1.5 三角形全等的判定-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 1.5 三角形全等的判定 第1课时用“SSS”判定三角形全等 ☑基础进阶 5.如图，BC=DB,点E在线段BC上，且CA 1.如图，在△ABC中，AB=AC,BE=CE,则 BE,BA=DE. 直接由“SSS”可以判定 ( (1)求证：△ABC≌△EDB (2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由. B (第1题) A.△ABD≌△ACD (第5题) B.△BDE≌△CDE C.△ABE≌△ACE D.△ABE≌△BCE 2.(2024·宁波海曙期中)如图，人字梯中间一 般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 司素能攀升 6.如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列说法 中，错误的是 (第2题) (第3题) 3.如图，在△ABC中，AD=ED,AB=EB.若 ∠A=80°，则∠CED= 4.如图，∠AOB=48°，C为射线OB上一点，用 (第6题)》 尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，任 A.∠DAE=∠BB.∠C=∠EAC 意长为半径作弧，交OA于点D,交OB于点 C.∠DAE=∠EACD.AEBC E;②以点C为圆心，OD长为半径作弧，交 7.如图，在四边形ACBD中，CA=CB,AD OC于点F;③以点F为圆心，DE长为半径 BD,M,N分别为边CA,CB上一点.若 作弧，交前面的弧于点G;④连结CG并延长 ∠ADN=80°，∠BDN=30°，则∠CDN的度 交OA于点H.由上可知，∠AHC的度数为 数为 ) D G 0 —B (第7题) (第4题) A.40° B.15°C.25° D.30° 16 第1章三角形的初步知识 8.在如图所示的正方形网格中，△ABC 思维拓展 的顶点都在小正方形的顶点上，像 11.如图，AD=CB,E,F是AC上的 △ABC这样的三角形叫“格点三角 两动点，且DE=BF, 形”.画与△ABC有一条公共边且全等的“格 (1)若点E,F运动至如图①所示 点三角形”，这样的“格点三角形”最多可以画 的位置，且AF=CE,求证：△ADE≌△CBF 个 (2)若点E,F运动至如图②所示的位置，仍有 AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗？为 什么？ (3)若点E,F不重合，则AD和CB平行吗？ (第8题) 请判断并说明理由. 9.如图，AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B, D,E三点共线.求证：∠3=∠1十∠2 (第11题) (第9题) 10.如图，点B,C,B1,C1在同一条直线上，AC 与AB1的延长线相交于点D,AB A1B1,AC=AC1,BB1=CC1.求证： ∠A=∠D D (第10题) 17 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 第2课时 用“SAS”判定三角形全等 自基础进阶 5.(2024·西藏)如图，C是线段AB的中点， 1.如图，a,b,c为△ABC的边长，则甲、乙、丙 AD=BE,∠A=∠B.求证：∠D=∠E. 三个三角形中和△ABC全等的是() 丙 (第5题) 人50 b e (第1题) A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有乙 2.如图，在△ABD和△ACE中，AB=AC, AD=AE,若要得到△ABD≌△ACE,必须 闺素能攀升 添加一个条件，则下列所添加的条件中，恰当 6.如图，在△ABC中，AB=6,BC=7,AC=5, 的是 AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截 取AE=AC,连结DE,则△BDE的周长为 () A.9 B.8 C.7 D.6 (第2题) A.∠ADB=∠AEC B.∠ABD=∠ACE C.∠BAD=∠ACE D.∠BAC=∠DAE (第6题) (第7题) 3.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，AB∥ 7.如图，EA⊥AB,BC∥EA,EA= DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,则DF的 AB=2BC,D为AB的中点.有下 长为 列结论：①DE=CA;②DE⊥AC; ③∠ADF=∠EAF;④∠C=∠ADF; ⑤∠C=∠E.其中，正确的有 () E C A.2个B.3个C.4个D.5个 (第3题) A.4 B.5 C.6 D.7 8.茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，若 4.如图，点E,A,C在同一条直线上，ABCD, ∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC AB=CE,AC=CD,若∠D=40°，∠ECD 的周长为24cm,CF=3cm,则制成整个金属 115°，则∠B= 框架所需这种材料的长度为 cm. D (第4题) (第8题) 18 第1章三角形的初步知识 9.如图，△ABO≌△CDO,点E,F在线段AC的思维拓展 上，且AF=CE.试猜想FD与BE的关系， 11.★如图，在△ABC和△AED中， 并说明理由. AB=AE,AB⊥AE于点A,AD= AC,AD⊥AC于点A,M为BC的 中点.若AM=3,则DE= E (第9题) B M (第11题) 12.★如图，BD,CE都是△ABC的高 线，在BD上截取BF,使BF AC,在CE的延长线上取一点G 使CG=AB,连结AF,AG.试探索线段AG 和AF之间的关系，并说明理由 10.新情境·日常生活在某地新修建的花园小区 中，有如图所示的“Z”字形绿色长廊ABCD, 其中ABCD,在AB,BC,CD三条绿色长 廊上各修建一座凉亭E,M,F,且BE= (第12题) CF,M是BC的中点，在凉亭M与F之间 有一池塘，不能直接到达，但要想知道凉亭 M与F之间的距离，应怎么办呢？写出你 的方法，并说明理由。 A D (第10题) 19 拔尖特训·数学（浙教版）入年级上 第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，聪聪书本上的三角形被墨迹污染了一 5.如图，∠BAD=∠CAE,AB=AD,∠B= 部分，他根据所学的知识很快就画了一个与 ∠D,则下列结论中，正确的是 () 书本上完全一样的三角形，则聪聪画图的依 A.AC=DE B.∠ABC=∠DAE 据是 C.∠BAC=∠ADED.BC=DE A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS (第1题) (第5题) (第6题) 2.如图，在△ABC和△DEF中，∠D=∠A, 6.如图，AB⊥CD,且AB=CD,E,F ∠1=∠2，若要得到△ABC≌△DEF,则还 是AD上两点，CE⊥AD,BF⊥ 应给出的条件是 AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则 A.∠E=∠B B.ED=BA AD的长为 C.EF=AB D.DF-AB A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c 2y0 7.如图，在△ABC中，AB=AC, AB>BC,点D在边BC上，且 (第2题) (第3题) CD=2BD,点E,F在线段AD 3.如图，D是AB上的一点，DF交AC于点E 上，且满足∠BED=∠CFD= AE=CE,CF∥AB.若AB=9cm,CF= D ∠BAC.若S△ABc=27,则S△AE十（第7题） 5cm,则BD= cm. SACDF 4.(2023·淮安)如图，D为线段BC上一点， 8.如图，在△ABC和△EDF中，∠B=∠D= BD=AC,∠E=∠ABC,DE∥AC.求证： 90°，点A,E,C,F在同一条直线上，AE= DE=BC. CF,BC的延长线交DF于点M,且 ∠MCF=∠F.求证：BC=DF. D (第4题) M (第8题) 20 第1章三角形的初步知识 9.新情境·日常生活小明沿一段笔直的人行道思维拓展 行走，在由A处步行到B处的过程中，通过 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣 90°，D是直线AB上的一个动点（不与点 传墙上的标语，其具体信息汇集如下：如图， A,B重合)，BE⊥CD,交直线CD于点E, ABOH∥CD,相邻的平行线间的距离相 交直线AC于点F. 等，AC,BD相交于点O,OD⊥CD,垂足为 (1)若点D在边AB上，试探究线段BD, D.已知AB=18m,求标语CD的长， AB和AF之间的数量关系，并证明你的 人行道 B,4行车道 结论 行车道0隔离带H (2)若点D在AB的延长线或反向延长线 CD人行道 标语 上，(1)中的结论是否成立？若不成立，请直 (第9题) 接写出正确的结论。 D B (第11题) 10.*如图，P是△ABC的边BC上的 一个动点，过点A作EF∥BC,过 点P分别作PM∥AB,PN∥AC PM,PN分别交EF于M,N两点.当 BP=2PC时，线段AM与AN之间有什么 数量关系？请说明理由， FN ME (第10题) 2☒所以∠ABC=180°-∠A-∠C=85°. 所以∠DBC=∠ABC-∠DBE= 85°-60°=25°. ②因为∠AEF是△DEB的外角， 所以∠AEF=∠D+∠DBE=35°+ 60°=95° 因为∠AFD是△AEF的外角， 所以∠AFD=∠A+∠AEF=35°+ 95°=130°」 11.5或4解析：因为两个三角形全 3a-2b=5, 3a-2b=7, 等，所以《 或 a+2b=7 a+2b=5, 解得3， a=3, 或 所以a+b=5 {b=2 b=1. 或4. 12.设AE与DC交于点P. 因为∠1：∠2：∠3=13：3：2， 所以易得∠1=130°，∠2=30°， ∠3=20. 因为△ABE≌△ADC≌△ABC, 所以∠DCA=∠E=∠3=20°， ∠EAB=∠1=130°. 所以∠PAC=360°-∠1-∠EAB= 100°. 所以∠EPD=∠APC=180° ∠PAC-∠DCA=60. 所以∠EOC=180°一∠EPD一∠E= 180°-60°-20°=100°. 1.5三角形全等的判定 第1课时用“SSS” 判定三角形全等 1.C2.三角形具有稳定性3.100 4.96 5.(1)在△ABC和△EDB中， (BC=DB 因为CA=BE, BA-DE, 所以△ABC≌△EDB(SSS). (2)AC//BD 理由：由(1)知，△ABC2△EDB, 所以∠C=∠EBD. 所以ACBD. 6.C解析：根据图中尺规作图的痕 迹，可得∠DAE=∠B,所以AE∥ BC.所以∠EAC=∠C.故ABD正 确.因为∠DAE=∠B,∠EAC= ∠C,而∠C与∠B的大小关系不确 定，所以∠DAE与∠EAC的大小关 系不确定.故C错误 7.C解析：在△CAD和△CBD中， CA=CB, 因为AD=BD,所以△CAD≌△CBD CD-CD, (SSS).所以∠CDA=∠CDB.因为 ∠ADN=80°，∠BDN=30°，所以 ∠ADB=∠ADN+∠BDN=80°+ 30=10.所以∠CDB=7∠ADB X110°=55，所以∠CDN= 1 ∠CDB-∠BDN=55°-30°=25°. 8.6解析：如图，以BC为公共边可 画出3个三角形和△ABC全等，以 AB为公共边可画出3个三角形和 △ABC全等，以AC为公共边不能画 出三角形和△ABC全等.所以最多可 以画6个. (第8题) 9.在△ABD和△ACE中， (AB=AC, 因为AD=AE BD=CE, 所以△ABD2△ACE(SSS) 所以∠BAD=∠1，∠ABD=∠2. 因为∠3=∠BAD+∠ABD, 所以∠3=∠1+∠2. 10.因为BB1=CC1, 所以BB1一CB,=CC,一CB1,即 BC=B C1. 在△ABC和△A,B,C,中， (AB=A B, 因为BC=B1C1, AC=A C, 所以△ABC≌△A1B,C1(SSS) 7 所以∠B=∠A1B,C. 所以AB∥A,B1· 所以∠A=∠D. 11.(1)因为AF=CE, 所以AF+EF=CE+EF,即AE=CF 在△ADE和△CBF中， AD=CB, 因为DE=BF, AE=CF, 所以△ADE≌△CBF(SSS). (2)△ADE≌△CBF成立. 因为AF=CE, 所以AF-EF=CE-EF,即AE=CF. 在△ADE和△CBF中， AD=CB, 因为DE=BF, AE=CF, 所以△ADE≌△CBF(SSS). (3)AD和CB不一定平行. 理由：因为在△ADE和△CBF中，仅 有AD=CB,DE=BF不能判定它们 全等，即不能得出∠A=∠C, 所以AD和CB不一定平行. 第2课时用“SAS” 判定三角形全等 1.D2.D3.C4.25 5.因为C是线段AB的中点， 所以AC=BC. 在△DAC和△EBC中， AD-BE, 因为∠A=∠B, AC=BC, 所以△DAC2△EBC(SAS) 所以∠D=∠E. 6.B解析：因为AD平分∠BAC,所 以∠EAD=∠CAD.在△ADE和 AE=AC, △ADC中，因为∠EAD=∠CAD, AD-AD, 所以△ADE≌△ADC(SAS).所以 ED=CD,AE=AC=5.所以BE= AB-AE=6-5=1.所以△BDE的 周长为BE+BD+ED=BE+BD十 CD=BE+BC=1+7=8. 7.C解析：因为EA⊥AB,所以 ∠EAD=90°.因为BC∥EA,所以 ∠B+∠EAD=180°.所以∠B= ∠EAD=90°.因为D为AB的中点， 所以AD=2AB.因为AB=2BC,所 以AD=BC.在△EAD和△ABC中， EA=AB, 因为∠EAD=∠B,所以△EAD≌ AD=BC, △ABC(SAS).所以DE=CA, ∠EDA=∠C,∠E=∠CAB.因为 ∠EAD=90°，所以∠E+∠EDA= 90°.所以∠CAB+∠EDA=90°.所 以∠AFD=180°-（∠CAB+ ∠EDA)=90°.所以DE⊥AC,∠E+ ∠EAF=∠AFD=90°.因为 ∠ADF+∠E=90°，所以∠ADF= ∠EAF,所以①②③④正确，⑤错误. 8.45解析：因为BF=EC,所以 BF+FC=EC+FC,即BC=EF.在 (AB=DE, △ABC和△DEF中，因水∠B=∠E, BC=EF, 所以△ABC≌△DEF(SAS).所以 △ABC与△DEF的周长相等.又因 为△ABC的周长为24cm,CF= 3cm,所以整个金属框架所需这种材 料的长度为24×2-3=45(cm). 9.FD=BE,且FDBE. 理由：因为△ABO2△CDO, 所以OA=OC,OB=OD. 因为AF=CE, 所以CC-CE=OA-AF,即OE=OF. 在△DOF和△BOE中， OF=OE, 因为∠DOF=∠BOE, OD=OB. 所以△DOF≌△BOE(SAS). 所以∠DFO=∠BEO,FD=BE. 所以FD∥BE. 10.测出ME的长度就是凉亭M与 F之间的距离。 理由：如图，连结ME,MF. 因为ABCD, 所以∠B=∠C 因为M是BC的中点， 所以BM=CM. 在△BME和△CMF中. (BE=CF, 因为∠B=∠C, BM=CM, 所以△BME≌△CMF(SAS) 所以ME=MF. 所以测出ME的长度就是凉亭M与 F之间的距离。 (第10题) 11.6解析：如图，延长AM至点N, 使NM=AM,连结BN.因为M为 BC的中，点，所以CM=BM.在△AMC AM-NM. 和△NMB中，因为∠AC=∠NMB, CM-BM. 所以△AMC≌△NMB(SAS).所以 AC=NB,∠C=∠NBM.又因为 AD=AC,所以AD=NB.因为AB⊥ AE,AD⊥AC,所以∠EAB=∠DAC 90°.所以∠EAD+∠BAC=180°.所 以∠ABN=∠ABC+∠NBM= ∠ABC+∠C=180°-∠BAC= ∠EAD.在△EAD和△ABN中，因 AE=BA, 为∠EAD=∠ABN,所以△EAD≌ AD-BN, △ABN(SAS).所以DE=NA= 2AM=6. (第11题) 8 方法归纳 运用“倍长中线”解决 与中线有关的问题 如果图中给出的已知条件中 线段或角的位置相对比较分散，而 三角形又给出了中线，那么可以将 这条中线延长一倍，构造全等三角 形，使得分散的条件在图形中能够 相对集中，再运用其中的线段、角 之间隐含的数量关系解决问题， 12.AG=AF,且AG⊥AF 理由：因为BD,CE都是△ABC的 高线， 所以∠ACG+∠BAC=∠FBA+ ∠BAC=180°-90°=90. 所以∠ACG=∠FBA. 在△ACG和△FBA中， (AC=FB. 因为∠ACG=∠FBA, CG-BA, 所以△ACG≌△FBA(SAS). 所以AG=FA,∠G=∠BAF. 因为CG⊥AB, 所以∠G+∠GAE=90. 所以∠BAF+∠GAE=90°，即 ∠GAF=90°. 所以AG⊥AF 一方法归纳 证明两条直线互相垂直 证明两条直线互相垂直是常见 的题型，解决这类问题的一般方法 是证明这两条直线的夹角为90°，即 说明组成这个夹角的两个角的和是 90°或这个夹角所在的三角形的另 外两个角的和是90°即可. 第3课时用“ASA”或“AAS” 判定三角形全等 1.C2.B3.4 4.因为DE∥AC, 所以∠EDB=∠C 在△BDE和△ACB中， ∠E=∠ABC, 因为∠EDB=∠C, BD=AC, 所以△BDE≌△ACB(AAS) 所以DE=BC. 5.D解析：因为∠BAD=∠CAE, 所以∠BAD-∠CAD=∠CAE- ∠CAD,即∠BAC=∠DAE.故BC 错误.在△ABC和△ADE中，因为 |∠BAC=∠DAE, AB=AD, 所以△ABC≌ ∠B=∠D, △ADE(ASA).所以AC=AE,BC= DE.故A错误，D正确. 6.D解析：因为CE⊥AD,BF⊥ AD,所以∠AFB=∠CED=90°.所 以∠C+∠D=180°-∠CED=90°. 因为AB⊥CD,所以易得∠A+ ∠D=90°.所以∠A=∠C.在△ABF ∠AFB=∠CED, 和△CDE中，因为∠A=∠C, AB=CD, 所以△ABF≌△CDE(AAS).所以 AF=CE=a,BF=DE=b.因为 EF=c,所以DF=DE-EF=b-c. 所以AD=AF+DF=a+(b-c)= a+b-c. 7.18解析：因为∠BED=∠BAE十 ∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF, ∠BED=∠BAC,所以∠ABE= ∠CAF.又因为∠CFD=∠ACF+ ∠CAF,∠CFD=∠BAC,所以∠BAE= ∠ACF.在△ABE和△CAF中，因为 ∠ABE=∠CAF, AB=CA, 所以△ABE≌ ∠BAE=∠ACF, △CAF(ASA).所以S△AE=S△cAF. 所以S△ABE+S△DF=S△cAF十 S△cF=S△AD.因为CD=2BD,所以 CD=号BC,所以Sm=号Sa, 因为S4=27,所以Saw=号× 27=18,即S△ABR+S△DF=18. 8.因为∠MCF=∠F,∠MCF= ∠ACB, 所以∠ACB=∠F. 因为AE=CF, 所以AE+EC=CF+EC,即AC=EF. 在△ABC和△EDF中， ∠B=∠D, 因为∠ACB=∠F, AC=EF, 所以△ABC≌△EDF(AAS). 所以BC=DF. 9.因为ABCD, 所以∠ABO=∠CDO. 因为OD⊥CD, 所以∠CDO=90°. 所以∠ABO=90°. 因为AB//OH//CD,且相邻的平行线 间的距离相等， 所以OD=OB. 在△ABO和△CDO中， I∠ABO=∠CDO, 因为{OB=OD, ∠AOB=∠COD, 所以△ABO≌△CDO(ASA). 所以CD=AB=18m. 10.AM=2AN. 理由：连结PA 因为PN∥AC,EFBC, 所以∠CAP=∠NPA,∠CPA=∠NAP. 在△APC和△PAN中 I∠CPA=∠NAP, 因为PA=AP, ∠CAP=∠NPA, 所以△APC≌△PAN(ASA). 所以PC=AN. 同理，可得△APB≌△PAM, 所以BP=MA. 因为BP=2PC, 所以AM=2AN 一方法归纳 证明角或线段相等的方法 (1)观察要证明的线段或角 (或通过等量代换得到的线段或 角)在哪两个可能全等的三角形 中，当待证角或线段不在这两个全 等三角形中时，常常添加辅助线构 造全等三角形.(2)分析需要证明 全等的两个三角形，确定已知条件 (包含图形中的隐含条件)是什么， 还缺什么条件.(3)设法证明所缺 条件.(4)写出证明过程. 9 11.(1)AB=AF+BD. 因为BE⊥CD, 所以∠FEC=90°. 所以∠F+∠DCA=90°. 因为∠BAC=90°， 所以∠FAB=90°. 所以∠FAB=∠DAC,∠F+ ∠FBA=90. 所以∠FBA=∠DCA. 在△AFB和△ADC中， ∠FAB=∠DAC, 因为AB=AC, ∠FBA=∠DCA, 所以△AFB≌△ADC(ASA)」 所以AF=AD 所以AB=AD+BD=AF+BD. (2)(1)中的结论不成立. 当点D在AB的延长线上时，AB= AF一BD:当点D在AB的反向延长 线上时，AB=BD一AF.解析：如图 ①，当点D在AB的延长线上时，同 (1),可得AD=AF,所以AB=AD BD=AF一BD.如图②，当点D在 AB的反向延长线上时，同(1)，可得 AF=AD,所以AB=BD-AD= BD-AF. B DE ① ③ (第11题) 专题特训二全等三角 形的开放探究 1.(1)答案不唯一，如图①所示. (2)能.如图②所示.