第09讲 勾股定理的逆定理与简单应用-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第09讲 勾股定理的逆定理与简单应用思维导图 知识点1 勾股定理的逆定理 1.上节课我们学习了勾股定理，回顾一下勾股定理的内容。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2.如果一个三角形的两条边的平方和等于第三步的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 如图，在▲ABC中a²+b²=c²，▲ABC是否为直角三角形？ 是。作Rt三角形A′B′C′，使得B′C′=a，A′C′=b ∵∠A′C′B′=90° ∴A′B′²=a²+b² ∵AB²=a²+b² ∴A′B′²=AB² ∴A′B′=AB 在▲ABC和▲A′B′C′中 ∴▲ABC≌▲A′B′C′（SSS ∴∠C=∠C ∴▲ABC是直角三角形 因此，如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，这个称为勾股定理的逆定理。 3. 根据三边长度，判断下面的三角形形状。 （1）3，4，3；   锐角三角形 （2）3，4，5； 直角三角形 （3）3，4，6；   钝角三角形 （4）5，12，13． 直角三角形 锐角三角形：a²+b²＞c² 直角三角形：a²+b²=c² 钝角三角形：a²+b²＜c² 满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数. 4.根据勾股定理填写表格。 a 3 6 9 12 … 3n b 4 8 12 16 … 4n c 5 10 15 20 … 5n 所以在求勾股定理的时候，还可以用比例解。 5.若△ABC的两边长为3和4，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（　C　） A，5；　　 B．7；　　 C．5或7；　　 D．8． 知识点2 勾股定理的简单应用 一株荷叶高出水面米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度． 解：设米，则米，米，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴(米)，(米)，答：荷叶的高度为5米，水面的深度为4米． 方法：解设x勾股定理。 教材习题01 法国数学家费尔马早在世纪就研究过形如的关系式，显然，满足这个关系式的有无数组.当都为正整数时，我们把这样的三个数叫做勾股数，如，就是一组勾股数． （1）请你再写出两组勾股数： ， ； （2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于的整数，，那么，为勾股数，请你加以证明． 教材习题02 如图，是的中线，，求． 教材习题03 《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 教材习题04 如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 教材习题05 围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高，树的根部到围墙的距离，树梢着地点到围墙的距离，．求大树折断前的高度．    考点一、勾股数 1．下列几组数是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1，， 2．勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 3．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 考点二、构成直角三角形 1．已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ． 3．阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 考点三、计算三角形、四边形的面积 1．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积 ． 3．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 考点四、勾股定理的应用——梯子滑落问题 1．一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 2．如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑 米． 3．如图，一根长为的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B点离墙根E点的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动到D点处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为多少？ 考点五、勾股定理的应用——旗杆高度问题 1．如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 2．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高度是 ． 3．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． (1)求风筝的高度． (2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 考点六、勾股定理的应用——方向问题 1．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 海里． 3．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里． (1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于、处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：） 考点七、勾股定理的应用——《九章算术》问题 1．《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 3．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺），大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．    (1)图中______尺，______尺； (2)求水池中水的深度． 考点八、勾股定理的逆定理求解 1．如图，在中，，，点在边上，且，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 2．如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长． 3．定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 考点九、最短问题 1．综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） 2．唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 3．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 知识导图记忆 1．下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．，， D．9，12，15 3．如图所示，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则的长为（    ） A． B．9 C． D．10 4．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若阴影部分的面积之和为16，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 5．如图，在中，，点D为边上一点，且，点E在边上（点E不与点B、C重合），将沿折叠，使得点B的对应点落在边上，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则代表的正方形的面积是 ． 7．如图，一棵高为9的大树被折断后，大树顶端恰好落在离底端3处，则折断处离地面的高度是 ． 8．A、B、C三地两两之间的距离如图所示，B地在A地的正西方向，则C地在B地的 方向． 9．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 10．如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为 ． 11．如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 12．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 求风筝的垂直高度：    13．已知：整式，且整式． (1)若，求整式、的值； (2)若、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 14．如图是一块地，已知． (1)连接，求的长度； (2)求这块地的面积． 15．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 勾股定理的逆定理与简单应用思维导图 知识点1 勾股定理的逆定理 1.上节课我们学习了勾股定理，回顾一下勾股定理的内容。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2.如果一个三角形的两条边的平方和等于第三步的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 如图，在▲ABC中a²+b²=c²，▲ABC是否为直角三角形？ 是。作Rt三角形A′B′C′，使得B′C′=a，A′C′=b ∵∠A′C′B′=90° ∴A′B′²=a²+b² ∵AB²=a²+b² ∴A′B′²=AB² ∴A′B′=AB 在▲ABC和▲A′B′C′中 ∴▲ABC≌▲A′B′C′（SSS ∴∠C=∠C ∴▲ABC是直角三角形 因此，如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，这个称为勾股定理的逆定理。 3. 根据三边长度，判断下面的三角形形状。 （1）3，4，3；   锐角三角形 （2）3，4，5； 直角三角形 （3）3，4，6；   钝角三角形 （4）5，12，13． 直角三角形 锐角三角形：a²+b²＞c² 直角三角形：a²+b²=c² 钝角三角形：a²+b²＜c² 满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数. 4.根据勾股定理填写表格。 a 3 6 9 12 … 3n b 4 8 12 16 … 4n c 5 10 15 20 … 5n 所以在求勾股定理的时候，还可以用比例解。 5.若△ABC的两边长为3和4，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（　C　） A，5；　　 B．7；　　 C．5或7；　　 D．8． 知识点2 勾股定理的简单应用 一株荷叶高出水面米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度． 解：设米，则米，米，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴(米)，(米)，答：荷叶的高度为5米，水面的深度为4米． 方法：解设x勾股定理。 教材习题01 法国数学家费尔马早在世纪就研究过形如的关系式，显然，满足这个关系式的有无数组.当都为正整数时，我们把这样的三个数叫做勾股数，如，就是一组勾股数． （1）请你再写出两组勾股数： ， ； （2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于的整数，，那么，为勾股数，请你加以证明． 解：（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，得到两组勾股数为（ 6，8，10），（ 9，12，15）． 故答案为：6，8，10；9，12，15． （2）证明: 即为勾股数. 教材习题02 如图，是的中线，，求． 解：是的中线， ， 是直角三角形，且 垂直平分 ． 教材习题03 《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 解：设竹子折断处离地面有尺， 由题意得：，，，， ∴， 则：， 解得：． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 教材习题04 如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ （1）解：作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置，此时，的长度之和最短，即所铺设水管最短； （2）过点作直线的垂线，过作直线的平行线，设这两线交于点，则．过作于， 依题意：，， ， （负值已舍去）， 由题意得：， ，， ， （负值已舍去）， ， ， 答：最节约铺设水管的费用为60000元． 教材习题05 围墙内一棵大树被风吹歪后斜靠在旁边的围墙上，然后在围墙的顶部被折断，树梢着地（如图），已知围墙高，树的根部到围墙的距离，树梢着地点到围墙的距离，．求大树折断前的高度．    解：在中，，， ， ． 在中，，， ， ． 因此，大树折断前的高度为 考点一、勾股数 1．下列几组数是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．1，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意； B、，正确，是勾股数，符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、，不是正整数，错误，不是勾股数，不符合题意 故选：B． 2．勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 【答案】，， 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照规律进行解答．根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第⑤组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， …… 第⑤组勾股数：，，， 故答案为：，，． 3．数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． (1)请补全横线上所缺的内容． (2)若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)，或，． 【分析】本题考查了勾股数及其应用． （1）根据解题过程，结合上下文即可完成； （2）分三种情况：；；，分别求出n，由（1）中结论即可求出余下两个数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴为勾股数． ①；②；③；④． （2）解：分三种情况： ①若，则， ， ； ②若，则， ， ； ③若，则不是有理数，故舍去． 综上所述，，或，． 考点二、构成直角三角形 1．已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，熟练应用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A．由，设，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意； B．由可得，能判定是直角三角形，符合题意； C．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意； D．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意． 故选：B． 2．已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴以1，3，，为三角形三边的三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故答案为：． 3．阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【答案】(1)锐角； (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可． 根据题意，三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，计算出和的大小，从而可以判断三角形的形状； 当是最长边时，可得方程，解方程求出即可，当是最长边时，可得方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是， ， 该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 故答案为：或． 考点三、计算三角形、四边形的面积 1．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴三角形菜地为直角三角形， ∴三角形菜地的面积为． 故选：A． 2．如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，连接，在直角中，根据勾股定理可以求得，在中，可得，根据勾股定理的逆定理确定为直角三角形，四边形的面积为和面积之和． 【详解】解：连接， 在直角中，，， ∴， 又∵，∴为直角三角形， ∴的面积为，的面积为， ∴四边形的面积为和面积之和，即． 故答案为：． 3．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．先利用勾股定理在中求出，再结合，，判定是直角三角形，且，再利用即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 考点四、勾股定理的应用——梯子滑落问题 1．一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，设它的底部滑行了，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴， 设它的底部滑行了，则有， ∴， 解得：； 故选D． 2．如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑 米． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得、，进而求得即可求解． 【详解】解：由题意，在中，，， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故滑杆顶端A下滑5米， 故答案为：5． 3．如图，一根长为的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B点离墙根E点的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动到D点处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得，，，，由勾股定理求出，的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，，，，， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 答：梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为． 考点五、勾股定理的应用——旗杆高度问题 1．如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为，则，在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为，则， 由题意可知， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即旗杆的高度为， 故选：C． 2．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 根据勾股定理求出的长，再加上的长度即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， 旗杆折断之前的高度是， 故答案为：． 3．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． (1)求风筝的高度． (2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论∶ 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）如图：由题意得，米，∴米， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 考点六、勾股定理的应用——方向问题 1．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：C． 2．如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 海里． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设轮船向东北航行到，向东南方向航行到， 由题意得，海里， 海里， ， 故答案为：． 3．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里． (1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于、处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)乙船沿南偏东方向航行，理由见解析 (2)他能在14分钟内到海岸线，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形进行解答． （1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）作于D，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：（海里）， （海里）， 在中， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴乙船沿南偏东方向航行； （2）过点C作于D， 由题知，则（海里）， ∴海里， ∴（海里）， （海里）， ∴他能在14分钟内到海岸线． 考点七、勾股定理的应用——《九章算术》问题 1．《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺， 由题意得，， 故选：A． 2．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理解题．设木柱长为x尺，则绳索长为，然后根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 3．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺），大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽尺，线段，表示芦苇，于点E．    (1)图中______尺，______尺； (2)求水池中水的深度． 【答案】(1)1，5 (2)水深为12尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）根据题意即可求解； （2）设水深x尺，则芦苇尺，在中，根据勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：尺，尺． 故答案为：1，5； （2）解：设水深x尺， 则芦苇尺， 在中，， 解得：， 答：水深为12尺． 考点八、勾股定理的逆定理求解 1．如图，在中，，，点在边上，且，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理得，进而求得，在中，勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． ∴ 在中， （2）是直角三角形，理由如下： ∵，， ， 是直角三角形，是直角． 2．如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，先由勾股定理算出，再结合，则，故的面积，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形，， 的面积， ． 3．定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键． （1）设，，，根据类勾股三角形的特征，把代入运算求解即可． （2）设，，，利用角的等量代换证出，得到，利用等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∵是“类勾股三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：设，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴为“类勾股三角形”． 考点九、最短问题 1．综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面展开图为长方形即可求解； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图 由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积 ∴裁剪出的包装纸的面积为 （2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短， ∴绕2圈所需绳子的最短长度为 2．唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 【答案】任务一：；任务二： 【分析】任务一：连接，则的长度即为的最小值，再加上的长即可求得周长的最小值； 任务二：作于，交于点，由的面积等于，求得，由等腰三角形的性质得，由点到直线的距离垂线段最短知：的最小值为，即可求解． 【详解】解：任务一：如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ， ，即就是的最小值， ，为的中点，是等边三角形， ，，， ， 周长的最小值为：； 任务二：作于，交于点，如图， ，， ， ， 是中线，， 是边上的高线，即垂直平分， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图， ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 知识导图记忆 1．下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据一组数中的三个数是否满足，若能则能构成直角三角形三边，否则不能构成直角三角形三边． 【详解】解：A选项：，，，不能构成直角三角形三边，故A选项不符合题意； B选项：，，，不能构成直角三角形三边，故B选项不符合题意； C选项：，，，能构成直角三角形三边，故C选项符合题意； D选项：，，，不能构成直角三角形三边，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．，， D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足，那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、， 7，12，13不是勾股数，故该选项不符合题意； B、， 3，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意； C、，，不是正整数， ，，不是勾股数，故该选项不符合题意； D、， 9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 3．如图所示，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则的长为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作垂线，勾股定理的运用，理解作图，掌握勾股定理是关键． 根据作图得到，由勾股定理得到，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，，且知，， 由勾股定理可得， 在中，，， 由勾股定理得， 故选：B． 4．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若阴影部分的面积之和为16，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积. 由勾股定理得，再求出，则，即可得出结论． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，在中，，点D为边上一点，且，点E在边上（点E不与点B、C重合），将沿折叠，使得点B的对应点落在边上，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质及勾股定理． 根据等腰直角三角形的性质得出，根据翻折的性质和线段的和差得出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ， 由翻折的性质可得， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 故选：D． 6．如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则代表的正方形的面积是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，掌握以勾股定理的计算为背景是关键． 根据图示，运用以勾股定理为背景得计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为：100 ． 7．如图，一棵高为9的大树被折断后，大树顶端恰好落在离底端3处，则折断处离地面的高度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是理解题意，正确列出方程．本题设折断处离地面的高度是，即可列出方程求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是， 则， ∴， 答：折断处离地面的高度是 ． 故答案为：4 8．A、B、C三地两两之间的距离如图所示，B地在A地的正西方向，则C地在B地的 方向． 【答案】正北 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，方位角，根据勾股定理的逆定理可证明，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∵B地在A地的正西方向， ∴C地在B地的正北方向， 故答案为：正北． 9．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 【答案】19 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作交延长线于点D，则， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 故答案为：19． 10．如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：取的三等分点F（靠近B点），即，，连接；易证可得，再根据三角形的三边关系可得，即可说明当A、D、F三点共线时，的最小值为． 【详解】解：如图：取的三等分点F（靠近B点）， ∵， 即，，连接， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A、D、F三点共线时，有最小值为，即的最小值为． ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】(1)；5 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：， ； （2）解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 12．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 求风筝的垂直高度：    【答案】米 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意可得，四边形是矩形，在中，运用勾股定理得，由即可求解． 【详解】解：根据图示可得，四边形是矩形， ∴米， 在中，由勾股定理得，， （负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为米． 13．已知：整式，且整式． (1)若，求整式、的值； (2)若、、的值均为正数，则以整式、、为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】(1)或 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要查求代数式的值，勾股定理的逆定理： （1）把代入，可得，然后把分别代入A，B，即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上所示：或； （2）解：以整式、、为边长的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴这个三角形是直角三角形． 14．如图是一块地，已知． (1)连接，求的长度； (2)求这块地的面积． 【答案】(1) (2)这块地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积． （1）根据勾股定理可求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可求出，可求出的面积，减去的面积，可求出四边形的面积． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ， （2）解：∵，， 在中，， 是直角三角形， ， ． 答：这块地的面积为． 15．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）,，见解析；（3）8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边和角之间的关系． （1）根据等边三角形的性质可知，，，利用可证，根据全等三角形的性质可得、； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，利用利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据全等三角形对应角相等，可知，从而可得； （3）过点作交于点，由知，根据全等三角形的性质可得，，从而可知，利用勾股定理可得． 【详解】（1）①解：和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）,. 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴； (3)如图所示，过点A作交于点F， 由（2）知， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ， ∴. 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$