1.3 证明-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

因为∠2=∠GDF,∠1+∠2=90°， 所以∠1+∠GDF=90° 所以∠EDG=180°-（∠1+ ∠GDF)=90° 所以ED⊥DG. 所以③正确。 综上所述，①②③均正确： (2)答案不唯一，如“如果两个角组成 一个平角，那么它们的平分线互相 垂直” 1.3证明 第1课时证明的含义 及表述格式 1.C2.错误不能 3.∠AED两直线平行，同位角相等 ∠ABC∠AED角平分线的定义 ∠2同位角相等，两直线平行两直 线平行，同旁内角互补 4.C解析：因为FM平分∠EFD, 所以∠EFM=∠DFM=∠EFD, 因为EG平分∠AEF,所以∠AEG ∠GEF=7∠AEF.因为EM平分 ∠BEF,所以∠BEM=∠FEM= ∠BER.所以∠GEP+∠FEM= (∠AEF+∠BEF)=90,即 ∠GEM=90,∠FEM+∠EFM= (∠BEF+∠EFD).因为AB∥ CD,所以∠EGF=∠AEG,∠EFD= ∠AEF.所以∠FEM+∠EFM= 名∠BE+∠FD)=名（∠BEr+ ∠AEF)=90°.所以∠EMF=180° (∠FEM+∠EFM)=90°.所以 ∠GEM+∠EMF=90°+90°=180°. 所以EG∥FM.所以∠DFM=∠EGF, ∠GEF=∠EFM.所以与∠DFM相 等的角有∠EFM,∠GEF,∠EGF, ∠AFG以及∠GEF,∠EGF,∠AEG 三个角的对顶角，共7个 5.3解析：如图，因为∠2+ ∠EFG+∠4=180°，所以∠2+∠4 180°-∠EFG=180°-90°=90°. 因为AD∥BC,所以∠1=∠2，∠3 ∠4.所以∠1+∠4=90°，∠2+∠3 90°.所以①②正确.因为AD∥BC, 所以∠5=∠BFG.所以∠5-∠2= ∠BFG-∠2=∠EFG=90°.所以③ 正确.综上所述，正确的有3个 E 4 (第5题) 6.(1)∠A+∠ACD+∠D=360°. 如图①，过点C作CF∥AB,则易得 CF//DE. 因为CF∥AB, 所以∠A+∠ACF=180. 因为CF∥DE, 所以∠D+∠DCF=180°. 所以∠A+∠ACF+∠D+∠DCF= 360°. 因为∠ACD=∠ACF+∠DCF, 所以∠A+∠ACD+∠D=360°. (2)不满足。 正确的结论为∠ACD=∠A+∠D. 如图②，过点C作CG∥AB,则易得 CG//DE. 因为CGAB, 所以∠A=∠ACG 因为CGDE, 所以∠D=∠DCG: 因为∠ACD=∠ACG+∠DCG, 所以∠ACD=∠A+∠D: B ② ② (第6题) 第2课时三角形内角和 定理及推论 1.D2.A3.13 4 4.如图，延长ED交BC于点F. 因为∠CDE=105°， 所以∠CDF=180°-∠CDE=180° 105°=75. 因为∠BCD=50°， 所以∠BFD=∠BCD+∠CDF= 50°+75°=125° 又因为∠ABC=125°， 所以∠ABC=∠BFD. 所以AB∥DE. B (第4题) 5.A解析：因为BD平分∠ABC, 所以∠CBD=2∠ABC=2(180° ∠A-∠C)=90-2∠A-2∠C 所以∠ADB=∠C+∠CBD= ∠C+90-7∠A-7∠C=90+ 2(∠C-∠A.因为∠C-∠A= 20,所以∠ADB=90+号×2T=10o0 6.B解析：因为EF∥AB,∠EFC= B,所以∠B=∠EFC=B.因为CD平 分∠BCA,所以∠ACB=2∠BCD.因 为∠ADC是△BDC的外角，所以 ∠ADC=∠B+∠BCD.因为 ∠ADC=Y,所以∠BCD=Y一3.因为 ∠MAC是△ABC的外角，所以 ∠MAC=∠B+∠ACB.因为 ∠MAC=a,所以a=B+2(y-B),即 B=2Y-a. 7.110°解析：因为∠A=20°，∠C= 50°，所以∠AEB=∠A+∠C=70°. 因为∠B=40°，所以∠ADB= ∠AEB+∠B=70°+40°=110°. 8.120°解析：设AO交BF于点H, AC交BE于点G.在△AOG中， ∠AOE=∠A+∠AGE.在△CGE 中，∠AGE=∠C+∠E.所以 ∠AOE=∠A+∠C+∠E①.在 △BOH中，∠AOE=∠B+∠BHO 在△DFH中，∠BHO=∠D+∠F. 所以∠AOE=∠B+∠D十∠F②.由 ①+②，得2∠AOE=∠A+∠B+ ∠C+∠D+∠E+∠F.因为 ∠AOE=60°，所以∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E+∠F=2×60°=120°. 9.在△BCP中，∠BPC+∠2+ ∠BCP=180°， 所以∠BPC=180-(∠2+∠BCP). 又因为∠1=∠2， 所以∠BPC=180°-（∠1+∠BCP). 所以∠BPC=180°-∠ACB 所以∠ACB+∠BPC=180°，即 ∠ACB与∠BPC互补. 10.∠ACB的度数不随点A,B的移 动而发生变化. 理由：因为BC,AC分别平分∠DBO, ∠OAB, 所以∠DBC=2 ∠DBO,∠BAC= 2∠OAB. 1 因为∠DBO=∠OAB+∠AOB, 所以∠DBO-∠OAB=∠AOB=90°. 因为∠DBC=∠BAC十∠ACB, 所以司 1 ∠DBO=2∠OAB+ ∠ACB. 所以∠ACB=(∠D0-∠OAB) 名∠A0B=45 11.(1)因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠DAC. 因为∠EFD=∠DAC+∠AEB, ∠ALDC=∠ABC+∠BAD,∠AEB= ∠ABC, 所以∠EFD=∠ADC. (2)(1)中的结论仍成立. 因为AD平分∠BAG, 所以∠BAD=∠GAD. 因为∠FAE=∠GAD, 所以∠FAE=∠BAD. 因为∠EFD=∠AEB-∠FAE, ∠ADC=∠ABC-∠BAD,∠AEB= ∠ABC, 所以∠EFD=∠ADC, 一方法归纳 运用转化思想探求角度 数量关系的一般方法 解答这类求角度间数量关系 的问题时，常常运用转化的数学思 想将某个角转化为某个三角形的 内角或外角，从而使未知条件转化 为已知条件，并运用三角形的内角 和定理及其推论解决问题」 专题特训一三角形的 边角关系 1.C解析：设第三根木棒的长度为 xm.根据三角形的三边关系，可得 5-3<x<5十3，所以2<x<8.根据 木棒的规格与对应价格可知，选长度 为3的木棒最便宜，所以小明的爷 爷带的钱至少应为20元. 2.C解析：因为边长为整厘米数， 所以最短边的长最小为1cm,此时另 外两边长之和为14cm.所以搭成的 三角形中最长边的长最大为7cm.当 三边相等时，最长的边最短，此时长为 15÷3=5(cm),所以搭成的三角形中 最长边的长可以为5cm,6cm,7cm. 分三种情况讨论：①当三角形的最长 边的长为7cm时，有4种截法：7cm, 7 cm,1 cm;7 cm,6 cm,2 cm:7 cm, 5cm,3cm;7cm,4cm,4cm;②当三 角形的最长边的长为6cm时，有2种 截法：6cm,6cm,3cm:6cm,5cm, 4cm:③当三角形的最长边的长为 5cm时，有1种截法：5cm,5cm, 5cm.综上所述，截法共有4+2十1 7(种). 3.<解析：因为在△BCD中 BD-BC<CD,所以BD-BC< AD一AC.因为AB=AC,所以BD一 BC<AD-AB. 4.<解析：因为a,b,c是△ABC 的三边长，所以a十c>b,b十c>a,则 a+c-b>0,a-b一c<0.所以(a 5 b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)= (a+c-b)(a-b-c)<0. 5.(1)由题意知，第三条边长为30一 a-(2a+2)=(28-3a)m. (2)第一条边长不可以为7m. 理由：当第一条边长为7m时，三边长 分别为7m,16m,7m. 因为7+7<16， 所以不能构成三角形 所以第一条边长不可以为7m 4a+2b-18=0, 6.解方程组 4b-3a+8=0, a=4, 得 b=1. 根据三角形的三边关系，得a一b< c<a+b,即4一1<c<4+1, 所以3<c<5. 因为三角形的周长为整数，a十b=5 为整数， 所以c为整数， 所以c=4. 所以这个三角形的周长为4十1十4=9. 7.A解析：因为∠DBA=120°， ∠ECA=125°，所以∠ABC=180° ∠DBA=60°，∠ACB=180° ∠ECA=55.所以∠A=180° ∠ABC-∠ACB=180°-60°- 55°=65. 8.B解析：因为∠1=∠A+ ∠ACB,∠2=∠A+∠ABC,所以 ∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+ ∠ABC=(∠A+∠ACB+∠ABC)+ ∠A.又因为∠A+∠ACB+∠ABC= 180°，∠A=50°，所以∠1+∠2= 180°+50°=230°. 9.160解析：如图，延长ED交BC 于点F.因为AB∥DE,所以∠1= ∠B=130°.所以∠2=180°-∠1= 50°.所以∠CDE=∠2+∠C=50°+ 110°=160°. B D E C (第9题)第1章三角形的初步知识 1.3证明 第1课时 证明的含义及表述格式 》“答案与解析”见P4 山基础进阶 幻素能攀升 1.如图，下列推理中，正确的是 4.如图，AB∥CD,EG,EM,FM分别平分 B ∠AEF,∠BEF,∠EFD,则图中与∠DFM 相等的角（不含它本身）有 () C (第1题) A.5个B.6个C.7个D.8个 A.因为∠1=∠4，所以BC∥AD B.因为ABCD,所以∠2=∠3 C.因为∠C+∠ADC=180°，所以AD∥BC D.因为BC∥AD,所以∠CBA+∠C=1809 (第4题) (第5题) 2.如图，小明观察两个图形后，认为图中线段b 5.将一把含45°角的三角尺与一把直尺按如图 比线段a短，通过测量发现他的判断是 所示的方式放置，有下列结论：①∠1十 (填“正确”或“错误”)的，由此可以得出 ∠4=90°；②∠2+∠3=90°；③∠5-∠2= 观察 (填“能”或“不能”)作为证明的 90°.其中，正确的有 个 依据。 6.如图，ABDE. (1)猜测∠A,∠ACD,∠D之间的 h 数量关系，并证明你的结论. (第2题) (2)若将点C向右移动到点A,D所在直线 3.如图，DE∥BC,BD平分∠ABC,EF平分 的右侧，此时∠A,∠ACD,∠D之间的数量 ∠AED.求证：∠EFD+∠BDF=180°. 关系满足(1)中的结论吗？若满足，请加以证 明；若不满足，请你写出正确的结论并加以证 明（画出相应的图形） B4 (第3题) 证明：因为DEBC(已知)， 所以∠ABC= (第6题) 因为BD平分∠ABC,EF平分∠AED(已知)， 所以∠1= ,∠2= ( ) 所以∠1= (等量代换). 所以EFBD( 所以∠EFD+∠BDF=180°( 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 第2课时三角形内角和定理及推论 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·绍兴期末)将一副三角尺按如图所示 5.如图，BD平分∠ABC,交AC于点D.若 的方式放置，则图中∠α的度数为( ∠C-∠A=20°，则∠ADB的度数为() A.55°B.60 9 C.65°D.75° D62 30° B (第5题) (第1题) (第2题) A.100°B.105°C.110°D.120° 2.(2024·台州临海期末)如图，在△ABC中， 6.如图，在△ABC中，E,F分别是AC, 点D在边AC上（不与端点重合），连结BD, BC上一点，EF∥AB,∠BCA的平 则∠1，∠2，∠3的大小关系是 分线交AB于点D,∠MAC是△ABC A.∠1<∠2<∠3B.∠1<∠3<∠2 的外角.若∠MAC=a,∠EF℃=B,∠ADC=Y, C.∠3<∠2<∠1D.∠2<∠1<∠3 则a,3,Y之间的数量关系是 () 3.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分 M 线，且CE交BA的延长线于点E,∠B= 22°，∠BAC=48°，则∠E= (第6题) A.B-a+Y B.B=2Y-a B D C.B=a+2Y D.3=2a-2Y (第3题) 7.如图，∠A=20°，∠B=40°，∠C=50°，则 4.如图，∠ABC=125°，∠CDE=105°，∠BCD= ∠ADB的度数是 50°.求证：AB∥DE. A (第4题) (第7题) 8.如图所示为一个六角星，∠AOE= 60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E+∠F= D (第8题) 10 第1章三角形的初步知识 9.如图，P为△ABC内任意一点，连结BP,CP,思维拓展 ∠1=∠2.求证：∠ACB与∠BPC互补. 11.★在△ABC中，点E在AC上，∠AEB= ∠ABC. (1)如图①，作∠BAC的平分线AD,分别 交BC,BE于D,F两点.求证：∠EFD= (第9题) ∠ADC (2)如图②，作△ABC的外角∠BAG的平 分线AD,交CB的延长线于点D,延长DA 交BE的延长线于点F,此时(1)中的结论 仍成立吗？为什么？ 2 (第11题) 10.新考法·探究题如图，∠EOF=90°，点A, B分别在射线OE,OF上移动，连结AB并 延长至点D,∠DBO的平分线与∠OAB的 平分线交于点C.∠ACB的度数是否随点 A,B的移动而发生变化？如果保持不变， 请说明理由；如果随点A,B的移动而发生 变化，请给出变化的范围. E (第10题) 11