知识体系构建 认识三角形 概念。不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 按角分类。锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 三条重要的线段三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高线 定义与命题 定义的概念 命题的概念、真命题的概念、假命题的概念 证明 证明的概念 三角形的外角性质定理 三角形 全等图形的概念 全等三角形 初步知识 全等三角形概念 性质对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等 全等三角形的判定 边边边(SSS) 边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS) 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 线段垂直平分线的性质 角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 S幻高频考点突破 考点一三角形的三边关系 考点二命题 典例1现有两根长分别为4cm和6cm的木 典例2(2024·宁波余姚期中)给出下列命题： 棒，小明想将其中一根分成两段，做成一个三角 ①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形 形，且三角形的三边长均为整数，则可采用的方 任何一外角等于两内角之和；③两边和一角对 案有 种 应相等的两个三角形全等.其中，属于真命题 [变式]一位木工师傅有两根长分别是30cm和 的是 70cm的木条，他需要用第三根木条钉成一个封 A.①③ B.②③C.①②D.① 闭的三角形框架，则第三根木条的长度可以为 [变式]能说明命题“一个钝角与一个锐角的差 ( 一定是锐角”为假命题的反例是 () A.30 cm B.40 cm C.90 cm D.110 cm A.∠1=92°，∠2=40 28 第1章三角形的初步知识 B.∠1=89°，∠2=2 (2)若G是AC上一点，满足AG=2DC,连结 C.∠1=110°，∠2=30 FG,请你判断∠FGE和∠ABC的关系，并证明 D.∠1=103°，∠2=3 你的结论， 考点三三角形的内外角性质 提示 (1)根据垂直的定义可得∠E=90°，利用平角 典例3易错题在△ABC中，∠ABC=∠C, 的定义可得∠DCB=90°，从而可得∠E=∠DCB= BD是AC边上的高线，∠ABD=30°，求∠C的 90°，然后利用“AAS”证明△DEF≌△DCB,从而利 度数 用全等三角形的性质可得DE=DC,即可解答 提示 (2)利用(1)的结论可得CE=2DC,从而可得 本题中△ABC的形状未确定，可能为锐角三角 AG=CE,再利用等式的性质可得AC=EG,然后利 形，也可能是钝角三角形，故要画出所有可能的图形， 用“SAS”证明△FEG≌△BCA,从而利用全等三角 根据三角形高线的定义可得∠ADB=90°，先根据三 形的性质可得∠FGE=∠A,再根据三角形的内角和 角形的内角和求得∠BAC的度数，然后根据三角形 可得∠A十∠ABC=90°，从而利用等量代换可得 内角和定理可得∠C的度数 ∠FGE+∠ABC=90°，即可解答. [变式]如图，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B+∠ADC=180°，E,F分别是BC,CD上的 点，且EF=BE+FD,连结AE,AF.延长FD [变式]如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACE= 到点G,使DG=BE,连结AG.若∠EAF=55°， 40°，BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥AB 求∠FAG的度数. 于点E,则∠ADB的度数为 考点四全等三角形的判定与性质 典例4★如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，延长AC至点E,过 XD 考点五线段垂直平分线的性质 点E作EF⊥AC,使EF=BC,连 典例5如图，在△ABC中，分别以点A,C为 结BF交CE于点D (1)求证：DE=DC. (典例4图) 圆心，大于2AC的长为半径作弧，两弧相交于 29 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 点M,N,连结MN,交AB于点D,交AC于点 考点六角平分线的性质 E,连结CD.若AC=2AD-4,△ADC的周长 典例6(2024·杭州拱墅期中)如图，在△ABC 是16，则CD的长为 中，∠C=90°，BP平分∠ABC,AC=10,AP: PC=3:2,则点P到AB的距离为 D M个 (典例5图) A.4 B.5 (典例6图) C.6 D.4.5 [变式](2024·湖州吴兴段考)如图，射线O℃ [变式]如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分 是∠AOB的平分线，D是射线OC上一点， 线分别交BC于点E,F,若AB=5,AC=8, DP⊥OA于点P,DP=5,若Q是射线OB上一 BC=10,则△AEF的周长为 点，OQ=4,则△ODQ的面积是 0 0 B 综合素能提升 1.长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连，4.如图，在△ABE和△DBC中，点A,B,C在 围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折 同一条直线上，∠E=20°，∠DBC=130°.若 断)，得到的三角形的最长边的长为( △ABE≌△DBC,则∠1的度数为 A.4 B.5 C.6 D.7 2.能说明“锐角α，锐角3的和是锐角”为假命题 的图是 B D (第4题) (第5题) 5.如图，DE垂直平分AC,交BC于点D,交 a AC于点E,AC=8cm,△ABD的周长为 A B. 16cm,则△ABC的周长为 cm 6.如图，在∠AOB的边OA,OB上 B 取点M,N,连结MN,MP平分 D. 3.如图，在△ABC中，G是边 ∠AMN,NP平分∠MNB.若 BC上任意一点，D,E,F分 MN=4,△PMN的面积是6，△OMN的面 D 别是AG,BD,CE的中点，B么 E 积是9，则OM+ON的值是 SAARC=48,则S△DEr的 (第3题) M 值为 A.4.8B.6 C.8 D.12 (第6题) 30 第1章三角形的初步知识 7.如图，在△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA8.★新考法·探究题(1)如图①，在 的平分线，在△CDA中，DE是CA边上的高 △ABC中，∠BAC=90°，AB= 线，∠EDA=∠CDB,求∠B的度数， AC,直线m经过点A,BD⊥直线 B m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证： DE=BD+CE. E (2)如图②，对(1)中的条件进行如下修改： (第7题)》 在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直 线m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, 其中90°<a<180°.此时DE=BD+CE是 否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由 E m A E m ② (第8题) 31