第1章 三角形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第1章整合拔尖 知识体系构建 三角形的边与角 三角形中的特殊线段 中线、高、角平分线 全等三角形 性质。对应边相等，对应角相等 边角边(SAS) 三角形 判定 角边角(ASA)、角角边(AAS) 边边边(SSS) 角平分线的性质 应用线段垂直平分线的性质 直角三角形。直角三角形全等的判定(HL) 特殊三角形 等腰三角形。等边三角形 9幻高频考点突破 考点一全等三角形的判定方法 考点二全等三角形的判定与性质 典例1 如图，AB=BC,要判定△ABD≌ 典例2如图，点E、F在BD上，且AB=CD, △CBD,还需要添加一个条件，你添加的条件是 BF=DE,AE=CF,AC与BD交于点O.求证： (只需写一个，不添加辅助线). AC与BD互相平分. (典例1图) (典例2图) [变式]如图，AB⊥DB,AC⊥EC,垂足分别为 提示 B、C.已知AD=AE,AC=AB,BD与CE交于 证△ABE≌△CDF,得∠B=∠D,再证 点F,连接AF、CD、BE. △ABO≌△CDO,根据全等三角形的性质可证明 (1)求证：∠ADB=∠AEC. AO=CO,BO=DO,则AC与BD互相平分. (2)求证：CD=BE. (3)图中共有 对全等三角形 [变式]我们把两组邻边分别相等的四边形叫作 “筝形”.如图，四边形ABCD是一个“筝形”，其 中AD=CD,AB=CB. 42 第1章三角形 (1)求证：∠ABD=∠CBD, (1)求证：△AOB是等腰三角形 (2)设对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AB, (2)若∠BAD=18°，求∠AEF的度数. OF⊥CB,垂足分别是E、F.请直接写出图中所 有的全等三角形 (典例4图) [变式]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E 是BC上一点，BE=CD,EF∥AD,交AB于点 F,交CA的延长线于点P,CH∥AB,交AD的 考点三线段垂直平分线和角平分线的性质 延长线于点H. 典例3如图，在△ABC中，I是三角形角平分 (1)求证：△APF是等腰三角形 线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接 (2)AB与PC有何数量关系？请说明理由. AI、BI、AO、BO.若∠AOB=140°，则∠AIB的 度数为 B (典例3图)》 A.160° B.140°C.130°D.125 [变式]如图，P为△ABC三边垂直平分线的交 点，∠PAC=22°，∠PCB=33°，则∠PAB的度 数为 考点五最值问题 典例5如图，在等边三角形ABC中，AD是边 BC上的中线，且AD=6,E是AD上的一个动 点，F是边AB的中点，在点E的运动过程中， A.33° B.35 C.37° D.39° BE十EF的最小值为 () 考点四等腰（边）三角形的判定与性质 典例4如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC 的中点，连接AD,AC的垂直平分线EF交AB 于点E,交AD于点O,交AC于点F,连接OB, (典例5图) OC. A.5 B.6 C.7 D.8 43 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 [变式]如图，等腰三角形ABC [变式](1)如图①，P为等边三角形ABC外 的底边BC的长为4，面积为18， 点，连接PB、PA、PC,∠BPC=120°.试猜想线 EF为腰AC的垂直平分线.若 段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的 D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则 猜想， △CDM周长的最小值为 (2)如图②，P为等边三角形ABC内一点，D为 考点六探究性问题 等边三角形ABC外一点，连接PA、PD、PC、 典例6如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点 AD、BD、CD,∠APD=120°.求证：PA+PD+ C作CD⊥AB于点D,过点B作BM⊥AC于点 PC>BD. M,CD与BM相交于点E,且E是CD的中点 连接MD,过点D作DN⊥DM,交BM于点N. (1)求证：△DBN≌△DCM. (2)请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系. (典例6图) ]综合素能提升 1.如图，在△ABC中，AB=BC,DE垂直平分3.等腰三角形的周长为20cm,其中一边长为 BC,CD平分∠ACB,则∠B的度数为() 6cm,则该等腰三角形的底边长为( A.25 B.30° A.6cm或7cm B.6cm或8cm C.35 D.36 C.7cm或8cm D.6cm或14cm 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°， B BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M, 交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于 (第1题) (第2题) 点N,交AC于点F,则MN的长为() 2.如图，AB=AC,AD=AE,BD=CE,BD与 A.1.5cm CE相交于点O,与∠CAB(不包括∠CAB) B.2 cm M 一定相等的角有 C.2.5 cm BE A A.1个 B.2个 (第4题) D.3 cm C.3个 D.4个 44 第1章三角形 5.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,10.已知OF是∠MON的平分线，点A OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°， 在射线OM上，P、Q是直线ON上 连接AC、BD交于点M,连接OM.有下列结 两动点，点Q在点P的右侧，且 论：①AC=BD;②∠AMB=40°；③OM平 PQ=AO,作线段OQ的垂直平分线，分别交 分∠BOC;④MO平分∠BMC.其中，正确的 直线OF、ON于点B、C,连接AB、PB. 有 (填序号). (1)如图①，试判断AB与PB之间的数量 关系，并说明理由， (2)如图②，当P、Q两点都在射线OV的 (第5题) (第6题) 反向延长线上时，线段AB、PB是否还存在 6.如图，在△ABC中，D为边BC上一点， (1)中的数量关系？若存在，请写出证明过 BA=BD,EF垂直平分AC,交AC于点E, 程；若不存在，请说明理由， 交BC于点F,连接AF、AD.当∠B=30°， ∠BAF=90时，∠DAC的度数为 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD为∠ABC 的平分线，过点D作直线l∥AB,P为直线 ① ② 上的一个动点.若△BCD的面积为16，BC (第10题) 8,则AP长的最小值为 (第7题) (第8题) 8.如图，△ABC是等腰直角三角形，AD是其 底边BC上的高，E是AD上的一点，以CE 为边，向上作等边三角形CEF,连接BF,则 ∠CBF的度数为 9.,如图，△ABC为等边三角形，延长 BC到点D,延长BA到点E,使 AE=BD,连接CE、DE.求证： EC-ED D (第9题) 45..∠ABC=∠ACB :∠ABE=∠ACD, ∴.∠ABC-∠ABE=∠ACB ∠ACD. .∠OBC=∠OCB. .OB=OC. 又：AB=AC, ∴.点O、A在线段BC的垂直平分 线上. ∴.AO⊥BC 8.(1)如图①，延长DG至点H,使 GH=GD,连接AD、AH、CH ,G为CE的中点， .GC=GE 在△CHG和△EDG中， :GH=GD,∠CGH=∠EGD, GC=GE, ∴.△CHG≌△EDG. ∴.CH=ED,∠HCG=∠DEG. △DBE是等腰三角形，∠BDE= 120°， ∴.BD=ED=CH,∠BED= ∠EBD=30°. AB=AC,∠BAC=60°， ,.△ABC为等边三角形. ∴.AC=BC,∠ACB=60. BE=AE, ÷CELAB,∠ACE=∠ACB=30 .'.∠BED+∠DEG=90°，∠BAC+ ∠ACE=90°. ∴.∠HCG=∠DEG=60° ∴.∠ACH=∠HCG-∠ACE=30°. ∴.∠ABD=∠ACH. 在△ABD和△ACH中， ,AB=AC,∠ABD=∠ACH, BD=CH, .∴.△ABD≌△ACH. .AD=AH. .HG-DG ∴.AG⊥DG. (2)问题(1)中的结论仍然成立. 理由：如图②，延长DG至点M,使 GM=GD,连接AD、AM,CM. G为CE的中点， GC=GE. 在△CMG和△EDG中， ,GM=GD,∠CGM=∠EGD, GC=GE, ∴.△CMG≌△EDG. '.CM=ED,∠MCG=∠DEG △DBE是等腰三角形， '.BD=ED=CM,∠BED= ∠EBD=2180-∠BDE), :∠BDE+∠BAC=180°， .'.∠BAC=180°-∠BDE. .∴.∠BAC=2∠BED=2∠EBD. :'∠BEC=∠BED+∠DEG= ∠BAC+∠ACE, ∴.∠BED+∠MCG=∠BAC+ ∠ACE. ,∠MCG=∠ACM+∠ACE, ∴.∠BED+∠ACM+∠ACE= 2∠BED+∠ACE ∴.∠ACM=∠BED=∠ABD. 在△ABD和△ACM中， :AB=AC,∠ABD=∠ACM, BD=CM, .△ABD≌△ACM. .∴.AD=AM. .'MG=DG. '.AG⊥DG (第8题) 方法归纳 探究图形变换类问题的 一般方法 探究图形变换类问题的一般 方法是猜想并验证，也就是根据所 给的特殊图形得到的结论进行合 理猜想，并结合问题条件，运用图 形的性质，将问题逐步转化，经过 推理、论证，得出结论」 23 第1章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1答案不唯一，如AD=CD 变式](1)AB⊥DB,AC⊥EC, ∴.∠ABD=∠ACE=90, 在Rt△ADB和Rt△AEC中， AD-AE, AB-AC, ,'.Rt△ADB≌Rt△AEC. ∴.∠ADB=∠AEC. (2),Rt△ADB≌Rt△AEC, .BD=CE. 在Rt△AFC和Rt△AFB中， (AF=AF, AC=AB, ∴.Rt△AFC≌Rt△AFB. ∴.CF=BF '.CE-CF=BD一BF,即EF=DF. 在△DCF和△EBF中， (CF=BF, ∠CFD=∠BFE, DE=EF ∴.△DCF≌△EBF. ∴CD=BE. (3)5. 典例2BF=DE, ∴.BF一EF=DE一EF,即BE=DF (AB=CD, 在△ABE和△CDF中，BE=DF, AE=CF, ∴.△ABE≌△CDF. ∴∠B=∠D. 在△ABO和△CDO中， ∠AOB=∠COD, ∠B=∠D, AB=CD, .△ABO≌△CDO ∴.AO=CO,BO=DO,即AC与BD 互相平分 [变式](1)在△ABD和△CBD (AD=CD, 中，〈AB=CB, BD=BD, '.△ABD≌△CBD ∴.∠ABD=∠CBD. (2)题图中所有的全等三角形有 △ABO≌△CBO、△OAD≌△OCD、 △BOE≌△BOF、△OAE2△OCF、 △ABD≌△CBD. 典例3D解析：如图，连接CO. ,∠AOB=140°，∴∠OAB+ ∠OBA=180°-140°=40. ∴.∠OCA+∠OAC+∠OCB+ ∠OBC=180°-40°=140°.：0是 △ABC三边垂直平分线的交点， '.OA=OB=OC..'.∠OCA=∠OAC ∠OCB=∠OBC.∴.∠OCA+ ∠OCB=70°.'.∠CAB+∠CBA= 180°-70°=110°.：A1平分∠CAB, BI平分∠CBA∠1AB=7∠CAB. ∠IBA=Z∠CBA.六∠IAB+ ∠IBA=2(∠CAB+∠CBA)= 55°..∠AIB=180°-55°=125°. C (典例3图) [变式]B解析：P为△ABC三 边垂直平分线的交点，∴PA=PB= PC..∠PCA=∠PAC=22, ∠PBC=∠PCB=33°，∠PAB= ∠PBA.:∠PCA+∠PAC+ ∠PBC+∠PCB+∠PAB+ ∠PBA=180°，.∴.∠PAB= ∠PBA=35. 典例4(1).AB=AC,D为BC 的中点， ∴.AD是BC的垂直平分线. .'OB=OC. ,EF是AC的垂直平分线， .OA=OC. .'OA=OB. '.△AOB是等腰三角形， (2)EF是AC的垂直平分线， .'.∠AFE=90 ,AB=AC,D为BC的中点， '.AD平分∠BAC. .∠EAF=2∠BAD=36. .∠AEF=90°-∠EAF=54°， [变式](1)如图，：EF∥AD, .∠1=∠4，∠2=∠P. :AD平分∠BAC, ∴.∠1=∠2. .∠4=∠P. .AF=AP. ∴.△APF是等腰三角形 (2)AB=PC. 理由：如图，：CH∥AB, ..∠5=∠B,∠H=∠1 由(1)，知∠1=∠2. ∴.∠2=∠H. ..AC=CH. :EF∥AD, .∠1=∠3. ∴.∠H=∠3. ∠3=∠H 在△BEF和△CDH中，∠B=∠5， BE=CD, .△BEF≌△CDH. .BF=CH. .AC=BF. AB=AF+BF,PC=AC+AP, AF=AP, .AB=PC. 典例5B [变式]11解析：如图，连接AD、 AM.,△ABC为等腰三角形，D为 边BC的中点，.AD⊥BC.∴.S△Ax= BC·AD,即2X4AD=18 .AD=9.:EF为腰AC的垂直平 分线，CM=AM..AD的长为 CM+MD的最小值..CD= 24 C=2,是定值当点M在AD 与EF的交点处时，△CDM的周长最 小.∴.△CDM周长的最小值为 AD+CD=9+2=11. 典例6(1)∠ABC=45°，CD⊥ AB, ∴.∠ABC=∠DCB=45°. ∴.BD=CD CD⊥AB,DN⊥DM, ∴.∠BDC=∠MDN=90°. ∴.∠BDN=∠CDM. CD⊥AB,BM⊥AC, .'.∠ABM=90°-∠A=∠ACD. 在△DBN和△DCM中， ∠BDN=∠CDM, BD=CD ∠DBN=∠DCM, '.△DBN≌△DCM. (2)过点D作DF⊥MN于点F 由(1)，得△DBN2△DCM, ∴.DN=DM. DF⊥MN, ∴.NF=MF. 又DN⊥DM,即∠MDN=90°， .易得DF=FN. E是CD的中点， ∴.DE=CE 在△DEF和△CEM中， ∠DFE=∠CME=90°， ∠DEF=∠CEM, DE=CE, ∴.△DEF≌△CEM. ∴.FE=ME,DF=CM. .'DF=FN=NE-FE-NE-ME, ∴.NE-ME=CM. [变式](1)AP=BP+PC. 如图①，延长BP至点E,使PE= PC,连接CE. .∠BPC=120, '.∠CPE=60 PE=PC, ∴.△CPE为等边三角形 .CP=PE=CE,∠PCE=60° ,△ABC为等边三角形， ∴.AC=BC,∠BCA=60°. .∠ACB=∠PCE ∴.∠ACB+∠BCP=∠PCE+ ∠BCP,即∠ACP=∠BCE, ∴.△ACP≌△BCE. .'AP=BE BE=BP+PE, .AP=BP+PC. (2)如图②，以AD为边，在△ABD 外作等边三角形ABD,则点P在等 边三角形AB'D外，连接PB'、CB. ,∠APD=120°， ∴.由(1)，得PB=PA+PD. 在△PB'C中，PB+PC>CB', .PA+PD+PC>CB'. :△AB'D、△ABC为等边三角形， ∴.AC=AB,AB'=AD,∠DAB'= ∠BAC=60°. '.∠DAB'+∠CAD=∠BAC+ ∠CAD,即∠CAB'=∠BAD. .△AB'C2△ADB」 .CB'=BD. .PA+PD+PC>BD. ① [综合素能提升] 1.D2.C3.B4.B5.①②④ 6.45°7.4 8.30°解析：如图，连接BE并延长， 交CF于点H.:△ABC是等腰直 角三角形，AD⊥BC,∴.易得AD是 BC的垂直平分线..EB=EC ∴.∠EBC=∠ECB.△CEF是等 边三角形，.∠FEC=60°，EF=EC ∴EB=EF..∠FBE=∠EFB. .∠FEH=∠FBE+∠EFB, ∠CEH =∠EBC+∠ECB, ∴.∠FEC=∠FEH+∠CEH= ∠FBE+∠EFB+∠EBC+ ∠ECB=2∠FBE+2∠EBC= 2∠CBF...∠CBF= ∠FEC=30°. B (第8题) 9.如图，延长BD至点F,使FD= BC,连接EF ∴.BC+CD=FD+CD,即BD=CF. :△ABC为等边三角形， ∴.AB=BC,∠B=60. AE=BD=CF, .AE+AB=CF+BC,BE=BF. ∴.△BEF为等边三角形 ∴.BE=FE,∠F=60. 在△ECB和△EDF中， (BE=FE, ∠B=∠F=60°， BC=FD ∴.△ECB≌△EDF. ∴.EC=ED. (第9题) 10.(1)AB=PB. 理由：如图①，连接BQ. BC垂直平分OQ, .BO=BQ. '.∠BOQ=∠BQO. .·OF平分∠MON, ∴.∠AOB=∠BOQ=∠BQO. 又AO=PQ, .△AOB≌△PQB. ∴.AB=PB. (2)存在. 如图②，连接BQ. BC垂直平分OQ, 25 .BO=BQ ∴.∠BOQ=∠BQO. OF平分∠MON,∠BOQ=∠FON, '.∠AOF=∠FON=∠BQC. ,∴.∠BOA=∠BQP. 又.AO=PQ, .△AOB≌△PQB. ∴.AB=PB. M OPC O N ① M A 0 B ② (第10题) 第2章实数的初步认识 2.1平方根 1.A2.B3.(1)±1.6±2 ±0.1(2)94.W555.-10 6.(1),一个正数的平方根是a+3 和2a-15 ∴.a+3+2a-15=0. ∴.a=4. ∴.a+3=7. .这个正数为72=49. (2)由(1)知，a=4, .a+12=4+12=16. .·√16=4， ∴.√a+12的平方根是土√4=土2. 70)122 (2)7. (4)-1. 8.A9.D10.C 11.D解析：当2m一4=3m一1时， m=-3;当2m-4+3m-1=0时， m=1..m的值是-3或1.