2.1 平方根-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

PE=PC, ∴.△CPE为等边三角形 .CP=PE=CE,∠PCE=60° ,△ABC为等边三角形， ∴.AC=BC,∠BCA=60°. .∠ACB=∠PCE ∴.∠ACB+∠BCP=∠PCE+ ∠BCP,即∠ACP=∠BCE, ∴.△ACP≌△BCE. .'AP=BE BE=BP+PE, .AP=BP+PC. (2)如图②，以AD为边，在△ABD 外作等边三角形ABD,则点P在等 边三角形AB'D外，连接PB'、CB. ,∠APD=120°， ∴.由(1)，得PB=PA+PD. 在△PB'C中，PB+PC>CB', .PA+PD+PC>CB'. :△AB'D、△ABC为等边三角形， ∴.AC=AB,AB'=AD,∠DAB'= ∠BAC=60°. '.∠DAB'+∠CAD=∠BAC+ ∠CAD,即∠CAB'=∠BAD. .△AB'C2△ADB」 .CB'=BD. .PA+PD+PC>BD. ① [综合素能提升] 1.D2.C3.B4.B5.①②④ 6.45°7.4 8.30°解析：如图，连接BE并延长， 交CF于点H.:△ABC是等腰直 角三角形，AD⊥BC,∴.易得AD是 BC的垂直平分线..EB=EC ∴.∠EBC=∠ECB.△CEF是等 边三角形，.∠FEC=60°，EF=EC ∴EB=EF..∠FBE=∠EFB. .∠FEH=∠FBE+∠EFB, ∠CEH =∠EBC+∠ECB, ∴.∠FEC=∠FEH+∠CEH= ∠FBE+∠EFB+∠EBC+ ∠ECB=2∠FBE+2∠EBC= 2∠CBF...∠CBF= ∠FEC=30°. B (第8题) 9.如图，延长BD至点F,使FD= BC,连接EF ∴.BC+CD=FD+CD,即BD=CF. :△ABC为等边三角形， ∴.AB=BC,∠B=60. AE=BD=CF, .AE+AB=CF+BC,BE=BF. ∴.△BEF为等边三角形 ∴.BE=FE,∠F=60. 在△ECB和△EDF中， (BE=FE, ∠B=∠F=60°， BC=FD ∴.△ECB≌△EDF. ∴.EC=ED. (第9题) 10.(1)AB=PB. 理由：如图①，连接BQ. BC垂直平分OQ, .BO=BQ. '.∠BOQ=∠BQO. .·OF平分∠MON, ∴.∠AOB=∠BOQ=∠BQO. 又AO=PQ, .△AOB≌△PQB. ∴.AB=PB. (2)存在. 如图②，连接BQ. BC垂直平分OQ, 25 .BO=BQ ∴.∠BOQ=∠BQO. OF平分∠MON,∠BOQ=∠FON, '.∠AOF=∠FON=∠BQC. ,∴.∠BOA=∠BQP. 又.AO=PQ, .△AOB≌△PQB. ∴.AB=PB. M OPC O N ① M A 0 B ② (第10题) 第2章实数的初步认识 2.1平方根 1.A2.B3.(1)±1.6±2 ±0.1(2)94.W555.-10 6.(1),一个正数的平方根是a+3 和2a-15 ∴.a+3+2a-15=0. ∴.a=4. ∴.a+3=7. .这个正数为72=49. (2)由(1)知，a=4, .a+12=4+12=16. .·√16=4， ∴.√a+12的平方根是土√4=土2. 70)122 (2)7. (4)-1. 8.A9.D10.C 11.D解析：当2m一4=3m一1时， m=-3;当2m-4+3m-1=0时， m=1..m的值是-3或1. 12.4解析：，x、y是正数a的两个 平方根，.y=-x..3x十2y= 3x+2X(-x)=2,即3x-2x=2,解 得x=2..a=x2=4. 13.(1)士√5解析：由题意，得a 1=0,b一a=4,解得a=1,b=5. .ab=1×5=5..ab的平方根为 土√5】 (2)4解析：，1一3m是数A的一 个平方根，4m-2是数A的算术平方 根，n-2≥0，解得m≥2 ..1-3m=4m一2或1-3m= 一(4m一2)，解得m=号（不合题意。 舍去)或m=1..1-3m=-2,4m 2=2.(-2)2=22=4,.数A 为4. 一方法归纳 运用算术平方根、平方根的 定义求值的思路 正确理解算术平方根和平方 根的定义是解决问题的关键.若已 知一个正数的算术平方根，则这个 正数等于其算术平方根的平方：若 已知一个正数的平方根，则这个正 数等于其任意一个平方根的平方. 根据一个数和它的平方根或算术 平方根的关系列出方程，即可求出 相应字母的值 14.0)3 (2)6(3)±1(4)±9 15.(1)x=±9 4 (2)x=7或x=一3. 7 (4)x=4或x=一2： (5)x=土士2. 16.100解析：根据题意，得a2十 b2+2a-6b+10=0,即a2+2a+1+ b2-6b+9=0,..(a+1)2+(b- 3)2=0.∴.a+1=0,b-3=0,解得 a=-1,b=3.∴.这个数是(a2+ b2)2=(1+9)2=100. 17.2a一1的平方根是士3， .2a-1=9. ∴.a=5. .3a十b-1的算术平方根是4， '.3a+b-1=16 把a=5代入3a+b一1=16，解得b=2. ..a+2b=5+2×2=9. ,9的平方根是士=士3， '.a+2b的平方根是士3. 2.2立方根 1.B2.B3.C4.D5.(1)3 (2)4(3)646.3 7.(1)-8. 2) (3)0.7. 8.A解析：①3是27的立方根，原 来的说法错误：@6的算术平方根是 },原来的说法错误：③一3=2 是正确的：④√16=4,4的平方根是 ±2，原来的说法错误；⑤9是81的算 术平方根，原来的说法错误故正确的 有1个. 9.A解析：一个正方体木块的体积 是27cm3,将它锯成8个同样大小的 小正方体木块，则每个小正方体木块 27 的体积为8cm.每个小正方体木 块的棱长是号cm 10.D 11.3解析：由题意，得m+7+ 2m-1=0,解得m=-2.∴.a= (-2+7)2=25..a-m=25 (一2)=27，即a-m的立方根为3. 12.(1)一4(2)3 26 13.√2或1或0解析：x-1= x-1,∴.x-1=1或x-1=0或x 1=-1.∴.x=2或x=1或x=0. ∴.√的值为√2或1或0. 4 14.2解析：3π×13+ 3πX (7)=32 π(cm),大铅球的半径为 √号x4x=2em 332 15.(1)根据题意，得2.x-1=4, 2x+y+1=25,则2x=17,y=7. .2x-3y+18=17-3×7+18=14. .2x-3y十18的立方根是9/14. (2):√2a+b与√-b互为相反 数，/1一35与6+互为相反数， .2a+b=0,c-b=0,1-3b+b+ 1=0,解得a=二2，b=1,c=1 方法归纳 运用算术平方根、立方根的 性质解题 如果两个非负数的算术平方 根的和为0，那么这两个数都是0： 互为相反数的两个数的立方根仍 然互为相反数.解决这类问题时， 我们常常运用这两个性质建立适 当的方程（组）求得待求的数值 16.:y=√x-24+√/24-x-8, {x一24≥0， 24-x≥0. ∴.x=24. ∴.y=-8 .3x-5y=364=4. 17.(1)设截去的每个小正方体的棱 长为xcm. 依题意，得1000一8.x3=488,即 8x3=512,解得x=4. .截去的每个小正方体的棱长是 4 cm. (2)1000=10(cm),10×10×6= 600(cm2).第2章 实数的初步认识 2.1 平 边基础进阶 1.已知一个正数的平方根分别为2x+1和3 4x,则这个正数是 A.25 B.16C.8 D.2 2.给出下列有关平方根的叙述：①如果a存在 平方根，那么a>0;②如果a有两个不相等 的平方根，那么a>0;③如果a没有平方根， 那么a<0;④如果a>0,那么a的平方根也 大于0.其中，正确的个数是 () A.1 B.2 C.3D.4 3.(1)2.56的平方根是 ,(一2)2的平方 根是 ,102的平方根是 (2)若a的平方根是士3，则a= 4.若一√5是x的一个平方根，则另一个平方根 是 ,x的值是 5.若25的算术平方根为x,4是y+1的一个平 方根，则x一y= 6.已知一个正数的平方根是a+3和2a一 15.求： (1)这个正数. (2)√a+12的平方根. 7.计算： 25 1)√12I+16: 。1 46 方根 9 (3)1一25 (4)(√6)2-√49. 司素能攀升 8.已知一个正数x的两个平方根分别是m和 m+n,且m2x+(m+n)2x=50,则x的值为 () A.5 B.10 C.25D.50 9.用“★”规定新运算：对于任意数a、b,都有 a★b=a2一b.如果x★13=2，那么x的值为 () A.15B.√/15C.-√/15D.±√15 10.一个自然数的算术平方根是x,则与这个自 然数相邻的下一个自然数的算术平方根是 () A.√x+1 B.√x+I C.√x2+1 D.x+1 11.若2m一4与3m一1是同一个数的平方根， 则m的值是 () A.-3 B.-1 C.1 D.-3或1 12.正数a的两个平方根是方程3.x+2y=2的 一组解，则a= 13.*(1)已知a一1的算术平方根是0，b-a的 算术平方根是2，则ab的平方根为 (2)已知1一3m是数A的一个平方根， 4m一2是数A的算术平方根，则数A为 14(1)若代数式x一号的平方根只有 一个，则x= (2)若4x+1的平方根是士5，则x= (3)若a-1|+(b+2)2=0,则(a+b)224 的平方根是 (4)已知(x+y+3)(x+y一3)=72，则 x十y的值为 15.求下列各式中x的值. (1)16.x2=81. (2)(x-2)2-25=0. (3)+1)-1- (4)(4x-1)2=225. 第2章实数的初步认识 (5)2(x2+1)=10. 思维拓展 16.如果一个数的两个不同的平方根 是a2+b2和2a-6b+10,那么这 个数是 17.已知2a-1的平方根是土3,3a十b-1的算 术平方根是4，求a十2b的平方根 47