第1章 专题特训1 三角形的边角关系-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

△BOH中，∠AOE=∠B+∠BHO 在△DFH中，∠BHO=∠D+∠F. 所以∠AOE=∠B+∠D十∠F②.由 ①+②，得2∠AOE=∠A+∠B+ ∠C+∠D+∠E+∠F.因为 ∠AOE=60°，所以∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E+∠F=2×60°=120°. 9.在△BCP中，∠BPC+∠2+ ∠BCP=180°， 所以∠BPC=180-(∠2+∠BCP). 又因为∠1=∠2， 所以∠BPC=180°-（∠1+∠BCP). 所以∠BPC=180°-∠ACB 所以∠ACB+∠BPC=180°，即 ∠ACB与∠BPC互补. 10.∠ACB的度数不随点A,B的移 动而发生变化. 理由：因为BC,AC分别平分∠DBO, ∠OAB, 所以∠DBC=2 ∠DBO,∠BAC= 2∠OAB. 1 因为∠DBO=∠OAB+∠AOB, 所以∠DBO-∠OAB=∠AOB=90°. 因为∠DBC=∠BAC十∠ACB, 所以司 1 ∠DBO=2∠OAB+ ∠ACB. 所以∠ACB=(∠D0-∠OAB) 名∠A0B=45 11.(1)因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠DAC. 因为∠EFD=∠DAC+∠AEB, ∠ALDC=∠ABC+∠BAD,∠AEB= ∠ABC, 所以∠EFD=∠ADC. (2)(1)中的结论仍成立. 因为AD平分∠BAG, 所以∠BAD=∠GAD. 因为∠FAE=∠GAD, 所以∠FAE=∠BAD. 因为∠EFD=∠AEB-∠FAE, ∠ADC=∠ABC-∠BAD,∠AEB= ∠ABC, 所以∠EFD=∠ADC, 一方法归纳 运用转化思想探求角度 数量关系的一般方法 解答这类求角度间数量关系 的问题时，常常运用转化的数学思 想将某个角转化为某个三角形的 内角或外角，从而使未知条件转化 为已知条件，并运用三角形的内角 和定理及其推论解决问题」 专题特训一三角形的 边角关系 1.C解析：设第三根木棒的长度为 xm.根据三角形的三边关系，可得 5-3<x<5十3，所以2<x<8.根据 木棒的规格与对应价格可知，选长度 为3的木棒最便宜，所以小明的爷 爷带的钱至少应为20元. 2.C解析：因为边长为整厘米数， 所以最短边的长最小为1cm,此时另 外两边长之和为14cm.所以搭成的 三角形中最长边的长最大为7cm.当 三边相等时，最长的边最短，此时长为 15÷3=5(cm),所以搭成的三角形中 最长边的长可以为5cm,6cm,7cm. 分三种情况讨论：①当三角形的最长 边的长为7cm时，有4种截法：7cm, 7 cm,1 cm;7 cm,6 cm,2 cm:7 cm, 5cm,3cm;7cm,4cm,4cm;②当三 角形的最长边的长为6cm时，有2种 截法：6cm,6cm,3cm:6cm,5cm, 4cm:③当三角形的最长边的长为 5cm时，有1种截法：5cm,5cm, 5cm.综上所述，截法共有4+2十1 7(种). 3.<解析：因为在△BCD中 BD-BC<CD,所以BD-BC< AD一AC.因为AB=AC,所以BD一 BC<AD-AB. 4.<解析：因为a,b,c是△ABC 的三边长，所以a十c>b,b十c>a,则 a+c-b>0,a-b一c<0.所以(a 5 b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)= (a+c-b)(a-b-c)<0. 5.(1)由题意知，第三条边长为30一 a-(2a+2)=(28-3a)m. (2)第一条边长不可以为7m. 理由：当第一条边长为7m时，三边长 分别为7m,16m,7m. 因为7+7<16， 所以不能构成三角形 所以第一条边长不可以为7m 4a+2b-18=0, 6.解方程组 4b-3a+8=0, a=4, 得 b=1. 根据三角形的三边关系，得a一b< c<a+b,即4一1<c<4+1, 所以3<c<5. 因为三角形的周长为整数，a十b=5 为整数， 所以c为整数， 所以c=4. 所以这个三角形的周长为4十1十4=9. 7.A解析：因为∠DBA=120°， ∠ECA=125°，所以∠ABC=180° ∠DBA=60°，∠ACB=180° ∠ECA=55.所以∠A=180° ∠ABC-∠ACB=180°-60°- 55°=65. 8.B解析：因为∠1=∠A+ ∠ACB,∠2=∠A+∠ABC,所以 ∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+ ∠ABC=(∠A+∠ACB+∠ABC)+ ∠A.又因为∠A+∠ACB+∠ABC= 180°，∠A=50°，所以∠1+∠2= 180°+50°=230°. 9.160解析：如图，延长ED交BC 于点F.因为AB∥DE,所以∠1= ∠B=130°.所以∠2=180°-∠1= 50°.所以∠CDE=∠2+∠C=50°+ 110°=160°. B D E C (第9题) 10.74°解析：因为∠D+∠3 ∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+ ∠2=∠ACB,所以∠D+∠E十 ∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+ ∠ABC+∠ACB=180°.因为∠D+ ∠E+∠F=106°，所以∠1+∠2+ ∠3=180°-（∠D+∠E+∠F)= 180°-106°=74°. 11.∠ACB=3∠ECB. 理由：因为∠GAF=∠F, 所以∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F 因为∠ACG=∠AGC, 所以∠ACG=2∠F. 因为易知ADBC, 所以∠ECB=∠F, 所以∠ACG=2∠ECB. 所以∠ACB=∠ACG+∠ECB= 2∠ECB+∠ECB=3∠ECB. 12.(1)连结CD,设CE与BD的交 点为O. 在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ECD+ ∠BDC+∠ADB=∠A+∠ACD+ ∠ADC=180. 因为∠EOD是△BOE,△COD的外角， 所以∠EOD=∠B+∠E=∠ECD+ ∠BDC. 所以∠A+∠B+∠E+∠ACE+ ∠ADB=∠A+∠ECD+∠BDC+ ∠ACE+∠ADB=180. (2)无变化. 理由：因为∠DAE,∠BAC分别是 △BAD,△CAE的外角， 所以∠DAE=∠B+∠D,∠BAC ∠C+∠E 又因为∠CAD+∠DAE+∠BAC= 180°， 所以∠CAD+∠B+∠C+∠D+ ∠E=∠CAD+∠DAE+∠BAC=180°. (3)无变化. 理由：因为∠ACB是△ACD的外角， 所以∠ACB=∠CAD+∠D. 同理，得∠ECD=∠B十∠E 又因为∠ACB+∠ACE+∠ECD 180°， 所以∠CAD+∠D+∠ACE+∠B+ ∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=18O. 1.4全等三角形 1.B2.C3.5 4.(1)因为△ABC2△DCB, 所以对应角是∠A和∠D,∠ACB和 ∠DBC,∠ABC和∠DCB: 对应边是AB和DC,AC和DB,BC 和CB. (2)因为△ABC≌△DCB, 所以∠ABC=∠TDCB,∠ACB=∠DBC. 所以∠ABC-∠DBC=∠DCB ∠ACB,即∠ABD=∠DCA. 5.D解析：因为△ADB≌△EDB≌ △EDC,所以∠A=∠DEB= ∠DEC,∠ABD=∠EBD=∠C.因 为∠DEB+∠DEC=180°，所以 2∠DEB=180°.所以∠DEB=90°. 所以∠A=90°.在△ABC中，因为 ∠A+∠ABC+∠C=180°，即∠A+ ∠ABD+∠DBE+∠C=180°，所以 90°+3∠C=180°.所以∠C=30°. 6.D解析：当△ABC≌△PQA时， AC=PA=8cm.因为，点P运动的速 度为2cm/s,所以点P运动的时间为 8÷2=4(s).当△ABC≌△QPA时， BC=PA=4cm.因为点P运动的速 度为2cm/s,所以点P运动的时间为 4÷2=2(s).所以点P运动的时间为 2s或4s. 一方法归纳 根据全等三角形的 性质解决问题 条件中给出三角形全等，常常 需要运用全等三角形的性质，揭示 其隐含的边或角之间的关系.由于 三角形对应元素之间的不确定性， 解决这类问题的一般方法是运用 分类讨论的数学思想，对其中的边 或角进行分类并加以讨论，建立恰 当的方程，从而求得结果 7.(180一2x)解析：延长C'D交 AC于点G.因为△ADC2△ADC', 6 △AEB≌△AEB',∠BAC=x°，所以 ∠ACD=∠C',∠CAD=∠C'AD= x°，∠BAE=∠B'AE=x°，∠ABE= ∠B'.所以∠CGC=∠C'+∠C'AG= ∠C'+2x°.因为C'D∥EB',所以 ∠AEB'=∠C'GC.因为∠AEB'= 180°-∠B-∠B'AE=180°-∠B′ x°，所以∠C+2.x°=180°-∠B′ x.所以∠C+∠B=180°-3x°.因 为∠BFC=∠DBF+∠BDF= ∠B'+∠BDF,∠BDF=∠CAD+ ∠ACD=∠CAD+∠C',所以 ∠BFC=∠B'+∠CAD+∠C'= ∠CAD+(∠C'+∠B)=x°+ 180°-3.x=(180-2.x)°. 8.答案不唯一，如图所示 (第8题) 9.因为△ABC≌△ADE, 所以∠ACB=∠AED,∠ABC= ∠ADE,∠CAB=∠EAD. 因为∠ADE=25°， 所以∠ABC=∠ADE=25°. 因为∠ACB=105, 所以∠CAB=180°-∠ACB- ∠ABC=180°-105°-25°=50°. 所以∠EAD=∠CAB=50. 又因为∠CAD=10°， 所以∠DFB=∠DAB+∠ABC= ∠CAB+∠CAD+∠ABC=50°+ 10°+25°=85°，∠AGB=∠ACB ∠GAC=∠ACB-(∠EAD+∠CAD)= 105°-(50°+10)=45. 10.(1)3.解析：因为△ABC≌ △DEB,DE=8,BC=5,所以AB= DE=8,BC=EB=5.所以AE= AB-EB=8-5=3. (2)①因为△ABC2△DEB,∠D= 35,∠C=60, 所以∠A=∠D=35°，∠C= ∠DBE=60. 因为∠A+∠ABC+∠C=180°，拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 专题特训一 类型一利用三角形的三边关系解题 1.某木材市场上木棒的规格与对应的价格如 下表： 规格 1m 2m 3m 4m 5m6m 价格/（元/根）101520 253035 小明的爷爷要做一个三角形木架，现有两根 长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该 木材市场购买一根木棒，则小明的爷爷带的 钱至少应为 A.10元B.15元C.20元D.25元 2.把15cm长的小木棒截成长度均为整厘米数 的三段后，搭成三角形，截法（不能有剩余） 共有 A.5种B.6种C.7种 D.8种 3.如图，在△ABC中，点D 在AC的延长线上.若 AB=AC,则BD一BC (填“>”“<”或 (第3题)》 “=”)AD-AB 4.若a,b,c是△ABC的三边长，则(a一b)2 c2 (填“>“<”或“=”)0. 5.小王准备用一段长为30m的篱笆围成一个 三角形场地，用于饲养家兔，已知第一条边长 为am,由于受地势限制，第二条边长比第一 条边长的2倍多2m. (1)请用a表示第三条边长. (2)第一条边长可以为7m吗？请判断并说 明理由. 12 角形的边角关系 6.已知一个三角形的三边长分别是a,b,c,其 4a+2b-18=0, 中a和b满足方程 若这个 4b-3a+8=0. 三角形的周长为整数，求这个三角形的周长 类型二利用三角形的内角和定理及其推论解题 7.如图，考古学家发现在地下A处有一座古 墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道， 准备在B,C处开工挖出“V”字形通道.若 ∠DBA=120°，∠ECA=125°，则∠A的度 数是 A.65° B.809 C.85 D.90° D B C 管道 A 古墓 (第7题) (第8题) 8.如图，在△ABC中，∠A=50°，则∠1+∠2 的度数是 A.180 B.230° C.280° D.无法确定 9.如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一个拐 角处∠B=130°，第二个拐角处∠C=110°， 为了保持公路AB与DE平行，则第三个拐 角处∠D的度数为 D (第9题) (第10题) 10.如图，D,E,F分别是△ABC的三边的延长 线上的点.若∠D+∠E+∠F=106°，则 ∠1+∠2+∠3= 11.新考向·数学文化“三等分一个任意角”是数 学史上一个著名的问题.今天人们已经知 道，仅用圆规和直尺是不可能作出来的.有 人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四 边形ABCD是长方形，F是DA延长线上 的一点，连结CF交AB于点E,G是CF 上的一点，且∠ACG=∠AGC,∠GAF ∠F,请写出∠ECB和∠ACB之间的数量 关系，并说明理由， R (第11题) 第1章三角形的初步知识 2.下列为五角星和它的变形 (1)如图①所示为一个五角星，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的 度数 (2)如图②，当把图①中的点A向下移动到 线段BE上时，五个角的度数和（即 ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变 化？请判断并说明理由， (3)如图③，把图②中的点C向上移动到线 段BD上，五个角的度数和（即∠CAD十 ∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化？请 判断并说明理由 ③ (第12题) 13