第2章 实数的初步认识 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第2章整合拔尖 德知识体系构建 正有理数 有理数 按定义分 整数、有限小数或循环小数0 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 正有理数 按正负分 正实数 正无理数 0 负有理数 负实数 负无理数 近似值 近似值与准确值。准确值是精确的数据，近似值是不精确的数据 ①用四舍五入法取一个数的近似值时，四舍五入到哪一位， 这个近似数就精确到哪一位 取近似值 ②用四舍五入法按精确度的需要取近似值时，一般只考虑 精确到的那一位后面紧跟的一位是舍还是入 实数的初步认识 互逆 加 减 运算 实数的运算 互逆 乘 除 运算 算术平方根非负的平方根 个正数有两个平方根 平方根 0的平方根是0 负数没有平方根 互逆 乘方开方 运算 被开方数为非负数 正数的立方根是正数 0的立方根是0 立方根 负数的立方根是负数 被开方数是任意实数 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示：反过来，数轴上的每一个点 都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应 数轴 58 第2章实数的初步认识 [91高频考点突破 考点一平方根与算术平方根及其性质 23 [变式]在实数3、-√35、W0.15w0、243、 典例1若a是（一4）2的平方根，b的算术平方 0.2020020002…(相邻的两个“2”之间依次多 根是2，则代数式a+b的值为 A.8 B.0 一个“0”)、一125中，选择合适的数填入相应的 C.8或0 D.4或-4 括号内： 一提示 (1)有理数：{ …} 先根据平方根和算术平方根的性质求得α、b的 (2)无理数：{ …} 值，然后根据有理数的加法法则求解即可」 (3)正实数：{ …}. 变式]已知实数a、b满足|a一3|+|b+2+ (4)负实数：{ …}. √1一a十a=3,则a+b的值为 (5)分数：{ …}. A.-1 B.2 C.3 D.5 (6)整数：{ 考点二立方根及其性质 考点四无理数的估算 典例4有一块面积为300m的长方形土地， 典例2若一个正数x的平方根是I7一a和 若它的长与宽的比为6：1，则宽在 3a一1，则a的值为 A.5m和6m之间 B.6m和7m之间 提示 C.8m和9m之间 D.7m和8m之间 根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反 提示 数得出17一a十3a-1=0,再根据立方根的性质 设宽为xm(x>0),则长为6.xm.根据题意，可 得出17-a十3a-1=0,从而求出a的值，即可求出 得6x·x=300,从而可得宽为√50m,然后估算出 a的值. √50所在的范围，即可解答 [变式]已知x为有理数，x一3一2x十1=0， [变式](2024·合肥包河期中)我们知道√2≈ 求x2+x一3的平方根. 1.414,于是我们说：“√2的整数部分为1，小数部 分可记为√2一1.” (1)√2+1的整数部分为 ,√2+1的小 数部分可以表示为 (2)已知W3+2的小数部分是a,7一√3的小数 考点三实数的概念及其分类 部分是b,求a十b的值， 典例3把下列各数填入相应的括号内：一1、 .-145w5-、号.无 (1)有理数：{ …} (2)无理数：{ …}. (3)正实数：{ …}. (4)负实数：{ …}. 59 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 考点五近似值 提示 根据材料中例题所给的方法，对所求式子进行 典例5按括号内的要求用四舍五入法求近似 变形，求出x、y的值，从而可以求得x十y的值. 值，其中正确的是 A.2.604≈2.60（精确到十分位） B.0.0234≈0.0（精确到0.1） C.39.37亿≈39亿（精确到个位） D.12345670≈12350000（精确到万位） [变式]2023年端午假期，我国国内旅游出游约 1.06亿人次，同比增长32.3%.其中“1.06亿” 精确到的数位是 () A.百分位B.十分位C.千万位D.百万位 考点六实数的运算 [变式](2024·重庆梁平期中)已知m、n为有 典例6(2024·合肥期中)阅读材料： 理数，并且满足等式m2-2m一√2n=17一4√2， 若a、b都是有理数，且a十√2b=3一2√2，求a、 求m十n的值. b的值. 由题意，可得(a一3)十√2(b+2)=0. .a、b都是有理数， ∴.a一3、b十2也是有理数. √2是无理数， ∴.b+2=0,a-3=0,即a=3,b=-2. 解决问题： 设x、y都是有理数，且满足x2-2y十5y= 10+35,求x+y的值. 划综合素能提升 1.√8I的算术平方根为 ( 4. (2024·长沙模拟)下列四个数中，比1小的 A.9 B.±9 正无理数是 () C.3 D.±3 A司 B. √2 2 .号 2.若/2a-4+(b+1)2=0,则ab的值为() A.-2 B.-1 5.若M=21×232+44×22-22,则M的取 C.1 D.2 值范围是 () 3.关于由四舍五入法得到的近似数7.7×104， A.M<-1 B.M=1 下列说法中正确的是 ( C.-1<M<1 D.M>1 A.精确到十分位 B.精确到个位 6.在实数一3、0、π、一√5、√6中，最大的一个数 C.精确到百位 D.精确到千位 是 60 第2章实数的初步认识 7.将数一√5、√7、√13表示在如图所示的数轴 11.观察求算术平方根的规律 上，其中，能被墨迹覆盖的数是 √0.0001=0.01，√0.01=0.1 -2-10134→ √1=1，√/100=10，√10000= (第7题) 100,…,并利用这个规律解决下列问题： 8.如图，实数一√5、√15、m在数轴上所对应的 (1)已知/20≈4.47，估算√2000的值. 点分别为A、B、C,点B关于原点O的对称 (2)已知3.68≈1.918，√a≈191.8，求a 点为D.若m为整数，则m的值为 DC A O B→ 的值 0 (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已 (第8题) 9.如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单 知n≈1.26，m≈12.6，用含n的代数式 位长度的半圆，A是半圆弧的中点，半圆直径 表示m. 的一个端点位于原点O.该半圆沿数轴从原 点O开始向右无滑动滚动，当点A第一次落 在数轴上时，点A表示的数为 (第9题) 10.为了生产某雕塑，需要把截面面积为56cm、 长为32cm的长方体钢体，铸成两个正方体， 其中大正方体的棱长是小正方体的3倍.求 这两个正方体的棱长， 61∴94>9. ..94-9>0. -90. 9 -3 9。 9.1<沉<x<x2解析：不妨设 x=-，则士=-8,2= 64 次=是<<< 10.1<2/5, 清 “+2+-5, 55'3 1++>原 2.4近似值 1.C2.D3.3.1416 4.(1)56.03(2)56(3)6×10 5.(1)根据题意和四舍五入的原则， 可知数x可取的最大值为3444，最小 值为2445. (2),x可取的最大值为3444，最小 值为2445， ∴.3444-2445=999≈1×103. 6.B7.B 8.D解析：A、0.720精确到千分 位，故本选项错误；B、5.078×10精 确到十位，故本选项错误；C、36万精 确到万位，故本选项错误；D、2.90× 10精确到千位，故本选项正确。 9.4.60×10 一方法归纳 确定较大数精确度的一般方法 解答这类问题时，一般先找到 所要精确的位数，再运用科学记数 法加以表达 10.2.0311.1.49×108 12.(1)3.77986×108. (2)3.8×108. (3)4×108. 13.(1)3.8×104 (2)0.40. (3)0.0287. (4)3.5. 14.(1)设原轴的长度为a,则 2.795ma<2.805m. (2)小王加工的轴不合格. 理由：由(1)知，原轴的长度范围是 2.795m≤a<2.805m, ∴.一根为2.76m,另一根为2.82m 的轴都不符合要求，即小王加工的轴 不合格. 15.②③解析：①当x=0.67时， 《2x》=《1.34》=1,而2《x》=2×1 2,左边≠右边.故①不成立.②注意 到m、x都是非负数，令左边=《m十 2x)=则a-号≤m+2r<+ 1 (≥m),则(n-m)-2 ≤2x<(n m)+2,《2x》=n-m..m十 《2x》==左边，即左边=右边.故② 成立.③令n-<<n+（), 1 .3 则《x》=n.又：《x》=之x,故n= 3 3 x心将n=之x代人(*)式，得 31 31 2x-2≤x<2x+2,解得-1< 1.-<≤又由 《x》= 3 .3 3 2x知，立x为整数2x 0或1（非负整数），即x=0或3： “满足x》=是x的丰负实数x只 有两个.故③成立.故答案为②③. 16.(1)①5.5≤x<6.5. ②0或是或受 .3 (2)设x=n十a,其中n为x的整数 部分(n为非负整数)，a为x的小数 29 部分(0≤a<1),分两种情况讨论： ①当0心a<2时，有<>=儿 x十m=n十m十a,这时n十m为 x十m的整数部分，a为x十m的小数 部分， .<x十m>=n十m. 又.<x>十m=n+m, ,∴.x十m>=<x>十m. @当号<a1时，有<>=n+1 x十m=n十m十a,这时n十m为 x十m的整数部分，a为x十m的小数 部分， ∴.<x+m>=n+m+1. 又，<x>+m=n+1+m=n十 m+1, .<x十m>=<x>十m. 综上所述，<x十m>=<x>+m恒 成立 第2章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C [变式]A解析：由题意，得1-a≥ 0,解得a≤1..a-3<0..原等式 为-a+3+|b+2+√1一a=3-a. 整理，得b+2+√1一a=0.∴.b十 2=0,1-a=0,解得b=-2,a=1. ∴.a+b=-1. 典例2一2解析：：一个正数x 的平方根是/17-a和3a-1, .917-a+9/3a-五=0.∴.17 a+3a-1=0..a=-8..a= 3-8=-2. [变式]x-3-2x+1=0, ∴.x-3=2x十1，解得x=-4. ∴.x2+x-3=16-4-3=9. .x2十x一3的平方根为士3. 典例3(1)-1、-3.14、√5、0.7. 26-瓜，号 (3)√5、π√、√6-2、0.7. -1.-814.9 [变式]①3%5. (2)-√35、√0.15、10、9243、 0.2020020002…(相邻的两个“2”之 间依次多一个“0”). (3)3、号、0.5、而、2 23 0.2020020002…(相邻的两个“2”之 间依次多一个“0”). (4)-√35、3一125」 6创翠 (6)3、3-125. 典例4D [变式](1)2w2-1. 解析：√T<√2<√4，∴.1<√2<2 ∴.2<2+1<3.∴.√2+1的整数部 分为2，小数部分可以表示为√2十1一 2=2-1. (2)厅<5<4， .1<5<2. .3<5+2<4. .√5+2的整数部分是3，小数部分 是5+2-3=√5-1. :√5十2的小数部分是a, ∴.a=5-1. √T<5<√4， .1<52. .-2<-5<-1. ∴.5<7-√5<6. .7一√3的整数部分是5，小数部分 是7-√5-5=2-√5. 7一√5的小数部分是b, .b=2-3 .a+b=√3-1+2-√3=1. 典例5B 「变式1D 典例6，x2-2y十√5y=10+35, ∴.(x2-2y-10)+5(y-3)=0. :x、y是有理数， .x2-2y-10、y一3也是有理数. ,√5是无理数， .∴.y-3=0,x2-2y-10=0. .y=3,x=士4. 当x=4,y=3时，x十y=4十3=7：当 x=一4，y=3时，x+y=-4十 3=-1. 综上所述，x十y的值为7或-1. 变式].m2-22-√2n=17-4W2, .(m2-2n-17)+√2(4一n)=0. m、n为有理数， .'.m2-2-17=0,4-n=0. ∴.m=±5，n=4. 当m=5,n=4时，m+n=5十4=9： 当m=-5,n=4时，m十n=-5+ 4=-1. .m十n的值是9或-1. [综合素能提升] 1.C2.A3.D4.C 5.B解析：212×23+44×22 224=[(22-1)×(22+1)]2+44× 22-22=(222-1)2+44×22- 224=224-2×222+1+2×222 224=1.T=1,∴.M=1. 6.π7.√7 8.一3解析：点B表示的数为 √5，点B关于原点O的对称点为 D,.点D表示的数为一√15..点 C在点A、D之间，.一5< m<-5.-4<-√15<-3， -3<-5<-2,.-√15< -3<-√5.m为整数，∴m的值 为-3. 9.4十π解析：由题意，可得当点A 第一次落在数轴上时，点A表示的数 为4计宁××xx4=4计 10.设小正方体的棱长为xcm,则大 正方体的棱长为3.ccm. 由题意，得x3+(3.x)3=56×32,即 28.x3=56×32, 30 '.x3=64 '.x=4. '.3x=12. ∴.这两个正方体的棱长分别为4cm 和12cm. 11.(1)√20≈4.47， ∴.√2000≈4.47×10=44.7. (2).191.8=1.918×100, .√a=√3.68X10000=√36800. ∴.a=36800. (3)1.26×10=12.6, ∴./1000m=m. ∴.10002=m,即m=1000. 第3章 勾股定理 3.1勾股定理的探究 第1课时勾股定理的发现 1.A2.C3.1084.3-5 5..CD⊥AB, ..∠ADC=∠BDC=90° 在Rt△CDB中，由勾股定理，得 BC2=CD2+BD2=122+92=225, .BC=15. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 AD2=AC2-CD2=202-122=256, .AD=16. .AB=AD+DB=16+9=25. 6.A7.B 8.D解析：设该直角三角形的斜边 长为x.由勾股定理，得x2=82十 (32一x)2,解得x=17..∴.斜边的长 为17. 9.20 10.10解析：：CB⊥AD,AE⊥ DC,∴.∠ABF=∠CBD=∠AED= 90°.∴.∠A+∠D=90°，∠C+ ∠D=90°..∠A=∠C.在△ABF ∠A=∠C, 和△CBD中，AB=CB, ∠ABF=∠CBD, .△ABF≌△CBD.∴BF=BD. AB=CB=8,CF=2,∴.BF= BC-CF=6.'.BD=6.在Rt△BCD 中，CD2=BD2+BC,∴.易得CD=10.