3.3 勾股定理的简单应用-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 3.3勾股定理的简单应用 第1课时 勾股定理的简单应用(1) 自基础进阶 5.如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路 1.如图，原来从A村到B村，需要沿路线A→ 线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着 C→B(∠C=90°)行走，以绕过两村间的一片 BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距 湖.在湖上建好桥后，可直接从A村到B村. 70m,结果发现BC比河宽AB多10m,求该 若AC=5km,BC=12km,则建好桥后从 河的宽度AB(两岸可近似看成平行). A村到B村比原来减少的路程为( A.2 km B.4 km C.10km D.14km (单位：米) 出发点10 北 (第5题) →东 20/4 40 终点 70 (第1题) (第2题) 2.如图，小明以广场为出发点，先向东走10米， 又向南走40米，再向西走20米，又向南走 甸素能攀升 40米，再向东走70米，小明到达的终点与原 6.如图，某自动感应门的正上方A处装有一个 出发点之间的距离为 感应器，其离地面的高度AB为2.5米，一名 A.80米B.100米C.110米D.180米 学生站在C处时，感应门自动打开了，此时 3.小明想测量旗杆的高度，如图，他先将升旗的 这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头 绳子拉到旗杆底端，并在绳子对应旗杆底端 顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学 生的身高CD为 () 的位置上打了一个结，然后将绳子拉到离 A.0.9米B.1.3米C.1.5米D.1.6米 旗杆底部4m处，绳头恰好接触到地面，发 现此时绳头距打结处为1m.旗杆的高度为 m. B (第6题) (第7题) F4m 7.如图，钓竿AC的长为10m,露在水面上的渔 (第3题) (第4题)》 线BC的长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的 4.如图，校园内有一块长方形草坪ABCD, 情况，把竿AC转动到AC'的位置，此时露在 AB=8m,BC=6m,从点A到点C,同学们 水面上的渔线BC的长为8m,则点B、B'之 为了抄近路，常沿线段AC走.同学们少走了 间的距离为 () m. A.1m B.2m C.3m D.4m 68 第3章勾股定理 8.如图，在一棵树的10m高的B处有 思维拓展 两只猴子，一只猴子爬下树走到离 11.如图，笔直的河流一侧有一旅游地 树20m处的池塘A处，另一只猴子 C,河边有两个漂流点A、B,其中 爬到树顶D后，直接跃到A处（路线看成直 AB=AC.由于某种原因，从旅游 线).如果两只猴子所经过的路程相等，那么 地C到漂流点A的路现在已经不通，为了 这棵树的高度为 m. 方便游客，决定在河边新建一个漂流，点H (漂流点A、H、B在同一条直线上)，并新修 B 一条路CH,测得BC=5千米，CH=4千 米，BH=3千米，则AC= 千米 第8题 9.如图，∠AOB=90°，OA=18m,OB=6m,一 个机器人在点B处看见一个小球从点A出 A H B 发，沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即 从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰 (第11题) 好在点C处截住了小球.若小球滚动的速度 12.某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种 与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路 自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千 程BC是多少？ 米的范围内形成极端气候，有极强的破坏 力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由 点A行驶向点B.已知点C为一海港，且点 (第9题) C与直线AB上两点A、B的距离分别为 300km和400km,且AB=500km,以台风 中心为圆心周围250km以内为受影响 区域 10.*如图，一棵大树AD的两侧各有一根斜拉 (1)求证：∠ACB=90°. 的绳子，小明想用所学知识测量大树AD的 (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 高，他从工作人员处了解到绳子AB的长为 (3)若台风的速度为40km/h,则台风影响 13m,AC的长为20m,然后用米尺测得点 该海港持续的时间有多长？ B、C之间的距离为21m.已知点B、C、D 在同一条直线上，AD⊥BC,求大树AD的高. (第12题》 D (第10题) 69 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第2课时 勾股定理的简单应用(2) 自基础进阶 幻素能攀升 1.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都 6.如图①②，不添加辅助线便可验证√5>2 是40m/min,甲客轮用15min到达点A,乙 的是 客轮用20min到达点B.若A、B两点的直 A.只有图① 线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30°的 B.只有图② 方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( C.图①②都可以 ① ② A.北偏西30 B.南偏西30° D.图①②都不可以 (第6题) C.南偏东60 D.南偏西60 7.如图所示为某石柱的示意图.在底 2.如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度 面周长约为6米的石柱上，有一条 数是 ( 雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到 A.22.5°B.30° C.45 D.60° 达柱顶正上方（从点A到点C,B为AC的中 413 点)，每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约 12 00 16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为() 3 A.20米 C B56789 (第2题) (第4题) B.25米 子 3.已知三角形的三边长为1、2、√3，则它的最小 C.30米 A 角为 D.15米 (第7题) 4.古埃及人把一根绳子打13个等距的结（每2个 8.在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画 结之间的距离为1)，用木桩钉成△ABC(如图). 一个等腰直角三角形，以实数1对应的点为 已知D是第10个结与第11个结之间的中点， 圆心，斜边长为半径画弧交数轴于点A,则点 则点D到点B的最短距离是 A所表示的实数是 5.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是 边AC的中点，连接AD、BE. -2-101 2A34 (1)若CD=8,CE=6,AB=20,求证：∠C= (第8题) 90° 9.《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有开 (2)若∠C=90°，AD=13,AE=6,求△ABC 门去阃(kùn)一尺，不合2寸，问门广几何？” 的面积. 意思如下：如图，推开两扇门(AD和BC),门 边缘D、C两点到门槛AB的距离是1尺 (1尺=10寸)，两扇门间的缝隙CD的长为 2寸，则门槛AB的长为 寸 (第5题) D C. (第9题) 70 第3章勾股定理 10.请用尺规在如图所示的数轴上作出表示1313.拉杆箱是人们出行的常用品，使用 对应的点A(保留作图痕迹，不写作法). 拉杆箱可以让人们出行更轻松.如 图，某种拉杆箱的箱体长AB= 65cm,拉杆最大伸长距离BC=35cm,在箱 体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长 -5-4-3-2-10123451 时，滚轮的圆心在图中的点A处，点A到地 (第10题) 面的距离AD=3cm,当拉杆全部缩进箱体 11.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D, 时，滚轮圆心水平向右平移55cm到，点A BD=9,AD=12,CD=16. 处，求拉杆把手C离地面的距离（假设点C (1)求AC的长 的位置保持不变) (2)判断△ABC的形状，并说明理由， D (第11题) (第13题) 岁思维拓展 12.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D 是边AB上的一个动点，则线段CD长的最 小值为 B (第12题) 71理由：，a2=(m2十n2)2=m4十 2m2n2+n,b2+c2=4m2n2+m- 2m2n2+n=m+2m2n2+n4, .∴.a2=b2+c2 ∴.以a、b、c为边长的三角形一定为 直角三角形 3.3勾股定理的简单应用 第1课时勾股定理的 简单应用(1) 1.B2.B3.7.54.4 5.设AB=xm,则BC=(x+10)m. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 x2+702=(x+10)2,解得x=240. ,∴.该河的宽度AB为240m. 6.D 7.B解析：易得点B'在线段AB上 在Rt△ABC中，，AB2+BC2= AC2,AC=10 m,BC=6 m,.AB= 8m.在Rt△AB'C'中，AB2十 B'C'2=AC2,AC'=10 m,B'C'= 8m,∴.AB'=6m..BB'=AB AB'=8-6=2(m). 8.15解析：设这棵树的高度为 xm.由题意，知两只猴子所经过的路 程都为30m,∠C=90°.∴.AD=30 (x-10)=(40-x)m.在Rt△ACD 中，由勾股定理，得x2+20=(40一 x)2,解得x=15..这棵树的高度为 15m. 9.小球滚动的速度与机器人行走 的速度相等，运动时间相等， .BC=AC. 设BC=xm,则AC=xm,OC= OA-AC=(18-x)m. ,∠AOB=90, ∴.OB2+OC2=BC2 ∴.6+(18-x)2=x2,解得x=10. ∴.机器人行走的路程BC是10m. 10.设BD=xm,则CD=(21 x)m. .AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90. 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2, 在Rt△ACD中，AD=AC2一CD, .AB2-BD2=AC2-CD2 .AB=13m,AC=20m, .132-x2=202-(21-x)2, 解得x=5. .'BD=5 m. ∴.AD2=AB2-BD2=144m. .AD=12m. ∴.大树AD的高为12m. 一方法归纳 解决具有直角背景的 实际问题的一般方法 解决这类问题的一般方法是 化归，也就是从实际问题中抽象出 直角三角形，将条件与结论放到同 一个直角三角形中，灵活运用勾股 定理，根据其中蕴含的相等关系， 建立以待求量为未知数的方程，即 可解决问题， .罗 解析：在△CHB中，BC= 5千米，CH=4千米，BH=3千米， ..CH2+BH2=BC2..△CHB是 直角三角形，且∠CHB=90°..CH AB.设AC=AB=x千米，则AH= AB一BH=(x一3)千米.在 Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2 AH2+CH2,即x2=(x-3)2+42,解 -得AC-千米 得x=6 12.(1)在△ABC中，AC=300km, BC=400 km,AB=500 km, .AC2+BC2=AB2. ∴.△ABC是直角三角形，且 ∠ACB=90°. (2)海港C受台风影响. 如图，过点C作CD⊥AB于点D. 1 :Sax=zAC·BC=ZAB.CD, .CD= AC·BC=300X400 AB 500 240(km). .250>240, ∴海港C受台风影响. (3)如图，当EC=250km,FC= 250km时，正好影响海港C. 在Rt△CED中，由勾股定理，得 33 ED=√EC2-CD2=√250-2402= 70(km). ∴.易得EF=140km ,台风的速度为40km/h, .∴.140÷40=3.5(h). .台风影响该海港持续的时间为 3.5h. AEDF B (第12题) 第2课时勾股定理的 简单应用(2) 1c2c3.04号 5.(1):D是边BC的中点，E是边 AC的中点，CD=8,CE=6, .AC=2CE=12,BC=2CD=16. AB=20, .AB2=AC2+BC2. ∴.△ABC是直角三角形，且∠C=90°， (2)·E是边AC的中点，AE=6, ,.AC=2AE=12. 在Rt△ACD中， ∠C=90°，AC=12,AD=13, ∴.CD2=AD2-AC2=132-122=25. .CD=5. .D是边BC的中点， .BC=2CD=10. .1 ·.△ABC的面积=2AC·BC= ×12×10=60. 1 6.A7.A8.1+√2 9.101解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E.设OA=OB=AD= BC=r寸，易知DE=10寸，OE 2CD=1寸，AE=(r-1)寸.在 Rt△ADE中，由勾股定理，得AE+ DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解 得r=50.5.∴.2r=101,即门槛AB 的长为101寸 、DC (第9题) 10.如图，点A即为所求. 2W3 5-4-3-2-1012345 (第10题) 11.(1)AD⊥BC, ∴.∠ADC=90. AD=12,CD=16, ∴.AC=√AD+CD=√12+16= 20,即AC的长是20. (2)△ABC是直角三角形. 理由：，AD⊥BC, .∠ADB=90°. BD=9,AD=12, ∴.AB=√AD+BD=√122+9= 15. BD=9,CD=16, ∴.BC=BD+CD=9+16=25. 由(1)知，AC=20, .AC2+AB2=202+152=400+ 225=625=252=BC2」 .△ABC是直角三角形，且 ∠BAC=90°. 2.兰解析：如图，过点A作AHL BC于点H.AB=AC,∴.BH= 号BC=方X6=3在R△ABH中， ∠AHB=90°，∴.由勾股定理，得 AH=AB2-BH=5-32=16. ∴.AH=4(负值舍去).由垂线段最短 可知，当CD⊥AB时，线段CD的长 取最小值，此时7AB·CD=2BC· AH,即合×5CD=2×6×4 ·CD=24 1 H (第12题) 13.如图，过点C作CE⊥DN于点 E,延长AA'交CE于点F,则 ∠AFC=90°. 设A'F=xcm,则AF=(55+x)cm. 由题意，可得AC=65+35=100(cm), A'C=65 cm 在Rt△A'CF中，CF2=A'C2 A'F2,在Rt△ACF中，CF2 AC2-AF2, ∴.652一x2=1002-(55+x)2,解得 x=25. ∴.A'F=25cm. .CF=√A'C-AF=60cm. 又：EF=AD=3cm, ∴.CE=60+3=63(cm). ∴拉杆把手C离地面的距离为 63cm. B -At============ D EN (第13题) 专题特训八勾股定理 中的数学思想 1.A2.13 3.C解析：设另一条直角边长为x, 则斜边长为x十2.由勾股定理，得 x2十62=(x十2)2，解得x=8..该 直角三角形的面积=2×6×8=24. 15 4.2 解析：·AB=BD=4, ∴.∠BAE=∠BDE.·CB⊥BD, .'.∠DBE=90°=∠CAB.∴.∠DEB= 90°-∠BDE,∠CAE=90°-∠BAE ∴.∠CAE=∠DEB.:∠AEC= ∠DEB,'.∠CAE=∠CEA. .AC=EC.BE=1,.BC= AC+1.AC+AB2=BC2, AC-(AC+DAC- 5.设BD=x,则CD=14-x. AD⊥BC, '.∠ADB=∠ADC=90 .AD2=AB2-BD2=AC2-CD2, 34 即152-x2=132-(14-x)2,解得 x=9. .BD=9. .AD2=AB2-BD2=152-92= 144,即AD=12. 6.(1)连接CE. D是BC的中点，DE⊥BC, .CE=BE. BE2-AE2=AC2, ∴.CE2-AE2=AC2,即AE2+ AC2=CE2」 ∴.△AEC是直角三角形，且∠A=90° (2).DE⊥BC, .∠BDE=90 在Rt△BDE中，DE=3,BD=4, .易得BE=5. 设AE=x,则AB=5+x. BE2-AE2=AC2, .AC2=25-x2. D是BC的中点， ∴.BC=2BD=8. 在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2, 即64=(5+x)2+25-x2,解得 x=1.4. .AE=1.4. 7.(1)ADBC, ∴.∠ADB=∠DBC. 由折叠的性质，可知∠DBE=∠DBC, ∴.∠DBE=∠ADB. .DE=BE. (2)设BE=DE=x,则AE=4一x. 在Rt△ABE中，.∠A=90°， .AB2+AE2=BE2. 32+(4-x)2=x2,解得x=8 5 &BE=DE-等 ∴.AE=AD-DE=4 25=1 881 8.14或4 9.如图①，当AB=AD时，易得 BD=12 m, .S△Am=2 ×8×12=48(m2). 如图②，当AB=BD时， BC=6 m,AC=8 m,