第1章 专题特训4 等腰三角形中的分类讨论-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

.'.∠MDN=∠MDP+∠NDP= 2(∠MOP+∠NOP)=2∠MON. (2)∠MDN=2∠MON. 理由：PM⊥OA, ∴.∠OMP=90. D是OP的中点， DM-TOP-1O. .∠DMO=∠DOM. ∴.∠MDP=2∠MOP. 同理，可得∠NDP=2∠NOP. ∴.∠MDN=∠NDP-∠MDP= 2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON. 13.45°解析：如图，连接CM. :∠ACB=90°，M是AB的中点， CM-7AB,AM-BM-7AB. :CE=CF=号AB,iCE=CP MC.∴.∠1=∠E,∠2=∠F. ,∠1+∠E=∠4，∠2+∠F=∠3， ·∠1=∠4，∠2=2∠3 :1+∠2=2(24+∠3)=7× 90°=45°，即∠EMF=45. M。 C E (第13题) 14.(1)DE⊥AB, .∠DEB=90°. :F为BD的中点， .EF-BD-5. (2)△DEF、△BEF、△DCF、△BCF、 △CEF是等腰三角形 (3)∠A=∠CEF. ∠DEB=90°，∠ACB=90°，F为 BD的中点， .FE=FB=FC. ∴.∠CEF=∠ECF,∠FEB=∠FBE, ∠FCB=∠FBC. .∠EFD=2∠EBF,∠CFD= 2∠FBC. .∠CEF= 7×(180-∠CFPE)= 2X(180°-∠EFD-∠CFD)= 7X(I80°2∠EBF-2∠FBC) 90°-∠EBF-∠FBC .∠A=90°-∠ABC=90° ∠EBF-∠FBC, ∴.∠A=∠CEF 专题特训四等腰三角形 中的分类讨论 1.B 2.A解析：：AB=AC,∴.∠B ∠C=40°..∠BAC=180°-∠B ∠C=100°.∠BAD=20, ∴.∠CAD=∠BAC-∠BAD=8O. 分三种情况讨论：①当AD=AE时， ∠ADE=∠AED=180°-∠CAD 50°..∴.∠EDC=∠AED-∠C=10° ②当AD=DE时，∠DAE= ∠DEA=80°.∴.∠EDC=∠AED- ∠C=40.③当AE=DE时， ∠EAD=∠ADE=80°.，'.∠AED 180°-∠EAD-∠ADE=20°. :∠C=40°，∴.∠AED<∠C,不成 立.综上所述，当△ADE是等腰三角 形时，∠EDC的度数为10°或40°. 3.12或8解析：①当底边长是3 时，若两腰长的和是3的三倍，即为 9,满足三角形三边关系定理，则 △ABC的周长是9+3=12：若一腰 长与底边长的和是另一腰长的三倍， 则易得腰长是1.5，不满足三角形的 三边关系定理.②当腰长是3时，若 两腰长的和是底边长的三倍，则底边 长是2，满足三角形的三边关系定理， △ABC的周长是3+3+2=8；若一 腰长与底边长的和是另一腰长的三 倍，则易得底边长是6，不满足三角形 的三边关系定理.综上所述，△ABC 的周长为12或8. 4.D 5.分两种情况讨论： ①当底角和顶角的度数之比为1：4 20 时，设底角的度数为x,则顶角的度数 为4x. 根据题意，得x十x十4x=180°，解得 x=30° ∴.4x=4×30°=120°. ∴.这个三角形三个内角的度数分别 为120°、30°、30. ②当顶角和底角的度数之比为1：4 时，设顶角的度数为y,则底角的度数 为4y. 根据题意，得y十4y十4y=180°，解得 y=20°. ∴.4y=4X20°=80°. .这个三角形三个内角的度数分别 为20°、80°、80°， 综上所述，这个三角形三个内角的度 数分别为120°、30°、30°或20°、80°、80°. 6.75°或15°解析：在等腰三角形 ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的 高，∠ABD=60°.当△ABC为锐角三 角形，BD在△ABC的内部时，如 图①.BD为腰AC上的高， '.∠ADB=90°.'.∠BAD=90° 60°=30°.AB=AC,∴.∠ABC= ∠ACB=7×(180°-30)=75.当 △ABC为钝角三角形，BD在△ABC 的外部时，如图②.：BD为腰AC上 的高，∴.∠ADB=90°.∴.∠BAD= 90°-60°=30°.：AB=AC, 1 ·∠ABC=∠ACB=2∠BAD= 15°.当△ABC为直角三角形时，不符 合题意.综上所述，等腰三角形的底角 度数为75°或15. (① A ② (第6题) 7.①如图①，若△ABC为锐角三 角形， AD⊥BC,BE⊥AC, .∴.∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°. ∴.∠C+∠CBE=90°，∠C+ ∠CAD=90°. ∴.∠CBE=∠CAD. 在△BDF和△ADC中， ∠BDF=∠ADC, ∠DBF=∠DAC, BF=AC. .△BDF2△ADC. .'BD-AD ∴.∠ABD=45°，即∠ABC=45. ②如图②，若△ABC为钝角三角形， 当∠ABC为钝角时，同理，可证 △BDF≌△ADC. .'BD=AD. ..∠ABD=45° ..∠ABC=135° 当∠BAC或∠ACB为钝角时，同理， 可得∠ABC=45 ③若△ABC为直角三角形，当 ∠ACB或∠BAC为直角时，易得 ∠ABC=45. 综上所述，∠ABC的度数为45 或135. ① ② (第7题) 8.分两种情况讨论： ①如图①，边AB的垂直平分线与边 AC交于点D,∠ADE=40°，则 ∠A=50°. .AB=AC, .∠B=(180°-50°)÷2=65 ②如图②，边AB的垂直平分线与 CA的延长线交于点D,∠ADE= 40°，则∠DAE=50° .∠BAC=130. .'AB=AC, .∠B=(180°-130)÷2=25°. 综上所述，∠B的度数为65°或25 ⊙ ② (第8题) 9.BD为边AC上的中线， .AD-CD. ①当(AB+AD)-(BC+CD)= 3cm,即AB-BC=3cm时， BC=5 cm, ,'.AB=5+3=8(cm). 此时△ABC的三边长分别为8cm、 8cm、5cm,符合三角形的三边关系. ②当(BC+CD)-(AB+AD)= 3cm,即BC-AB=3cm时， BC=5 cm, '.AB=5-3=2(cm). 此时△ABC的三边长分别为2cm、 2cm、5cm,不符合三角形的三边关系. 综上所述，腰长为8cm. 10.B 11.20°或40或70或100 解析：如图①，当AD=AB时， ∠ADB=∠ABC=40°.如图②，当 AD=BD时，∠DAB=∠DBA= 40°，.∠ADB=180°-2X40°= 100°.如图③，当BD=AB,且△ABD 是锐角三角形时，∠ADB=∠BAD= 号1-∠A0)=7心如图@，当 AB=BD,且△ABD是钝角三角形 时，∠BAD=∠ADB=2∠ABC 20°.综上所述，∠ADB的度数为20 或40或70或100°. A ① 21 D C B ③ ④ (第11题) 12.(1)画法不唯一，如图①所示. (2)画法不唯一，如图②所示 (3)设∠B=x. ①如图③，当DE=AD时，∠AED= ∠DAE. .AD=CD, ∴.∠CAD=∠C=24. .BE=DE, ∴.∠B=∠EDB=x. ∴.∠AED=∠DAE=2x. .在△ABC中，24°X2+2.x+x= 180°. .x=44°. .∠B=44° ②如图④，当AE=AD时，∠AED= ∠ADE. .AD=CD, ∴.∠CAD=∠C=24. .∠ADB=48°. BE=DE, ∴.∠B=∠EDB=x ∴.∠AED=∠ADE=2x. ∴.∠ADB=2x+x=48. .x=16. .∠B=16 ③当EA=DE时，∠DAE=∠ADE. 同理，可得∠AED=2x,∠CAD= 24. &∠DAE=∠ADE=2(180 ∠AED)=90°-x. 此时∠CAB+∠C+∠B=90°-x+ 24°+24°+x≠180°，不合题意，舍去. 综上所述，∠B的度数为44°或16. D 72 108 36 36 A B ① E 5F /67.5角 25 A人67.5 ② AE ③ ④ (第12题) 专题特训五构造等腰 三角形的常用方法 L.D解析：如图，过点C作CD AB,垂足为D,延长BO交CD于点 P,连接AP.∠OBC=18, ∠CBA=48°，∴.∠ABP=∠CBA ∠OBC=30°.∠CAB=∠CBA= 48°，.CA=CB.CD⊥AB, ∴.AD=BD.∴.CD是AB的垂直平 分线.∴.PA=PB.∴∠PAB= ∠PBA=30°.∴.∠CAP=∠CAB ∠PAB=18.∠AOP是△AOB 的一个外角，∴.∠AOP=∠OAB+ ∠OBA=42.,CD⊥AB,∴.∠CDA= 90°.∴.∠ACD=90°-∠CAD=42°. ∴.∠AOP=∠ACD.∠PAB= 30°，∠OAB=12°，∴.∠PAO= ∠PAB-∠OAB=18°..∠CAP= ∠OAP..AP=AP,.∴.△ACP≌ △AOP.∴.AC=AO..∠CAO= ∠CAP+∠OAP=36°，.'.∠ACO= ∠A0C=72..∠AOB=180° ∠OAB-∠OBA=138°，.∠ACO+ ∠AOB=210°. D (第1题) 2.40 3.AB=AC,AE平分∠BAC, ∴.AE⊥BC ∴.∠AEC=90. ∠ADC=125°， ∴.∠CDE=180°-∠ADC=55. ∴.∠DCE=90°-∠CDE=35. 又：CD平分∠ACB, ∴.∠ACB=2∠DCE=70°. 又：AB=AC, ∴.∠B=∠ACB=70° .'.∠BAC=180°-（∠B+ ∠ACB)=40° 4.(1).AB=AC,∠BAC=36°， ∠ABC2X(180-36)= 又BD是∠ABC的平分线， &∠ABD=名∠A=36 '.∠BAD=∠ABD=36° .'AD=BD. 又，E是AB的中点， ∴.ED⊥AB,即EF⊥AB. (2)由(1)，知ED⊥AB. ,E是AB的中点， ∴.EF是AB的垂直平分线. ∴.AF=BF」 '.∠FAB=∠FBA=72. .易得∠AFB=∠FAC=36. ..CF=AC. .AB=AC=CF .AF=BF=CF+BC=AB+BC. 5.(1)AB=AC,D是BC的中点， AD⊥BC. ∴.AD垂直平分BC. 22 ∴.BE=CE (2).BF⊥AC,∠BAC=45°， .易得∠AFE=∠BFC=90°， △ABF是等腰直角三角形， ∴.AF=BF,∠CBF+∠C=90. ,AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC ∴.∠EAF+∠C=90. ∴.∠EAF=∠CBF. 在△AEF和△BCF中， ∠EAF=∠CBF, RAF=BE. ∠AFE=∠BFC, ∴.△AEF≌△BCF. .AE=BC. 6.(1)AB=AC,AD⊥BC, ·∠BAD=∠CAD-Z∠BAC. AM平分∠EAC, 1 .∠EAM=∠MAC=2∠EAC. ∴.∠MAD=∠MAC+∠CAD= 2∠EAC+2∠BAC 1×180°= 90°. AD⊥BC, .∠ADC=90°. ∴.∠MAD+∠ADC=180. ∴.AMBC. (2)△ADN是等腰直角三角形 理由：，AMBC, .∴.∠AND=∠NDC. .DN平分∠ADC, ∴.∠ADN=∠NDC=∠AND. .AD=AN. 由(1)，得∠MAD=90°， ∴.△ADN是等腰直角三角形. 7.(1)在△ABE和△ACD中， (AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE-AD .△ABE≌△ACD. ∴.∠ABE=∠ACD. (2)AO⊥BC. AB=AC,拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 专题特训四 等腰 类型一当底和腰不确定时，分类讨论 1.若等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个 等腰三角形的周长是 A.17 B.22 C.17或22 D.17和22 2.在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在边 BC、AC上，连接AD、DE,使得△ADE是等 腰三角形.若∠B=40°，∠BAD=20°，则 ∠EDC的度数为 () A.10°或40 B.10°或20° C.20°或40° D.10°或20°或40° 3.定义：若三角形满足其中两边之和等于第三 边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”.若 等腰三角形ABC是“三倍三角形”，且其中一 边长为3，则△ABC的周长为 类型二当顶角和底角不确定时，分类讨论 4.若等腰三角形有一个内角的度数是40°，则它 的顶角度数是 A.40° B.70° C.100° D.40°或100° 5.如果某个等腰三角形的两个内角的度数之比 为1：4，那么这个三角形三个内角的度数分 别为多少？ 38 三角形中的分类讨论 类型三当三角形的形状不确定时，分类讨论 6.等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角 为60°，则等腰三角形的底角度数为 7.已知△ABC的高AD、BE所在的直线交于 点F,若BF=AC,求∠ABC的度数. 类型四由腰的垂直平分线引起的分类讨论 8.在△ABC中，AB=AC,边AB的垂直平分 线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°， 求∠B的度数： 类型五由腰上的中线引起的分类讨论 9.等腰三角形ABC的底边BC的长为5cm,边 AC上的中线BD把其分为周长差为3cm的 两部分，求腰长 类型六由点的位置不确定引起的分类讨论 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得 △PAB为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 () A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 A (第10题) (第11题) 11.如图，在△ABC中，∠ABC=40° 若动点D在直线BC上，则当 △ABD为等腰三角形时，∠ADB 的度数为 第1章三角形 类型七“新定义”中的分类讨论 12.如果一条线段将一个三角形分成两！ 个等腰三角形，那么这条线段被称 为这个三角形的“好线”；如果两条 线段将一个三角形分成三个等腰三角形，那 么这两条线段被称为这个三角形的“好好线”， (1)如图①，在△ABC中，∠A=36°，∠C 72°，请你在这个三角形中画出它的一条“好 线”，并标出所分得的等腰三角形顶角的度数 (2)如图②，在△ABC中，AC=BC且 ∠C=45°，请你在这个三角形中画出它的 “好好线”（只需画出一种），并标出所分得的 等腰三角形底角的度数 (3)在△ABC中，∠C=24°，AD和DE为 △ABC的“好好线”，点D在边BC上，点E 在边AB上，且AD=CD,BE=DE,请你根 据题意画出示意图，并求∠B的度数， 2 36 ① ② (第12题) 39