3.2 勾股定理的逆定理-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 3.2勾股定 自基础进阶 1.下列长度的各组线段中，不能构成直角三角 形的是 A.3、3、5 B.3、4、5 C.1、2、W5 D.1、√3、2 2.一个直角三角形的三边长分别为a、b、c,那 么以ak、bk、ck(k>0)为三边长的三角形是 () A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点.若 AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,CD 的长为 B D (第3题) (第4题)》 4.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC.若 AB=4,BC=3,AD=12,CD=13,则四边形 ABCD的面积是 5.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC= 20cm,D是边AB上一点，且CD=16cm, BD=12cm.求： (1)AD的长. (2)△ABC的边BC上的高. c (第5题) 66 理的逆定理 幻素能攀升 6.如图，P是等边三角形ABC内一点，连接 PA、PB、PC,PA:PB:PC=3:4:5,以 AC为边在△ABC外作△AP'C≌△APB, 连接PP',则下列结论错误的是 () B (第6题) A.△APP'是等边三角形 B.△PCP'是直角三角形 C.∠APB=1509 D.∠APC=135 7.*已知三角形的三边长分别为a、b、c,且a十 b=10,ab=18,c=8,则该三角形是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 8.如图，∠BAC=90°，AB=4,AC=4,BD=7, DC=9,则∠DBA的度数为 D (第8题) 9.如图，在△ABC中，AB=AC,D为AB上一 点，连接CD,BD=5,CD=12,BC=13,则 AB= 8 (第9题) 10.如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于 点D,点E在线段BD上，且EA=EB.已 知BD=16,AD=12,AC=15. (1)求线段DE的长 (2)求证：∠BAC=90°. B ED (第10题) 11.如图，在△ABC中，AB=10,BC= 12,边BC上的中线AD=8. (1)求证：△ABC为等腰三角形. (2)若点H在线段AC上，试求AH+ BH+CH的最小值. (第11题) 第3章勾股定理 思维拓展 金 12.在一次“构造勾股数”的探究性学 习中，老师给出了下表（注：m、n为 正整数，且m>n): 2 3 3 4 1 1 2 3 a 22+12 32+1232+22 42+32 … b 6 12 24 22-12 32-12 32-242-32 (1)观察表格中的数据，当m=2,n=1时， 此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形 三边的长？ (2)试猜想a、b、c与m、n之间的关系并用 含m、n的代数式表示：a= ,b= C (3)以a、b、c为边长的三角形是否一定为 直角三角形？如果是，请说明理由；如果不 是，请举出反例. 67AB=名c六，SE=SAE十 1 += ∴.a2+b2=c2. E (第9题) 3.2勾股定理的逆定理 1.A2.A3.94.36 5.(1),BC=20cm,CD=16cm, BD=12 cm, ∴.BD2+CD2=BC2. .∠BDC=90. .∠ADC=90. 设AD=xcm,则AC=AB=(x+ 12)cm. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 AD2+CD2=AC2, 2+16=(+12,解得x兰 AD-号cm (2)如图，过点A作AE⊥BC于点 E,则AE是△ABC的高. 由1，知AB=AC-兰+12-号m AB=AC,AE⊥BC, BE-CE-BC=10cm. 在Rt△AEB中，由勾股定理，得AE= AB-E=(g)-10-1.9。 9 -(cm), .AE=40 m,即△ABC的边BC上 的商是智cm (第5题) 6.D解析：：△ABC是等边三角 形，.∠BAC=60°.△AP'C≌ △APB,∴AP'=AP,P'C=PB, ∠P'AC=∠PAB..易得∠PAP'= ∠BAC=60°.∴.△APP'是等边三角 形.故A正确.又PA:PB:PC= 3:4:5,.设PA=3.x,则PP′= PA=3x,P'C=PB=4x,PC=5x. 根据勾股定理的逆定理可知，△PCP 是直角三角形，且∠PP'C=90°.故B 正确.又△APP'是等边三角形， ∴.∠AP'P=60.∴.易得∠APB= ∠AP'C=150°.故C正确.根据已有 的条件无法计算出∠APC的度数.故 D错误 7.B解析：，c=8,∴.c2=64 (a+b)2-2ab=100-36=64, ∴a2十b2=c2..该三角形是直角三 角形 一方法归纳 判断直角三角形的方法 若已知条件与角度有关，则可 利用三角形的内角和定理判断，得 出其中的一个角等于90°.若已知 条件与边有关，则一般通过计算得 出三边的数量关系，看是否符合较 短两边的长的平方和等于最长边 的长的平方. 8.459 9.16.9解析：在△BDC中，BD= 5,CD=12,BC=13,.∴.BD2+CD2= 25+144=169,BC2=169.∴.BD2+ CD2=BC2..△BCD是直角三角 形，且∠BDC=90°.∴.∠ADC= 180°-∠BDC=90°.设AB=AC= x,则AD=AB-BD=x-5.在 Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2, .（x-5)2十144=x2,解得x= 16.9..AB=16.9. 10.(1)设BE=AE=x. BD=16, .ED=BD-BE=16-. .AD⊥BC, ∴.∠ADE=∠ADC=90°. 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE, .x2=122+(16-x)2,解得x=12.5. 32 '.DE=16-x=3.5. .DE的长为3.5. (2)在Rt△ABD中，AD=12,BD=16, ..AB =√BD'+AD √16+122=20. 在Rt△ADC中，AC=15,AD=12, ∴.CD AC?-AD2 √/152-122=9. .'BC=BD+CD=25. AB2+AC2=202+152=625, BC2=252=625, .'AB2+AC2=BC2. .△ABC是直角三角形，且 ∠BAC=90°. 11.(1).AD是边BC上的中线， BD=DC=BC=6. BD2+AD2=62+82=102=AB2, .△ABD为直角三角形，且 ∠ADB=90. .AD⊥BC :AD是边BC上的中线， .AB=AC. ∴.△ABC为等腰三角形 (2)由(1)，知AC=AB=10. AH+BH+CH=AC+BH= 10+BH, .当BH的长最小时，AH+BH+ CH有最小值. 由垂线段的性质，可知当BH⊥AC 时，BH的长最小， 此时号AC,BH=BC·AD, 、.BH=BC,AD_12X8=9.6 AC 10 .AH+BH+CH的最小值为10+ 9.6=19.6. 12.(1)当m=2,n=1时，a=5,b= 4,c=3, .32+42=52, ∴.a、b、c的值能为直角三角形三边 的长. (2)m2+n2;2m;m2-n2. (3)以a、b,c为边长的三角形一定为 直角三角形. 理由：，a2=(m2十n2)2=m4十 2m2n2+n,b2+c2=4m2n2+m- 2m2n2+n=m+2m2n2+n4, .∴.a2=b2+c2 ∴.以a、b、c为边长的三角形一定为 直角三角形 3.3勾股定理的简单应用 第1课时勾股定理的 简单应用(1) 1.B2.B3.7.54.4 5.设AB=xm,则BC=(x+10)m. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 x2+702=(x+10)2,解得x=240. ,∴.该河的宽度AB为240m. 6.D 7.B解析：易得点B'在线段AB上 在Rt△ABC中，，AB2+BC2= AC2,AC=10 m,BC=6 m,.AB= 8m.在Rt△AB'C'中，AB2十 B'C'2=AC2,AC'=10 m,B'C'= 8m,∴.AB'=6m..BB'=AB AB'=8-6=2(m). 8.15解析：设这棵树的高度为 xm.由题意，知两只猴子所经过的路 程都为30m,∠C=90°.∴.AD=30 (x-10)=(40-x)m.在Rt△ACD 中，由勾股定理，得x2+20=(40一 x)2,解得x=15..这棵树的高度为 15m. 9.小球滚动的速度与机器人行走 的速度相等，运动时间相等， .BC=AC. 设BC=xm,则AC=xm,OC= OA-AC=(18-x)m. ,∠AOB=90, ∴.OB2+OC2=BC2 ∴.6+(18-x)2=x2,解得x=10. ∴.机器人行走的路程BC是10m. 10.设BD=xm,则CD=(21 x)m. .AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90. 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2, 在Rt△ACD中，AD=AC2一CD, .AB2-BD2=AC2-CD2 .AB=13m,AC=20m, .132-x2=202-(21-x)2, 解得x=5. .'BD=5 m. ∴.AD2=AB2-BD2=144m. .AD=12m. ∴.大树AD的高为12m. 一方法归纳 解决具有直角背景的 实际问题的一般方法 解决这类问题的一般方法是 化归，也就是从实际问题中抽象出 直角三角形，将条件与结论放到同 一个直角三角形中，灵活运用勾股 定理，根据其中蕴含的相等关系， 建立以待求量为未知数的方程，即 可解决问题， .罗 解析：在△CHB中，BC= 5千米，CH=4千米，BH=3千米， ..CH2+BH2=BC2..△CHB是 直角三角形，且∠CHB=90°..CH AB.设AC=AB=x千米，则AH= AB一BH=(x一3)千米.在 Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2 AH2+CH2,即x2=(x-3)2+42,解 -得AC-千米 得x=6 12.(1)在△ABC中，AC=300km, BC=400 km,AB=500 km, .AC2+BC2=AB2. ∴.△ABC是直角三角形，且 ∠ACB=90°. (2)海港C受台风影响. 如图，过点C作CD⊥AB于点D. 1 :Sax=zAC·BC=ZAB.CD, .CD= AC·BC=300X400 AB 500 240(km). .250>240, ∴海港C受台风影响. (3)如图，当EC=250km,FC= 250km时，正好影响海港C. 在Rt△CED中，由勾股定理，得 33 ED=√EC2-CD2=√250-2402= 70(km). ∴.易得EF=140km ,台风的速度为40km/h, .∴.140÷40=3.5(h). .台风影响该海港持续的时间为 3.5h. AEDF B (第12题) 第2课时勾股定理的 简单应用(2) 1c2c3.04号 5.(1):D是边BC的中点，E是边 AC的中点，CD=8,CE=6, .AC=2CE=12,BC=2CD=16. AB=20, .AB2=AC2+BC2. ∴.△ABC是直角三角形，且∠C=90°， (2)·E是边AC的中点，AE=6, ,.AC=2AE=12. 在Rt△ACD中， ∠C=90°，AC=12,AD=13, ∴.CD2=AD2-AC2=132-122=25. .CD=5. .D是边BC的中点， .BC=2CD=10. .1 ·.△ABC的面积=2AC·BC= ×12×10=60. 1 6.A7.A8.1+√2 9.101解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E.设OA=OB=AD= BC=r寸，易知DE=10寸，OE 2CD=1寸，AE=(r-1)寸.在 Rt△ADE中，由勾股定理，得AE+ DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解 得r=50.5.∴.2r=101,即门槛AB 的长为101寸 、DC (第9题)