1.2 定义与命题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 1.2 定 第1课时 自基础进阶 1.有下列命题：①两点确定一条直线；②含有 未知数的等式叫方程；③点到直线的距离是 该点到这条直线的垂线段的长度；④连结两 点的线段的长度，叫作这两点间的距离.其 中，不属于定义的有 A.1个B.2个C.3个D.4个 2.下列语句中，属于命题的是 () A.在线段AB上任取一点C B.平角是直角的2倍 C.过点O作OC平分∠AOB D.锐角都相等吗 3.有下列语句：①直角三角形中的两个锐角互 余；②正数都大于0；③在同一平面内，不相 交的两条直线叫作平行线；④太阳不是行 星；⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知 角.其中，属于定义的为 ,属于命题 的为 ,既不属于定义也不属于命题 的为 (填序号) 4.把下列命题改写成“如果…那么…”的形 式，并指出条件和结论， (1)乘积等于1的两个有理数互为倒数， (2)等角的补角相等」 (3)自然数必为有理数. (4)绝对值相等的两个数一定相等. 6 义与命题 定义与命题 幻素能攀升 5.观察下列新运算：①2￥（一2）=4十2一2 4:②(》*2=号日+2=25根据它们 的共同特征用字母a,b和符号“￥”可以定义 这个新运算是 ) A.a￥b=a2+a-b B.a￥b=a2+a+b C.a *b=-ab+a-b D.a￥b=-ab+a+b 6.用语言叙述命题：如图，ABCD,EF交AB 于点G,交CD于点H,GM平分∠BGH, HM平分∠GHD,则GM⊥HM. (第6题) 7.新考法·新定义题观察下列新运算 ①3☆5=3-25=-2，@3☆日 g日3③(-3(-0=9+4=18： ④(-0.3)☆(-0.1)=-0.3-0.01= -0.31;⑤(-8)☆(-8)=-8-64=-72. (1)根据它们的共同特征，用字母a,b及符 号“☆”定义这个新运算. (2)计算：(a+1)☆a-(a-1)☆a. 第1章三角形的初步知识 第2课时真假命题与定理 ●“答案与解析”见P3 白基础进阶 6.如图，若∠1+∠2=180°，d⊥b,则d⊥a.用 1.下列命题中，属于真命题的是 推理的方法说明它是真命题 A.两个互补的角一定不是对顶角 B.如果a=一b,那么a3=b3 C.如果两个角不相等，那么这两个角不是对 顶角 (第6题)》 D.同一个三角形的三个内角一定各不相等 2.下列命题中，属于假命题的是 A.垂线段最短 B.经过直线外一点，有且只有一条直线与已 知直线平行 C.同位角相等 幻素能攀升 D.平行于同一条直线的两条直线平行 7.有下列a,b的值：①a=-1,b=-2;②a 3.(2024·宁波镇海期末)判断命题“如果n< 0,b=-1;③a=2,b=-3;④a=-3,b= 1,那么n2一2<0”是假命题，只需举出一个 2.其中，可以用来说明命题“若a>b,则a2> 反例.反例中的n可以为 ( b2”是假命题的反例有 () A.-√2B.-1C.0 A1个B.2个C.3个D.4个 8.有下列命题：①若a十b>0且ab>0,则a> 4.“能被3整除的整数，它的末位数一定是3”是 0且b>0;②若a>b且ab>0,则a>b>0: (填“真”或“假”)命题 ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 5.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是 直线互相平行；④一个锐角的补角比它的余 假命题，请举出一个反例 角小90°.其中，属于假命题的是 () 11 (1)若a>b,则a<方 A.①②B.①③C.②④D.③④ (2)被减数一定大于差 9.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下 (3)不相交的两条射线一定平行. 列五个论断：①a∥b;②b∥c;③a⊥b; ④a∥c;⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一 个论断为结论，组成一个命题，则组成的真命 题有 个 10.能说明“如果x为实数，那么代数式 x2+x -(x十1)2+5x(x+3)+11 2 2 的值一定为正数”是假命题的一个反例是 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 11.学习时，小明发现：命题“当n=1,2,3时， n2一6n的值都是负数”是真命题.于是小明 判断：“当n为任意正整数时，n2一6n的值 都是负数”这个命题也是真命题.小明的判 断正确吗？请简要说明你的理由. 12.如图，有下列条件：①AB⊥BC,CD⊥BC; ②BECF;③∠1=∠2.请你选择其中两 个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一 个真命题，并用推理的方法说明它是真命题， A (第12题) 8 思维拓展 13.如图，点B,D,F在同一条直线上， BE平分∠ABD,DE平分∠BDC, DG平分∠CDF,∠1+∠2=90°. 给出下列结论：①AB∥CD;②BE∥DG; ③ED⊥DG. (1)上述结论中，哪些是正确的？请判断并 说明理由， (2)请你选择其中一个正确的结论，归纳出 一个真命题！ B D (第13题)第2课时三角形的高线、 中线和角平分线 1.B2.D 3.2.5 方法归纳 与两个三角形的面积 有关的常用结论 (1)等底等高的两个三角形面 积相等.(2)同底（或等底）的两个 三角形，面积比等于高线的长的 比.(3)等高的两个三角形的面积 比等于底边长的比.(4)三角形的 一条中线将三角形分成面积相等 的两个三角形 4.因为AD是△ABC的角平分线， ∠BAC=60°， 所以∠DAC=∠BAD=号∠B4C=3 因为CE是△ABC的高线，∠BCE=40°， 所以∠B=90°-∠BCE=50°. 所以∠ADB=180°-∠B ∠BAD=180°-50°-30°=100. 5.C解析：因为∠1=∠2，所以AG 是△ABE的角平分线.故A正确.因 为CF⊥AD,所以CH为△ACD的 边AD上的高线.故B正确.因为G 为AD的中点，所以BG是△ABD的 边AD上的中线.故C错误.因为 CF⊥AD,所以AH为△AFC的高 线.故D正确. 6.A解析：因为∠BAC=60,AD 是∠BAC的平分线，所以∠DAC= ∠BAC=30.因为∠ACB=80, 1 所以∠ADC=180°-∠DAC ∠ACB=180°-30°-80°=70°.又因 为OE是△COD的高线，所以OE⊥ BC,即∠OED=90°.所以∠EOD= 180°-∠OED-∠ODE=180° 90°-70°=20°. 7.D解析：连结AF,BE,CD. 因为D为AE的中点，所以S△AF= S△DwF=5.因为F为BD的中点， 所以S△AF=S△ADF=5.同理，可得 S△mE=S△BCE=5,S△cE=S△Ac 5.所以S△AC=S△ADF十S△AF十 S△FE+S△E+S△cpE十S△Ax十 S△DwF=7X5=35. 8.8解析：因为BD是△ABC的中 线，所以AD=DC.因为△ABD的周 长比△BCD的周长多2cm,所以 AB+BD+AD-(BD+BC+DC)= 2cm.所以AB-BC=2cm①.又因为 AB+BC+AC=18 cm,AC=4 cm, 所以AB+BC=14cm②.联立①②， 易得AB=8cm. 9.45°解析：如图，延长CH交AB 于点F,因为三角形的三条高线交于 一点，所以易得CF⊥AB.所以 ∠AFC=90°.因为∠BAC=75°，所以 ∠ACF=180°-90°-75=15°.因为 ∠ACB=60°，所以∠BCF=60° 15°=45°.因为AD⊥BC,所以∠ADC= 90°.在△CDH中，∠CHD=180° 90°-45°=45. B D (第9题) 10.(1)因为∠B=20°，∠C=60°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C= 100. 因为AE平分∠BAC, 所以∠BAE=∠EAC=7∠BAC=8C 所以∠AEB=180°-∠BAE ∠B=110°. 所以∠AEC=180°-∠AEB=70°. 因为AD是边BC上的高线， 所以∠ADC=90. 所以∠CAD=180°-∠ADC- ∠C=30°. 所以∠EAD=∠EAC-∠CAD=20°. 综上所述，∠CAD=30°，∠AEC= 70°，∠EAD=20. (2)15;15.解析：易得∠EAD= 1 ∠EAC-∠CAD=2∠BAC- 2 ∠CAD=[180-(∠B+∠C]- (180°-∠ADC-∠C)=2(∠C ∠B),所以当∠B=30°，∠C=60时， ∠EAD=15°；当∠C-∠B=30时， ∠EAD=15°. (3)当a<3时，∠EAD=2g-a): 1 当a>B时，∠EAD=a-B. 11存在. 因为∠ABC=50°，∠C=30, 所以∠BAC=180°-∠ABC ∠C=100°. 因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=2∠ABC=25°. 所以∠ADF=180°-∠ABD ∠BAC=55.因为∠BAE=x, 所以∠DAF=(100-x)°，∠AFD= 180°-∠AFB=180°-(180° ∠ABD-∠BAE)=∠ABD+ ∠BAE=(25+x)°， 若∠AFD=∠ADF=55°，即25+ x=55,则x=30;若∠DAF= ∠ADF=55°，即100-x=55,则x= 45:若∠AFD=∠DAF,即25+x= 100一x,则x=37.5. 综上所述，当x=30或45或37.5时， △ADF中有两个相等的角. 1.2定义与命题 第1课时定义与命题 1.A2.B3.③①②④⑤⑥ 4.(1)如果两个有理数的乘积等于 1,那么这两个有理数互为倒数， 条件：两个有理数的乘积等于1；结 论：这两个有理数互为倒数. (2)如果两个角相等，那么它们的补 角相等。 条件：两个角相等：结论：它们的补角 相等 (3)如果一个数是自然数，那么这个 数必为有理数. 条件：一个数是自然数；结论：这个数 必为有理数 (4)如果两个数的绝对值相等，那么 这两个数一定相等 条件：两个数的绝对值相等；结论：这 两个数一定相等， 5.D解析：因为2￥（一2）=一2× (-2)+2+(-2)=4+2-2=4, (3)*2=-(-3)×2+ (3)+2=号专+2=2方所 以根据这两个算式推算出新运算的统 一运算形式，用字母a,b和符号“￥” 可以定义这个新运算是a￥b= -ab+a+b. 6.如果两条平行线被第三条直线所 截，那么同旁内角的平分线互相垂直. 7.(1)因为①3☆5=3-52=3 25=-2:@号☆6=（兮）》月 1 (-4)=(-3)2-(-4)=9+4=13: ④(-0.3)☆（一0.1）=-0.3 (-0.1)2=-0.3-0.01=-0.31: ⑤(-8)☆(-8)=一8-（一8）2= -8-64=-72, 所以算式①④⑤的运算法则一样，都 是前面的数不大于后面的数，算式② ③的运算法则一样，都是前面的数大 于后面的数. 所以可以得出当a≤b时，a☆b=a b2,当a>b时，a☆b=a2-b 所以这个新运算为a☆b= la-b2(ab), a2-b(a>b). (2)因为a-1<a<a+1, 所以(a+1)☆a-(a-1)☆a=(a十 1)2-a-[(a-1)-a2]=a2+2a+ 1-a-a+1+a2=2a2+2. 第2课时真假命题与定理 1.C2.C3.A4.假 5.(1)假命题， 反例不唯一，如2>-2,2>一2· 1、1 (2)假命题 反例不唯一，如被减数是3，减数是 一1，它们的差为4，大于被减数3. (3)假命题. 反例不唯一，如射线AB与射线CD 不相交，但是射线AB与射线CD不 平行（如图）. D B (第5题) 6.因为∠1+∠2=180°，∠1=∠3， 所以∠3+∠2=180° 所以ab 所以∠5=∠4. 因为d⊥b, 所以∠4=90°， 所以∠5=90°. 所以d⊥a. 7.C解析：①②③中的a,b的值，满 足命题的条件，不满足命题的结论，可 以作为说明命题是假命题的反例. 8.C解析：①由ab>0,可知a,b同 号，又a+b>0,所以a>0且b>0.故 ①是其命题.②令a=-1,b=-2, 则a>b且ab=2>0,此时b<a<0, 故②是假命题.③根据平行线的判定 定理可知，在同一平面内，垂直于同一 条直线的两条直线互相平行，故③是 真命题.④假设一个锐角是30°，30 的余角是60°，补角是150°，150° 60°=90°，则一个锐角的补角比它的 余角大90°，故④是假命题.综上所述， 属于假命题的是②④. 9.6解析：能组成的真命题共有以 下6个：如果a仍，bc,那么ac:如 果ab,a∥c,那么b∥c;如果b∥c, ac,那么ab:如果b,a⊥b,那么 a⊥c;如果b∥c,a⊥c,那么a⊥b:如 果a⊥b,a⊥c,那么b∥c. 10=-号解析：因为生 z+1)2+x+3)+1-x2+x 2 2 3 (x2+2x+1）+5x2+15+11 2 x2+x-2x2-4x-2+5x2+15.x+11 2 4x2+12x+9_（2x+3 -≥0，所以当 2 2x十3=0，即x三-之时，题中的代 数式的值不是正数所以女=一号符 合命题的条件，不符合命题的结论 所以x=一多是唯-一个反例， 11.不正确. 理由：因为n2-6m=n(n一6)， 所以只要n≥6时，该式子的值都是非 负 所以小明的判断不正确， 12.答案不唯一，如选①②作为条件， ③作为结论， 因为AB⊥BC,CD⊥BC, 所以∠ABC=∠DCB=90°. 因为BE∥CF, 所以∠EBC=∠FCB. 所以∠ABC-∠EBC=∠DCB ∠FCB. 所以∠1=∠2. 13.(1)①②③均正确、 理由：因为BE平分∠ABD,DE平分 ∠BDC, 所以∠2=∠ABE,∠1=∠CDE. 又因为∠1+∠2=90°， 所以∠1+∠CDE+∠2+∠ABE= 2(∠1+∠2)=180°，即∠CDB+ ∠ABD=180°. 所以ABCD. 所以①正确. 因为ABCD, 所以∠ABD=∠CDF 因为BE平分∠ABD,DG平分∠CDF, 所以∠2= 1 2 ∠ABD,∠GDF= ∠CDF. 1 所以∠2=∠GDF 所以BE∥DG. 所以②正确. 因为∠2=∠GDF,∠1+∠2=90°， 所以∠1+∠GDF=90° 所以∠EDG=180°-（∠1+ ∠GDF)=90° 所以ED⊥DG. 所以③正确。 综上所述，①②③均正确： (2)答案不唯一，如“如果两个角组成 一个平角，那么它们的平分线互相 垂直” 1.3证明 第1课时证明的含义 及表述格式 1.C2.错误不能 3.∠AED两直线平行，同位角相等 ∠ABC∠AED角平分线的定义 ∠2同位角相等，两直线平行两直 线平行，同旁内角互补 4.C解析：因为FM平分∠EFD, 所以∠EFM=∠DFM=∠EFD, 因为EG平分∠AEF,所以∠AEG ∠GEF=7∠AEF.因为EM平分 ∠BEF,所以∠BEM=∠FEM= ∠BER.所以∠GEP+∠FEM= (∠AEF+∠BEF)=90,即 ∠GEM=90,∠FEM+∠EFM= (∠BEF+∠EFD).因为AB∥ CD,所以∠EGF=∠AEG,∠EFD= ∠AEF.所以∠FEM+∠EFM= 名∠BE+∠FD)=名（∠BEr+ ∠AEF)=90°.所以∠EMF=180° (∠FEM+∠EFM)=90°.所以 ∠GEM+∠EMF=90°+90°=180°. 所以EG∥FM.所以∠DFM=∠EGF, ∠GEF=∠EFM.所以与∠DFM相 等的角有∠EFM,∠GEF,∠EGF, ∠AFG以及∠GEF,∠EGF,∠AEG 三个角的对顶角，共7个 5.3解析：如图，因为∠2+ ∠EFG+∠4=180°，所以∠2+∠4 180°-∠EFG=180°-90°=90°. 因为AD∥BC,所以∠1=∠2，∠3 ∠4.所以∠1+∠4=90°，∠2+∠3 90°.所以①②正确.因为AD∥BC, 所以∠5=∠BFG.所以∠5-∠2= ∠BFG-∠2=∠EFG=90°.所以③ 正确.综上所述，正确的有3个 E 4 (第5题) 6.(1)∠A+∠ACD+∠D=360°. 如图①，过点C作CF∥AB,则易得 CF//DE. 因为CF∥AB, 所以∠A+∠ACF=180. 因为CF∥DE, 所以∠D+∠DCF=180°. 所以∠A+∠ACF+∠D+∠DCF= 360°. 因为∠ACD=∠ACF+∠DCF, 所以∠A+∠ACD+∠D=360°. (2)不满足。 正确的结论为∠ACD=∠A+∠D. 如图②，过点C作CG∥AB,则易得 CG//DE. 因为CGAB, 所以∠A=∠ACG 因为CGDE, 所以∠D=∠DCG: 因为∠ACD=∠ACG+∠DCG, 所以∠ACD=∠A+∠D: B ② ② (第6题) 第2课时三角形内角和 定理及推论 1.D2.A3.13 4 4.如图，延长ED交BC于点F. 因为∠CDE=105°， 所以∠CDF=180°-∠CDE=180° 105°=75. 因为∠BCD=50°， 所以∠BFD=∠BCD+∠CDF= 50°+75°=125° 又因为∠ABC=125°， 所以∠ABC=∠BFD. 所以AB∥DE. B (第4题) 5.A解析：因为BD平分∠ABC, 所以∠CBD=2∠ABC=2(180° ∠A-∠C)=90-2∠A-2∠C 所以∠ADB=∠C+∠CBD= ∠C+90-7∠A-7∠C=90+ 2(∠C-∠A.因为∠C-∠A= 20,所以∠ADB=90+号×2T=10o0 6.B解析：因为EF∥AB,∠EFC= B,所以∠B=∠EFC=B.因为CD平 分∠BCA,所以∠ACB=2∠BCD.因 为∠ADC是△BDC的外角，所以 ∠ADC=∠B+∠BCD.因为 ∠ADC=Y,所以∠BCD=Y一3.因为 ∠MAC是△ABC的外角，所以 ∠MAC=∠B+∠ACB.因为 ∠MAC=a,所以a=B+2(y-B),即 B=2Y-a. 7.110°解析：因为∠A=20°，∠C= 50°，所以∠AEB=∠A+∠C=70°. 因为∠B=40°，所以∠ADB= ∠AEB+∠B=70°+40°=110°. 8.120°解析：设AO交BF于点H, AC交BE于点G.在△AOG中， ∠AOE=∠A+∠AGE.在△CGE 中，∠AGE=∠C+∠E.所以 ∠AOE=∠A+∠C+∠E①.在